1、考研数学一（高等数学）-试卷 49 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.平面 与 1 ：x 一 2y+z 一 2=0 和 2 ：x 一 2y+z 一 6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x 一 2y+z=0B.x 一 2y+z 一 3=0C.x 一 2y+z=0 或 x 一 2y+z3=0D.x 一 2y+z 一 4=03.设 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.
2、L 1 L 24.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导5.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微6.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点
3、都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：14，分数：28.00)7.设直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_8.点 M(3，一 1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_9.两异面直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_10.设点 M 1 (1，一 1，一 2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_11.直线 L： （分数：2.00）
4、填空项 1:_12.设盲线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_13.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_16.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ 1 (1
5、，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_19.设(ay 一 2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_20.函数 u=x 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设曲面： （分数：2.00）_2
6、3.设直线 L： （分数：2.00）_24.设直线 L 1 ： （分数：2.00）_25.求过直线 （分数：2.00）_26.设直线 L： （分数：2.00）_27.已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2y+z=12 上求一点 M，使得PM+MQ最小（分数：2.00）_28.设 A(1，0，4)，：3x4y+z+10=0，L： （分数：2.00）_29.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz =h(xy+z 一 t)出确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_30.设 f(x，y)= 证明：f(x，y)在点(0，0
7、)处可微，但 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 49 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.平面 与 1 ：x 一 2y+z 一 2=0 和 2 ：x 一 2y+z 一 6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x 一 2y+z=0B.x 一 2y+z 一 3=0C.x 一 2y+z=0 或 x 一 2y+z3=0 D.x 一 2y+z 一 4=0解析：解析：设所求平面为 ：x2y+2+D=0，在平面
8、：x 一 2y+z+D=0 上取一点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，d 1 = 3.设 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 3B.L 1 L 2C.L 2 L 3D.L 1 L 2 解析：解析：三条直线的方向向量为 s 1 =一 2，一 5，3，s 2 =3，3，7)，s 3 =1，3，一 12，1，一 1)=一 2，一 1，一 5， 因为 s 1 s 2 =0，所以 L 1 L 2 ，选(D)4.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析： 5.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分
9、数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)6.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的
10、最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 =0，因为 M 0 为最大值点，所以ACB 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：14，分数：28.00)7.设直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y+z+2=0）解析：解析：所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1=1，一 3，1，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为 ：(x 一 1)一
11、3(y 一 2)+(z 一 3)=0，即 ：x 一 3y+z+2=08.点 M(3，一 1，2)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线的方向向量为 s=1，1，一 12，一 1，1=0，3，3，显然直线经过点 M 0 (1，一 1，1)， 9.两异面直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：s 1 =4，一 3，1，s 2 =一 2，9，2)，n=4，一 3，1一 2，9，2=一 15，一10，30，过直线 L 2 且与 L 1 平行的平面方程为 ：一 15x10(y+7)+30(z 一 2)=0，即
12、 ：3x+2y 一6z+26=0，d= 10.设点 M 1 (1，一 1，一 2)，M 2 (1，0，3)，M 3 (2，1，2)，则点 M 3 到向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 一 z 2 =1）解析：解析：设 M(x，y，z)为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，圆心为 T(0，0，z)，由 ，得 x 2 +y 2 =x 0 +y 0 因为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)L，所以 12.设盲
13、线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线 l 1 的方向向量为 s 1 =2，0，11，一 1，3=1，一 5，一 2， 直线 l 2 的方向向量为 s 2 =1，一 4，0)，则直线 l 的方向向量为 s=s 1 s 2 =一 8，一 2，1，直线 l 的方程为 13.设直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过直线 的平面束为(x+2yz 一 2)+k(2x 一 y+z 一 3)=0，即 (1+2k)x+(2 一 k)y+(k 一1)z 一 23k=0，由1
14、+2k，2 一 k，k 一 11，1，1=0，得14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+3y 一 z 一 2=0）解析：解析：由 f(x，y+1)=1+2x+3y+0()得 f(x，y)在点(0，1)处可微，且 而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 n=16.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可
15、偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“+xf“+x y1 g“ 1 +yx y1 lnxg“ 1 +yx 2y1 lnxg“ 11 +2y 2 x y1 g“ 12 +2x y+1 lnxg“ 21 +4xyg“ 22）解析：解析：由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf“(x+y)+yx y1 g“ 1 (xy，x 2 +y 2 )+2xg“ 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 17.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ 1 (1，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则
16、f(1，2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=3t 2 f(x，y)，取 t=1，x=1，y=2 得 f“ 1 (1，2)+2f“ 2 (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=318.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 19.设(ay 一 2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2。（
17、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：令 P(x，y)=ay 一 2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay 一 2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分， 所以 20.函数 u=x 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：函数 u=x 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数 u=x 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的梯度的模，而 gradu (1，
18、2，2) =2x，一 2z，一 2y) (1，2，2) =2，一 4，4，方向导数的最大值为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设曲面： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 =t，即 x=1+t，y=t，z=1 一 t，将 x=1+t，y=t，z=1 一 t 代入平面xy+2z 一 1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为 M 1 (2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s 1 =1，
19、1，一 11，一 1，2=1，一 3，一 2， 平面方程为 1 ：1(x 一 2)一 3(y 一 1)一 2z=0，即 1 ：x 一 3y 一 2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为 (2)设 M(x，y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y 轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )及 T(0，y，0)，由M 0 T=MT，得 x 0 2 +z 0 2 =x 2 +z 2 ，注意到 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )L，即 )解析：24.设直线 L 1 ： （分数：2.00）_正
20、确答案：(正确答案：(1)M 1 (1，0，一 1)L 1 ，M 2 (一 2，1，2)L 2 ， =一 3，1，3， s 1 =一 1，2，1，s 2 =0，1，一 2，s 1 s 2 =一 5，一 2，一 1 因为(s 1 s 2 ) =一 5，一 2，一 1一 3，1，3=100，所以 L 1 ，L 2 异面 (2)与 L 1 ，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s 1 s 2 =一 5，一 2，一 1， 设与 L 1 ，L 2 等距离的平面方程为：5x+2y+z+D=0， 则有 )解析：25.求过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 的平面束方程为 ：(3x 一
21、2y+2)+(x 一 2yz+6)=0， 或：(3+)x 一 2(1+)y 一 z+2+6=0，点(1，2，1)到平面 的距离为 )解析：26.设直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )及 T(0，0，z)， 由M 0 T=MT，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 注意到 M 0 L，则 代入上式得 ：x 2 +y 2 =(1+2z) 2 +(2+z) 2 即：x 2 +y 2
22、 =5z 2 +8z+5 (2)对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(5z 2 +8z+5)， 则 V= 0 1 A(z)dz= 0 1 (5z 2 +8z+5)dz= 设 M(1+2t，2+t，t)为曲面上任意一点，则截口面积为 S(t)=r 2 =(1+2t) 2 +(2+t) 2 =(5t 2 +8t+5)， 则体积为 V= 0 1 S(t)dt= )解析：27.已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2y+z=12 上求一点 M，使得PM+MQ最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把点 P 及点 Q 的坐标代入 x 一
23、2y+z 一 12 得 1112=一 12 及 32+212=一9， 则点 P 及 Q 位于平面 的同侧过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 把 x=1+t，y=一2t，z=t 一 1 代入平面 得 t=2，所以直线 L 1 与平面 的交点坐标为 T(3，一 4，1)令点 P 关于平面 的对称点为 P“(x 0 ，y 0 ，z 0 )， )解析：28.设 A(1，0，4)，：3x4y+z+10=0，L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 A(一 1，0，4)且与平面 ：3x 一 4y+z+10=0 平行的平面方程为 1 ：3(x+1)一4y+(z 一 4)=0，即 1 ：3x 一 4y+z 一 1=0 令 ，代入 1 ：3x4y+z 一 1=0，得 t=16， 则直线 L 与 1 的交点为 M 0 (15，19，32)，所求直线的方向向量为 s=16，19，28， 所求直线为 )解析：29.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz =h(xy+z 一 t)出确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 f(x，y)= 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
