1、考研数学一（高等数学）-试卷 53 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=xsinx( )（分数：2.00）A.当 x时为无穷大。B.在(-，+)内有界。C.在(-，+)内无界。D.当 x时极限存在。3.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续。D.以上结论都不对。4.曲线 y=(x-1) 2 (x-3
2、) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。5.设 g(x)= （分数：2.00）A.无界。B.递减。C.不连续。D.连续。6.已知 a，b 为非零向量，且 ab，则必有( )（分数：2.00）A.a+b=a+b。B.a-b=a-b。C.a+b=a-b。D.a+b=a-b。7.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x (0，0)，f y (0，0)都存在。B.f x (0，0)存在，但 f y (0，0)不存在。C.f x (0，0)不存在，f x (0，0)存在。D.f x (0，0)，f y (0，0)都不存在。8.设曲线 L：f(x，y)=1(具
3、有一阶连续偏导数)过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，-x+，其中 b n = sinnxdx，n=1，2，3，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_14.直线 L 1 ：
4、（分数：2.00）填空项 1:_15.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：2.00）填空项 1:_17.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_18.方程(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）
5、_21.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b-ln 2 a （分数：2.00）_22.如图 1-3-2 所示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)。设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_23.求函数 f(x，y)= （分数：2.00）_24.已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界。试证： （分数：2.00）_25.设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z
6、=2 所围成的立体为 。 ()求曲面的方程； ()求 的形心坐标。（分数：2.00）_26.设 a n = ()求 (a n +a n+2 )的值； ()证明对任意的常数 0，级数 （分数：2.00）_27.将函数 f(x)=1-x 2 (0x)用余弦级数展开，并求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 53 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=xsinx( )（分数：2.00）A.当 x时为无穷大。B.在(-，+)内有
7、界。C.在(-，+)内无界。 D.当 x时极限存在。解析：解析：令 x n =2n+ ，y n =2n+，则 f(x n )=2n+ ，f(y n )=0。因为 3.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续。D.以上结论都不对。 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左、右导数 f“ - (x 2 )和 f“ + (x 0 )与在 x=x 0 处的左、右极限 区分开。 ，但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处连续和极限存在
8、。 例如f(x)= 但是 4.曲线 y=(x-1) 2 (x-3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：对于曲线 y，有 y“=2(x-1)(x-3) 2 +2(x-1) 2 (x-3) =4(x-1)(x-2)(x-3)， y“=4(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =4(3x 2 -12x+11) 令 y“=0，得 x 1 = 5.设 g(x)= （分数：2.00）A.无界。B.递减。C.不连续。D.连续。 解析：解析：因为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以
9、f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=6.已知 a，b 为非零向量，且 ab，则必有( )（分数：2.00）A.a+b=a+b。B.a-b=a-b。C.a+b=a-b。 D.a+b=a-b。解析：解析：由于 ab，则a+b与a-b在几何上分别表示以向量 a，b 为邻边的矩形的两条对角线的长度，则必有a+b=a-b，故选 C。7.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x (0，0)，f y (0，0)都存在。B.f x (0，0)存在，但 f y (0，0)不存在。C.f x (0，0)不存在，f x (0，0)存在。 D.f x (0，0)，f y (0，0)都不存在。解析：解析：
10、由于 f(x，0)= =sinx在 x=0 处不可导，故 f x (0，0)不存在。事实上 而f(0，y)= 8.设曲线 L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：在 上 f(x，y)=1，M 在第二象限，N 在第四象限，则 M 点的纵坐标 y M 大于 N 点的纵坐标y N ，因此 9.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，-x+，其中 b n = sinnxdx，n=1，2，3，则 等于( ) （分
11、数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对 f(x)在(-1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原式=11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对 f(x)求导，令 f“(x)= .2x=0，得 x=0。而且，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)
12、0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。 又因 f“(x)= 当 x 时，f“(x)0，故拐点坐标为13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：令 =t，则14.直线 L 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两条直线方向向量的夹角即为两条直线的夹角。 L 1 的方向向量 s 1 =1，-2，1。 令y=t，直线 L 2 的参数方程是 则 L 2 的方向向量 s 2 =1，1，-2。由于 所以 L 1 与 L 2 的夹角为 15.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小
13、值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 因为 AC-B 2 = 是 f(x，y)的极小值，且 16.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由线 L 可写成参数形式：x=x，y=x 2 (0x )，则 17.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.方程(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正
14、确答案：正确答案：y 2 +1=C(x 2 -1)）解析：解析：由题干可得 (y 2 +1)xdx+(1-x 2 )ydy=0， 则分离变量得 积分得 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b-ln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，b上应用拉格朗日中值定理，得 当 te 时，“(t)0，所以 (t)单调减少，从而有 ()(e 2 )，即 )解析：22.如图 1-
15、3-2 所示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)。设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由图形知，f(0)=0，f“(0)=2，f(3)=2，f“(3)=-2，f“(3)=0。则 )解析：23.求函数 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求驻点，令 解得驻点为 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数 因为 AC-B 2 0，所以 不是极值点。 因为 A0，AC-B 2 = 是极小值点，极小值为 )
16、解析：24.已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界。试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()左边= 右边= 所以 ()由于 e sinx +e -sinx 2，故由()得 )解析：25.设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。 ()求曲面的方程； ()求 的形心坐标。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知得 =-1，1，1，则 设任意点 M(x，y，z)，对应于L 上的 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，则有 x 2 +y 2 = 且由 得：x 2
17、 +y 2 =(1-) 2 +z 2 ，即 ：x 2 +y 2 =2z 2 -2z+1。 ()显然 其中，D xy ：x 2 +y 2 2z 2 -2z+1。 所以 )解析：26.设 a n = ()求 (a n +a n+2 )的值； ()证明对任意的常数 0，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 又由部分和数列 ()先估计 a n 的值。因为 由+11 可知， )解析：27.将函数 f(x)=1-x 2 (0x)用余弦级数展开，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)作偶延拓，则有 b n =0，n=1，2，。 令 x=0，有 又 f(0)=1，所以 )解析：
