1、考研数学一（高等数学）-试卷 69 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 yy(x)满足 ，且有 y(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_2.微分方程 y“一 xe y （分数：2.00）填空项 1:_3.微分方程 yy“一 2(y“) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_4.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_5.以 yC 1 e x e x (C 2 cosxC 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“4y0
2、满足初始条件 y(0)1，y“(0)2 的特解，则 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：29，分数：62.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8. （分数：2.00）_9.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：2.00）_10. （分数：2.00）_11.证明：(1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 收敛； (2) （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.设u n ，c n 为正项数列，证明： （分数：2.00）_14.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_15.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(
3、x)q1，令 u n f(u n1 )(n1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_16.设 f(x)在(一，)内一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：2.00）_17.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：2.00）_18.设 yy(x)满足 y“xy，且满足 y(0)1，讨论级数 （分数：2.00）_19.求幂级数 （分数：2.00）_20.求函数 f(x)In(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.求幂级数 （分数：2.00）_23.求幂级数 （分数
4、：2.00）_24. （分数：2.00）_设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“ye x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_25.将函数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_26.证明 （分数：2.00）_27.将函数 f(x)2x(1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_28.将函数 f(x)x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_
5、29. （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_设函数 f 0 (x)在(一，)内连续， （分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_32. （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 69 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 yy(x)满足 ，且有 y(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2.微分方程 y“一 xe y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
6、正确答案：*）解析：解析：3.微分方程 yy“一 2(y“) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 或者 ）解析：解析：4.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnxC）解析：解析：5.以 yC 1 e x e x (C 2 cosxC 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 3y“一 4y“一 2y0）解析：解析：特征值为 1 1， 2，3 1i，特征方程为(1)(1i)(li)0，即 3 一 3 2 420，所求方程为 y“一 3y“一 4
7、y“一 2y06.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“4y0 满足初始条件 y(0)1，y“(0)2 的特解，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y“一 4y“4y0 的通解为 y(C 1 C 2 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)1，y“(0)2 得 C 1 1，C 2 0，则 ye 2x ， 于是 二、解答题(总题数：29，分数：62.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
8、S n a 1 a 2 a n ，S n1 “(a 1 一 a 0 )2(a 2 a 1 )(n1)(a n1 一 a n )， )解析：10. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.证明：(1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 收敛； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设u n ，c n 为正项数列，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，得幂级数的收敛半径为 R1
9、 (1)当 p0 时，记 qp，则有 ，因而当 x1 时， 发散，此时幂级数的收敛区间为(一 1，1)； (2) (3) )解析：15.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(x)q1，令 u n f(u n1 )(n1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由u n1 一 u n f(u n )一 f(u n1 )f“( 1 )u n 一 u n1 qu n u n1 q 2 u n1 u n2 q n u 1 u 0 )解析：16.设 f(x)在(一，)内一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
10、)解析：17.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 yy(x)满足 y“xy，且满足 y(0)1，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“xy 得 y“1y“，再由 y(0)1 得 y“(0)1，y“(0)2，根据马克劳林公式，有 )解析：19.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求函数 f(x)In(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)ln(1 一 x 一 2x 2 )ln(x1)(
11、12x)ln(1x)In(12x)， )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为一 1，1， )解析：23.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，得收敛半径 R，该幂级数的收敛区间为(一，)， )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“ye x 的满足 （分数：4.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求
12、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.将函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(一，)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) 一y0 y (4) 一 y0 的通解为 yC 1 e x C 2 e x C 3 cosxC 4 sinx， 由 S(0)1，S“(0)S“(0)S“(0)0 得 )解析：27.将函
13、数 f(x)2x(1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然函数 f(x)是在一 1，1上满足收敛定理的偶函数，则 )解析：28.将函数 f(x)x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)进行偶延拓和周期延拓， )解析：29. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n (a 1 一 a 0 )(a 2 一 a 1 )(a n 一 a n1 )，则 S n a n 一 a 0 )解析：31.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f 0 (x)在(一，)内连续， （分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x(一，)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M与 x 有关)，使得f 0 (t)M(t0，x或 tx，0)，于是 )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
