1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 193 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n =0，则 D.若 a n 为无穷大，且 3.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B
2、.不可导C.不一定可导D.不连续4.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值5.平面 与 1 ：x2y+z2=0 和 2 ：x2y+z6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x2y+z=0B.x2y+z3=0C.x2y+z=
3、0 或 x2y+z3=0D.x2y+z4=06.累次积分 0 2 d 0 cos rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_10. 0 x （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)连续可导，且 0 4 f(u)du=2，L 为半圆周 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy= （分数：2.00）填空项
4、 1:_三、解答题(总题数：18，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14. （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_16.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_设 f(x)在(1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；（分数：2.00）_(2).(x)=12 （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f
5、(b)=0，且 f + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有|f(x)f(y)|xy|证明：| a b f(x)dx(ba)f(a)|12(ba) 2 （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )证明： （分数：2.00）_（
6、分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_22.设 z=(x 2 =y 2 （分数：2.00）_23.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy=12 a b f(x)dx 2 （分数：2.00）_25.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L：x 2 +y 2
7、=1 上有 f(x，y)0证明：f(0，0) （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_28.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V6，流出湖的水量为 V3设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 m 0 V问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到m 0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?（分数：2.00）_考研数学一（高
8、等数学）模拟试卷 193 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n =0，则 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：(A)不对，如 a n =2+(1) n ，b n =2(1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n
9、b n =3，显然a n b n 收敛；(B)、(C)都不对，如 a n =n1+(1) n ，b n =n1(1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n =0，显然a n b n 有界且 3.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当|xa| 时，有 f(x)0，于是4.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0
10、 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析： 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A)不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对；5.平面 与 1 ：x2y+z2=0 和 2 ：x2y+z6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（分数：2.00）A.x2y+z=
11、0B.x2y+z3=0C.x2y+z=0 或 x2y+z3=0 D.x2y+z4=0解析：解析：设所求平面为 ：x2y+z+D=0，在平面 ：x2y+z+D=0 上取一点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，d 1 6.累次积分 0 2 d 0 cos rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14）解析：解析：由 0 x tsin(x 2 t 2 )dt=12 0 x sin(x 2
12、t 2 )d(x 2 t 2 )=12 sinudu，得 8.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10. 0 x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.设 f(u)连续可导，且 0 4 f(u)du=2，L 为半圆周 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：P(x，y)=xf(x 2 +y 2 )，Q(x，y)=yf(x 2
13、+y 2 )， 因为 12.微分方程 xy= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=k0，取 0 =k20，因为 )解析：16.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且
14、f(0)=f(1)=0， f(x)=1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=1，再由费马定理知 f(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0c)+ (0c) 2 ， 1 (0，C) f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ )解析：设 f(x)在(1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意 x(1，1)，根据微分中值定理
15、，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中0(x)1 因为 f“(x)C(1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的)解析：(2).(x)=12 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x 2 ，其中 介于 0 与 x 之间， 而f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有 令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f + (a)0证明：存
16、在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f + (a)0，所以存在 0，当 0xa 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：18.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(x 0 )=f()(xx 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，)解析
17、：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有|f(x)f(y)|xy|证明：| a b f(x)dx(ba)f(a)|12(ba) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(ba)f(a)= a b f(a)dx， 所以| a b f(x)dx(ba)f(a)|=| a b f(x)f(a)dx| a b |f(x)f(a)|dx a b (xa)dx=12(xa) 2 | a b =12(ba) 2)解析：21.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足
18、： ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a b f(x)dx (ba) 0 1 f(1t)bdt (ba)f(a) 0 1 dtd+f(b) 0 1 (1t)dt=(ba) )解析：（分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0|f(x，y)| )解析：(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 z=(x 2 =y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23
19、.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy=12 a b f(x)dx 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt， 则 a b f(x)dx x b
20、f(y)dy= a b f(x)F(b)F(x)dx =F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dx=F 2 (b) a b F(x)dF(x) =F 2 (b) )解析：25.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L：x 2 +y 2 =1 上有 f(x，y)0证明：f(0，0) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = 0 2 f(cos，sin)f(rcos，rsin)d = 0 2 f(rcos，rsin)d， 再根据积分中值定理得 I=2f(rcos，rsin)其中 是介于 0 与 2之间的值 故原式= 2f(rcos，rsin
21、)= )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 x 2n 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(，+) =(2x 2 +1) )解析：27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得 令 y=p，y“=dpdx，则有dpdx=(1+p 2 ) arctanp=C 1 x 因为曲线 y=y(x)在点(，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p| x=0 =1，从而 y=tan( x)，积分得 y=ln|cos( x)|+C 2 因为曲线过点(0，1)，所以 C
22、 2 =1+ )解析：28.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V6，流出湖的水量为 V3设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 m 0 V问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到m 0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 mV， 任取时间元素t，t+at，排入湖中污染物 A 的含量为 dt=m 0 dt，流出湖的污染物 A 的含量为 dt=m3dt，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 dm=( )dt解得 m= )解析：
