1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 196 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数3.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x
2、)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点5.设 y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_7.若
3、 f(x)=2nx(1x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)的一个原函数为 sinxx，则 2 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_12.设 f(x)= （分数：2.00）_13.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0
4、证明：存在 (a，b)，使得|f“()| （分数：2.00）_14.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_15.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明：
5、1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_18.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_19.已知点 P(1，0，1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x2y+z=12 上求一点 M，使得|PM|+|MQ|最小（分数：2.00）_20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数
6、：2.00）_21.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_22.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设曲线 L 的长度为 l，且 （分数：2.00）_25.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_证明：（分数：4.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：2.00）_(2).若 n 2 a n =k0，则级数 （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一
7、边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 196 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f(0)0所以 0，根
8、据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有3.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =2，得 f(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0 再由4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：
9、因为 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)x=1，所以 f“(x)=0，即 f“(0)=0又5.设 y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y“+(x1)y+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y“(0)=2， 于是 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：7.若 f(x)=2nx(1x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
10、：正确答案：2e）解析：解析：由 f(x)=2n(1x) n 2n 2 x(1x) n1 =0 得 x= 8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.设 f(x)的一个原函数为 sinxx，则 2 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00
11、）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt=12 0 x f(t 2 x 2 )d(t 2 x 2 ) 则 n2=2，n=4，且 )解析：12.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f(x) 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：13.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得|f“()| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f(b)f(a)= f“( 1 )f“( 2 )， 取绝对值得|f(b)f(a)| |f“( 1 )|+|f“(
12、 2 )| (1)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取= 1 ，则有|f“()| |f(b)f(a)|； (2)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取 = 2 ，则有|f“()| )解析：14.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2)（分数：4.00）(1).证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 n (x)=f n (x)=1，因为 n (0)=10， n (1)=n10，所以 n (x)在(0，1) )解析：(2).求 （分数：2.0
13、0）_正确答案：(正确答案：由 f n (z n )f n+1 (x n+1 )=0，得 (x n x n+1 )+(x n 2 x n+1 2 )+(x n n x n+1 n )=x n+1 n+1 0，从而 x n x n+1 ，所以x n n=1 单调减少，又 x n 0(n=1，2，)，故 x n 存在，设 x n =A，显然 Ax n x 1 =1， 由 x n +x n 2 +x n n =1，得 =1，两边求极限得 A(1A)=1，解得 A=12，即 )解析：15.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a
14、1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 C 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa 1 )(xa 2 )(xa n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n1 ，a n )，使
15、得 ( 1 (1) )=( 2 (1) )=( n (1) )=0，(x)在(a 1 ，a n )内至少有n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n1) (c 1 )= (n1) (c 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a n )，使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)n!k，所以 f (n) ()=n!k，从而有 )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在(0，+)内连续且单
16、调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+f 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 f(x)dxf(n)，相加得 1 n+1 f(x)dx f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 (x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n) n1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dx，于是 )解析
17、：18.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12000(J)设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30， dW 2 =50(30x)dx， 则 W 2 = 0 30 dW 2 =22500(J) 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10， dW 3
18、=(200020t)3dt， 则 W 3 = 0 100 dW 3 =57000(J)，拉力克服重力所做的功为 W=W 1 +W 2 +W 3 =91500(J) )解析：19.已知点 P(1，0，1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x2y+z=12 上求一点 M，使得|PM|+|MQ|最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把点 P 及点 Q 的坐标代入 x2y+z12 得 1112=12 及 32+212=9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 得 x=1+t，y=2t，z=t1， 把 x=1+t，y=2t，z=t1 代入平面 得 t=2，所以直线
19、 L 1 与平面 的交点坐标为 T(3，4，1)令点 P 关于平面 的对称点为 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )， 则有 解得对称点的坐标为 P(5，8，3) =2，9，1，过点 P及点 Q 的直线为 L 2 ： )解析：20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6x(0x6)上，z=2x 2 (6x)=2x
20、 3 12x 2 ， 由dzdx=6x 2 24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值为64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得驻点为(2，1)， )解析：21.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr=2 0 t frf(r 2 )dr= f(u)du， 得 F(t)=2t(t 2 )，F(0)=0， )解析：22.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分
21、数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， 又因为 f(x)0，所以 2，从而 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=f y (x，y)，则 f(x，y)=siny+C(x)，而 f(x，y)dx+xcosydy=t 2 ，即 0 t C(x)dx+ )解析：24.设曲线 L 的长度为 l，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pdx+Qdy=P，Qdx，dy， 因为|ab|a|b|， 所以有|Pdx+Qdy| )解析：25.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_正确答案：(
22、正确答案：因为 u n 收敛，所以 u n =0， 当 x0 时，ln(1+x)x，于是 为正项级数， 而 ln(1+u n )=u n +o(u n 2 )， )解析：证明：（分数：4.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 0a n 2 M 2 n 2 ，而级数 M 2 n 2 收敛，所以级数 )解析：(2).若 n 2 a n =k0，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =k20，因为 h 2 a n =k0，所以存在 N0，当 nN 时， |n
23、2 a n k|k2，即 0n 2 a n 3k2，或者 0a n 3k2 1n 2 ， )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 S(x)= n(n1)x n2 ，显然其收敛域为(1，1)， )解析：27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g(8x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 18d 2 xdt 2 =2g(x+1)，即 x=g9，且 x(0)=0，x(0)=0， 当链条滑过整个钉子时，x=8， )解析：
