1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 211 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性与 k 有关二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设 f(x)可导且 （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)6.解答题解答
2、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_7.求下列极限： （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.设 f(x)= （分数：2.00）_11.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy x=0 （分数：2.00）_12.设 f(x)二阶可导，f(1)=0，令 (x)=x 2 f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 ()=0（分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 (
3、0，3)，使得 f ( 1 )=f ( 2 )=0（分数：2.00）_(2).存在 (0，3)，使得 f ()一 2f ()=0（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求arctan(1+ （分数：2.00）_16.求曲线 y= （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_19.求二元函数 f(x，y)=x 3 一 3x 2 一 9x+y 2 一 2y+2 的极值（分数：2.00）_20.设 f(x，y)= （分数：2.00
4、）_21.计算 ，其中 由 z= （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 L (3x+2y+1)dxxe x2y2 dy，其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分（分数：2.00）_24.计算 ，其中：z= （分数：2.00）_25.设 n 0(n=1，2，)，S n = 1 + 2 + n 。证明： （分数：2.00）_26.求 y +y 2 =1 满足 y(0)=y (0)=0 的特解（分数：2.00）_27.求微分方程 xy （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 211 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题
5、(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设常数 k0，则级数 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性与 k 有关解析：解析：因为 绝对收敛， 条件收敛，所以二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设 f(x)可导且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：当 x0 时，由 0 x f(xt)dt 0 x f()d，xarctanx=x 一x 一 +(x 3 ) 得 4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：5.由
6、曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2 +2y 2 +3z 2 一 12=0 曲面过点 ，指向外侧的单位法向量为 n 0 = 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：7.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x0 时，由 1 一 cosax x 2 得 )解析
7、：10.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0 时，y=1 2 xy =x+y 两边关于 x 求导得 2 xy ln2 将 x=0，y-1代入得 )解析：12.设 f(x)二阶可导，f(1)=0，令 (x)=x 2 f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 ()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 1 (0，1)，使得 ( 1 )=0， 而 (x)=2xf(x)+x 2 f (x)， (0)= (
8、 1 )=0，由罗尔定理，存在 (0， 1 ) )解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(10)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续 由 f (1)= =一 1， f (1)= =1， 得 f(x)在 x=1 处可导且 f (1)=一 1，从而 f(x)在(0，2)内可导， 故 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件 f(2)一 f(0)= =一 1， 当x(0，1)时，f (x)=一 x， 当 x1 时，f (x)= ， 即 f (x)= 当 01 时，由 f(2)一f(0)=2f ()得一 1
9、=一 2，解得 = ； 当 12 时，由 f(2)一 f(0)=2f ()得一 1= )解析：设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f ( 1 )=f ( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，F (x)=f(x)， 0 2 f(t)dt=F(2)一 F(0)=F (c)(20)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值M， m M， 由介值定
10、理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )， 于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) )解析：(2).存在 (0，3)，使得 f ()一 2f ()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e 2x f (x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求arctan(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t，则 )解析：16.求曲线 y=
11、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，xdx 0，2，则 dV=2ydx=2x dx， 所求的体积为)解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求曲线 y=x 2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域面积为 S= 1 3 f(x)dx= 1 2 (2xx 2 )dx+ 2 3 (x 2 一 2x)dx =(x 2 x 3 ) 1 2 ( x 3 x 2 ) 2 3 =2； V y =2 1 3 xf(x)dx=2( 1 2 x(2xx 2
12、)dx 2 3 x(x 2 2x)dx) = )解析：19.求二元函数 f(x，y)=x 3 一 3x 2 一 9x+y 2 一 2y+2 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：20.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0=f(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续 由 =0 得 f x (0，0)=0， 由 f(x，y)在(0，0)可偏导 )解析：21.计算 ，其中 由 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极坐标法得 )解析：23.计算 L (3x+2y+1
13、)dxxe x2y2 dy，其中 L 为 x 2 +y 2 =4 第一象限逆时针方向部分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， 则 L (3x+2y+1)dx+xe x2y2 dy = 0 )解析：24.计算 ，其中：z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： axdydz+(za) 2 dxdy， 补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 a 2 )，取下侧，则 )解析：25.设 n 0(n=1，2，)，S n = 1 + 2 + n 。证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又S n n=1 单调增加，所以 S n 存在，于是 )解析：26.求 y +y 2 =1 满足 y(0)=y (0)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y =p，则 y = p 2 =1， 整理得 =2dy 积分得 ln(p 2 一 1)=一 2y+lnC 1 ，即 p 2 一 1=C 1 e 2y ， 由初始条件得 C 1 =一 1，即 ， 变量分离得 =dx， 积分得 ln(e y + )=x+C 2 ， 由初始条件得 C 2 =0，从而 e Y + )解析：27.求微分方程 xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xy =x 2 +y 2 ，得 ， 令 )解析：
