1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 228 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=一 1C.a=一 1，b=1D.a=一 1，b=一 13.设 y=y(x)由 x 一 1 xy e t2 dt=0 确定，则 y (0)等于( )（分数：2.00）A.2e 2B.2e 2C.e 2 1D.e 2 14.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.下列广义积分发散的是( )（分
2、数：2.00）A. 1 1 B. 1 1 C. 1 D. 0 x 10 e x2 dx二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f 二阶可偏导，z=f(xy，x+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x，y)可微，且 f 1 (一 1，3)=一 2，f 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2xy， （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)可导，且 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2
3、.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.若 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_16.求函数 y=(x 一 1) （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.(1)(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt，求 (x) (2)设 F(x)= 0 x dy 0 y2 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.求过直线 L： （分数：2.00）_21.试求 z=f(x，y)=x 3 y 3
4、一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_23.计算 2zdxdy+xzdydz，其中：z= （分数：2.00）_24.设 f()连续可导，计算 I= （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_(2).若 （分数：2.00）_26.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数（分数：2.00）_27.求微分方程 y +4y +4y=e ax 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 228 答案解析(总分：5
5、6.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=一 1 C.a=一 1，b=1D.a=一 1，b=一 1解析：解析：因为 =，即 a=1，又3.设 y=y(x)由 x 一 1 xy e t2 dt=0 确定，则 y (0)等于( )（分数：2.00）A.2e 2 B.2e 2C.e 2 1D.e 2 1解析：解析：当 x=0 时，由一 1 y e t2 dt=0 得 y=1， 4.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B
6、.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：由 =一得 x=0 为铅直渐近线；由5.下列广义积分发散的是( )（分数：2.00）A. 1 1 B. 1 1 C. 1 D. 0 x 10 e x2 dx解析：解析：由二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， 因为 sinx=x 一 +(x 3 )，所以当 x0 时，(1+x 2 )sinxx 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx2*C）解析：解析：8.设 f 二阶可偏导，z=f(xy，x+y 2 )，则 （分数：2.00）
7、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 1 +y(xf 11 +2yf 12 )+xf 21 +2yf 22 =f 1 +xyf 11 +(x+2y 2 )f 12 +2yf 22 ）解析：解析： =yf 1 +f 2 ， 9.设 f(x，y)可微，且 f 1 (一 1，3)=一 2，f 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2xy， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dz (1，3) =7dx3dy）解析：解析： 则 =2f 1 (一 1，3)一 3f 2 (一 1，3)=一 7， 10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
8、解析：11.设 f(x)可导，且 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=e x ）解析：解析：由 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1 得 0 1 f(x)dt+ 0 1 f(xt)d(xt)=1 整理得 f(x)+ 0 x f()d=1，两边对 x 求导得 f (x)+f(x)=0， 解得 f(x)=Ce x ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e x 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.若 （分数：2.00）_正确答
9、案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 及 x=1 为 f(x)的间断点 =0， 则 x=0 为 f(x)的可去间断点； )解析：15.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 当 x0 时，f (x)=2xsin ，当 x=0 时，f (0)= =0 即 f (x)= 因为 )解析：16.求函数 y=(x 一 1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y = =0 得 x=一 1、x=0 当 x一 1 时，y 0；当一 1x0 时，y 0；当 x0 时，y 0， y=(x 一 1
10、) 的单调增区间为(一，一 1(0，+)，单调减区间为一 1，0， x=一 1 为极大点，极大值为 y(一 1)=一 ；x=0 为极小点，极小值为 y(0)=一 因为 没有水平渐近线； 又因为 y=(x 一 1) 没有铅直渐近线； 得 y=x 一 2 为曲线的斜渐近线； )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(1)(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt，求 (x) (2)设 F(x)= 0 x dy 0 y2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (x)=一 2ln(1+cos 2 2x)sin2xln(1+sin 2 x)c
11、osx (2)F (x)= ，F (x)= )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=1 为被积函数的无穷间断点，则 )解析：20.求过直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L 的方向向量为 s=1，一 1，一 22，1，1=1，一 5，3， M 0 (1，一 1，0)为直线 L 上一点，也是所求平面上的点， 所求平面的法向量为 n=1，一 5，31，2，一 1=一 1，4，7， 所求平面为 ：一(x 一 1)+4(y+1)+7(z0)=0，即 ：x 一 4y 一7z 一 5=0)解析：21.试求 z=f(x，y)=x 3 y 3 一 3xy 在矩
12、形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)为区域 D 内时，由 ； 在 L 1 ：y=一 1(0x2)上，z=x 3 3x一 1， 因为 z =3x 2 +30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8， 由 z =3x 2 一 6=0 得 ，z(2)=4； 在 L 3 ：x=0(一 1y2)上，z=y 3 ， 由 z =3y 2 =0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(一 1y2)上，z=y 3
13、 一 6y+8， 由z =3y 2 一 6=0 得 )解析：22.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)0xa，a 一 xybx， D 2 =(x，y)axb，0yb 一 x，则 )解析：23.计算 2zdxdy+xzdydz，其中：z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，则 )解析：24.设 f()连续可导，计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是所围成的区域，它在 xOz 平面上的投影区域为 x 2 +z 2 1，由高斯公式得 I= )解析：25.判断级数 （分数：
14、2.00）_正确答案：(正确答案： 且 ，所以根据级数收敛的定义知 )解析：设 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，由 =0，根据极限的定义，存在 N0，当 nN 时， 01，即 0a n b n ，由 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 )解析：(2).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据上问，当 nN 时，有 0a n b n 因为 发散，由比较审敛法， )解析：26.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (x)= (一 1) n x 2n (一
15、 1x1)，f(0)=0，得 f(x)=f(x)一 f(0)= 0 x f (x)dx= 0 x (一 1) n x 2n dx，由逐项可积性得 f(x)= x 2n1 ，显然 x=1时级数收敛，所以 arctanx= )解析：27.求微分方程 y +4y +4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x + e ax ； (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e 2x ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x + )解析：
