1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 234 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f (x)g(x)一 f(x)g (x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)3.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数
2、：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )4.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数5.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何
3、体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.若 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f (a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.函数 f(x)=xe 2x 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 D 由 y= 及 x 轴围成，f(x，y)=xy
4、 （分数：2.00）填空项 1:_13. (1，1) (2，2) xy 2 dx+x 2 ydy= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x)=x+x 2 (x)的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)满足y=yx+(x)且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)二阶连续可导，f (0)=4， （分数：2.00）_19.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)
5、=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f ()=0（分数：2.00）_22.=f(x 2 ，xy，xy 2 z)，其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.求 I= （分数：2.00）_24.计算 x 2 dydz+y 2 dzdx+z 2 dxdy，其中：(x1) 2 +(y 一 1) 2 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.求微分方程 xy =yln
6、 （分数：2.00）_27.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 234 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f (x)g(x)一 f(x)g (x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)
7、g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：由 f (x)g(x)f(x)g (x)0 得 0，从而 为单调减函数，由 axb 得 3.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )解析：解析：因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x 0 为 f(一 x)的极大值点，从而一 x 0
8、为一 f(一 x)的极小值点，选(B)4.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数 解析：解析：令 f(x)=cosx 一 2，F(x)=sinx2x+C，显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，(A)不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2 +C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，(B)不对；令 f(x)=x 2 ，F(x)= x 3
9、+2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若 f(x)为奇函数，F(x)= a x f(t)dt，因为 F(x)= a x f(t)dt 5.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x 一 1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y= x+2，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V= 1 2
10、(x1) 4 dx+ 2 4 6.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三条D.不存在解析：解析：T=1，一 2t，3t 2 ，平面的法向量为 n=1，2，1，令 14t+3t 2 =0,解得 t=1，t= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=1，b=4；）解析：解析：8.设 f (a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4f (a)）解析：解析： 9.函数 f(x
11、)=xe 2x 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f (x)=(12x)e 2x =0 得 x= ，当 x 时，f (x)0；当 x 时，f (x)0，则 x= 为 f(x)的最大值点，最大值为 10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一3y+z+2=0）解析：解析：因为所求平面 经过 L 1 ，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L 1 ，L 2 都平
12、行，所以所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1=1，一 3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=012.设 D 由 y= 及 x 轴围成，f(x，y)=xy （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x，y)=xy ）解析：解析：令 A= f(x，y)dxdy，则 f(x，y)=xyA，积分得13. (1，1) (2，2) xy 2 dx+x 2 ydy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 xy 2 dx+x 2 ydy=d( x 2 y 2 )， 所以 (
13、1，1) (2，2) xy 2 dx+x 2 ydy= x 2 y 2 (1，1) (2，2) = 14.设函数 f(x)=x+x 2 (x)的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 y=y(x)满足y=yx+(x)且 y(0)=1，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x）解析：解析：由y=yx+(x)得 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设
14、f(x)二阶连续可导，f (0)=4， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0，所以 f(0)=0，f (0)=0，又 f(x)二阶连续可导且 f (0)=4，所以 f(x)=2x 2 +(x 2 )，所以 )解析：19.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的定义域为(0，+)， = 由 f (x)=lnx+1=0，得驻点为 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 k= 时，函数 f(
15、x)在(0，+)内有唯一零点 x= ； (3)当 0k 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，)，使得 f ()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F (x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x
16、1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(xx 1 )f(x)恒正或恒负，于是 0 sin(xx 1 )f(x)dx0 而 0 sin(xx 1 )f(x)dx=cosx 1 0 f(x)sinxdxsinx 1 0 f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点，不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，)且 x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) )解析：22.=f(x 2 ，xy，xy 2 z)，其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2
17、xf 1 +yf 2 +y 2 zf 3 ， =xf 2 +2xyzf 3 ， )解析：23.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 )解析：24.计算 x 2 dydz+y 2 dzdx+z 2 dxdy，其中：(x1) 2 +(y 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 ：y=1(D xz ：(x 一 1) 2 + 1)，取左侧， 则原式= x 2 dydzy 2 dzdxz 2 dxdy x 2 dydzy 2 dzdxz 2 dxdyI 1 I 2 ， )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1，所以级数 )解析：26.求微分方程 xy =yln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy ，原方程化为 + =ln 变量分离得 )解析：27.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y (Xx) 令 X=0，则 Y=yxy ，故 A 点的坐标为(0，yxy ) 由MA=OA，得yxy = ， 因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y= )解析：
