1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 238 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中正确的是（分数：2.00）A.设正项级数*a n 发散，则 a n B.设 (a 2n-1 a 2n )收敛，则 C.设 中至少一个发散，则 D.设 a n b n 收敛，则 3.下列命题中正确的个数是 若 a n 收敛，则 a n 收敛， 若 a n 为正项级数， 1(n1，2，3，)，则 a n 收敛， 若 极限 l0，且 v n 收敛，则 u n 收敛， 若 n
2、u n v n (n，2，3，)，又 v n 与 n 均收敛，则 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. 0 2 sin （分数：2.00）填空项 1:_7.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_8.()已知 与 0 分别有解 y 与 y ，则方程 满足 y(0)1 的特解是 y 1； ()已知 有特解 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知(1)yyy0 的一个解是 y 1 ，又知 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21
3、，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 f()为连续函数，解方程 f()2(e 1) 0 (t)f(y)dt（分数：2.00）_12.设 y()在0，)上连续，在(0，)内有连续导数且满足 0 1 y(t)dt （分数：2.00）_13.在上半平面上求一条凹曲线，其上任一点 M(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 MQ 长度的倒数，Q 是法线与 轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行（分数：2.00）_14.一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升
4、的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量（分数：2.00）_15.设 f(，y)在点(1，1)处连续且满足 f(，y)e y2 o()( 0) 求：()df(，y) (1，1) ； ()J （分数：2.00）_16.设 f(，y) ()求 （分数：2.00）_17.设 zf(y， ，)，其中 f 有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_18.设 zz(，y)由方程 F( )0 确定，其中 F 有连续偏导数，求 （分数：2.00）_19.设方程 e z yz 2 y 2 确定隐函数 zz(，y)，求 dz 及 （分数：2.00）_20.设 y
5、g(，z)，而 zz(，y)是由方程 f(z，y)0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 （分数：2.00）_21.设 f(，y)有二阶连续偏导数，满足 0，且在极坐标系下可表示成 f(，y)g(r)，其中 r（分数：2.00）_22.设 uu(，t)有二阶连续偏导数，并满足 其中 a0 为常数 ()作自变量代换at，at( （分数：2.00）_23.设 u(，y)在区域 D(，y)0y有连续偏导数，试证在区域 D，u(，y)( )的充要条件是： （分数：2.00）_24.设有旋转抛物面 S：z （分数：2.00）_25.在椭球面 2 2y 2 z 2 1 上求一点使函数 f(，y，
6、z) 2 y 2 z 2 在该点沿方向l(110)的方向导数最大（分数：2.00）_26.求函数 z1( )在点 P( )处沿曲线 C： （分数：2.00）_27.设 F(u，v)有连续偏导数，且满足 0，其中 a，b，c0 为常数，并有曲面S：F(caz，cybz)0，求证： ()曲面 S 上 点处的法线总垂直于常向量； ()曲面 S 是以： （分数：2.00）_28.设 l 1 (cos 1 ，cos 1 )，l 2 (cos 2 ，cos 2 )是两个不共线(即不平行)的向量，若在 P 0 ( 0 ，y 0 )处， 0，求证： （分数：2.00）_29.设曲线 位于曲面 z 2 y 2 上， 在 y 平面上投影的极坐标方程为 re * ()求 上柱坐标(r，z)(1，0，1)的点 M 0 的切线 L 的直角坐标方程； ()求在平面 ：yz1的投影 L的方程（分数：2.00）_30.求 I （分数：2.00）_
