1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 249 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanxx，= 0 x (1cos )dt，=( （分数：2.00）A.，B.，C.；，D.，3.设 f(a)0，则 0，有（分数：2.00）A.f(x)f(a)(x(a，a+)B.f(x)f(a)(x(a，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a)D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a
2、)4.设常数 0，I 1 = 0 2 dx，I 2 = 0 2 （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关5.下列函数在点(0，0)处不连续的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6. （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 y=sinx 2 则 dyd(x 3 )= 1.（分数：2.00）填空项 1:_8. 0 a arctan （分数：2.00）填空项 1:_9.已知方程 y“+ （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 （分
3、数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 a0 为常数，x n = （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_15.求 0 e1 (x+1)ln 2 (x+1)dx（分数：2.00）_16.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆(x （分数：2.
4、00）_17.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx (*)（分数：2.00）_18.作函数 y=lnxx 的图形（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证： （分数：2.00）_20.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f )(n) (x)0（分数：2.00）_21.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任
5、意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_设 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2).y=y(z，x)（分数：2.00）_22.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_23.设曲面 z=12(x 2 +y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z32 部分 S 的质量与质心（分数：2.00）_求下列平面上曲线积分（分数：6.00）(1).=1 正向从 A(a，0)到(0，b)的一段弧，a1 （分数：2.00）_(2).I= L
6、dy，其中 L 是椭圆周 （分数：2.00）_(3).I= L (e x sinymyy)dx+e x cosymx)dy，其中 L： （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 249 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.把当 x0 + 时的无穷小量 =tanxx，= 0 x (1cos )dt，=( （分数：2.00）A.，B.，C.；， D.，解析：解析： 3.设 f(a)0，则 0，有（分数：2.00）
7、A.f(x)f(a)(x(a，a+)B.f(x)f(a)(x(a，a+)C.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a) D.f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x(a，a)解析：解析：直接由定义出发 f(a)= 0 由极限的保序性 0，当 x(a，a+)，xa 时 04.设常数 0，I 1 = 0 2 dx，I 2 = 0 2 （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关解析：解析：I 1 I 2 当 0x4 时 cosxsinx，又 0x 5.下列函数在点(0，0)处不连续的
8、是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：直接证(C)中 f(x，y)在点(0，0)处不连续当(x，y)沿直线 y=x 趋于点(0，0)时6. （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.发散D.敛散性与 a 有关解析：解析： 由莱布尼兹法则知二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 y=sinx 2 则 dyd(x 3 )= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2cosx 2 3x）解析：解析：用微分之商来求8. 0 a arctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a2）解析：解析：利用分部积分法9.已知方程 y“+ （
9、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x +x）解析：解析：因 y 1 ，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C 1 e x +C 2 x由初始条件得 C 1 =1，C 1 +C 2 =2 C 1 =1，C 2 =1 10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：yx=0）解析：解析：M 0 在曲线上，M 0 处的切向量 =4i+4j=41，1，0 M 0 处切线方程 11.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：49）解析：解析：D 如图 93用极坐标变换
10、，D 的极坐标表示： 202，0rcos， 于是 I= 2 2 d 0 cos rrdr13cos 3 d 三、解答题(总题数：16，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 a0 为常数，x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0a1 时 0x n a n ， a n =0；当 a=1 时 x n =12 n ， 12 n =0； )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 这表明3+a=0 a=3 将 a=3 代入(*)式，即得 )解析：讨论下列函数的连续
11、性并判断间断点的类型：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是初等函数，它在定义域(x 2 1)上连续因此，x1 时均连续x=1 时，故 x=1 是第一类间断点(跳跃的)又 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求极限函数注意 x 2n =0(|x|1)， 1x 2n =0(|x|1)， )解析：15.求 0 e1 (x+1)ln 2 (x+1)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式=12 0 e1 ln 2 (x+1)d(x+1) 2 )解析：16.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆(
12、x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线 在点 P(1，2)处为凹的，所以由 确定的连续函数 y=y(x)在 P(1，2)处的 y“0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y=1 由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 a+b+c=2 抛物线与圆在点 P(1，2)相切，所以在点 P(1，2)处 y=1，即有 2a+b=1又抛物线与圆在点 P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有 )解析：17.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2
13、(x)dx a b g 2 (x)dx (*)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入参数，即考虑f(x)+tg(x) 2 由于 a b f(x)+tg(x) 2 dx= a b f 2 (x)dx+2t a b f(x)g(x)dx+t 2 a b g 2 (x)dx0， 因此，其判别式=2 a b f(x)g(x)dx 2 4 a b 2f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx0，即(*)式成立)解析：18.作函数 y=lnxx 的图形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：x0 ()渐近线：只有间断点 x=0由 =可知，有垂直渐近线 x=0； )解析：19.设 f(
14、x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(1+x)x(x(1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得 )解析：20.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f )(n) (x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f (n) (0)x n + x n+1 若 f n+1 (x)0，f (n) (x)0，由上式 f(x)=f(
15、0)+f(0)x+ )解析：21.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 x21+f(x)，故 x 3 = 0 x f(t)dt 1+f(x) 两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为 xyy=6x 2 1(原方程中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为 y=e 1xdx C(6x+ )e 1xdx dx=Cx6x 2 +1 对任意常数 C，
16、总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)=0，由此即得 C=5，即所求曲线为 y=5x6x 2 +1 )解析：设 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z，x 为自变量，y 为因变量 y=y(z，x)，它满足 z=f(x，y(z，x) 将z=f(x，y)对 x 求偏导数，得 0= 再对 x 求偏导数，得 )解析：(2).y=y(z，x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y=y(z，x)， )解析：22.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，证明：函数 z
17、有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0)或(x，y)=(2n+1)，2)，其中 n=0，1，2， ()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点 在(2n，0)处，由于 =(2)(1)0=20， =20 则(2n，0)是极大值点 在(2n+1)，2)处，由于 =(1+e 2 )(e 2n )= )解析：23.设曲面 z=12(x 2 +y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z32 部分 S 的质量与质心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：质量 M= dS，其中 S：z=12(x 2 +y 2
18、 )，(x，y)D xy ：x 2 +y 2 3 又 =y，于是 = 0 3 (t+1) 32 dt 0 3 (t+1) 12 dt )解析：求下列平面上曲线积分（分数：6.00）(1).=1 正向从 A(a，0)到(0，b)的一段弧，a1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).I= L dy，其中 L 是椭圆周 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 I 表成 I= L Pdx+Qdy，则 不能在 L 围成的区域上用格林公式，取圆周(如图 104) C ：x 2 +y 2 = 2 (0 充分小)，逆时针方向， 在 L 与 C 围成的区域 D 上可用格林公式得 )解
19、析：(3).I= L (e x sinymyy)dx+e x cosymx)dy，其中 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将积分 I 分解成 I=I 1 +I 2 ，其中 I 1 = L sinyde x +e x d(siny)m(ydx+xdy)，I 2 = L ydx I 1 易通过求原函数而求得，I 2 容易直接计算： I 1 = L d(e x sinymxy)=(e x sinymxy)| (0，0) (a，2a) =e a sin2a2ma 2 I 2 = L ydx= 0 a (1cost)a(1cost)dt =4a 2 0 sin 4 t2dt=8a 2 0 2 sin 4 sds 因此 I=I 1 +I 2 =e a sin2a2ma 2 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()求收敛域：原幂级数记为 a n x n ，则由 收敛域为(，+) ()求和函数 逐项积分与逐项求导法 我们也是为了利用 e x 的展开式，作如下变形： xS(x)=xg(x)=x(x1)e x ， xS(x)= 0 x (t 2 t)e t dt= 0 x (t 2 t)de t =(xx 2 )e x + 0 x (2t1)e t dt=1e x (1+x+x 2 )， )解析：
