1、考研数学三-398 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.方程 e -x -x 2 +2x-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根D.多于三个根4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 连续，且满足条件 f(x)=f(sinx)，则 f(x
2、)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导5.设二次型 （分数：4.00）A.a-1B.a1C.a1 或 a-1D.a=16.A 是二阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-1，B=A 3 +A 2 -A+E，则 B=KE，其中 K=_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，下列关系式正确的是_ AP(B)=P(B|A) B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1， y 2 =
3、0，y 3 =1，其分布为 i=1，2，3若 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y-xe y =1-ex 确定，则 （分数：4.00）10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， 若当 n+， 是比 （分数：4.00）12.以 y=e 2x (C 1 c
4、osx+C 2 sinx)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）13.设 A，B 是三阶相似矩阵，其中 A=，A=， 为线性无关的三维列向量，B 不可逆，则|A+4B+2AB+2E|= 1 （分数：4.00）14.设总体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_16.计算二重积分 区域 D 由曲线 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).(x)的定义域；（分数：5.00）_(2).“(x
5、)（分数：5.00）_17.设 证明：当 x0，1时， （分数：10.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_设 X 是 42 矩阵， （分数：11.00）(1).求 AX=0 的基础解系和通解；（分数：5.50）_(2).已知 AX=C，求 X；若 （分数：5.50）_18.设
6、 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 是正定二次型证明 ()f(x 1 ，x 2 ，x n )的平方项系数大于零； ()|A|0 举例说明上述条件()、()均不是 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定的充分条件 （分数：11.00）_19.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：11.00）_设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 和 的极大似然估计量 和 （分数：5.50）_(2).若 已
7、知，上述 （分数：5.50）_考研数学三-398 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 g(x)=f(x)-x 2 ，由已知得 g(x 0 )=0，g“(x 0 )0，则 2.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 切线为 y=p+3p(x-1) 切线与 x 轴交点为 切线与 y 轴交点为(0，
8、-2p)，切线与曲线交点为(1，p)，如下图 则 3.方程 e -x -x 2 +2x-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根 D.多于三个根解析：解析 令 y(x)=e -x -x 2 +2x-1 因为 y“(x)=-e -x 0，因此最多有三个根由于 y(0)=1-1=0，所以 x=0 是其一根 由于 y“(x)=-e -x -2x+2，y“(0)=-1+2=10，且 y(0)=0，所以存在 0，使得 y(-)0，y()0 由于 所以 y(x)在区间(-，-)内至少有一根 由于 4.设 f(x)定义在(-，+)上，在点 x=0 连续，且满足条件 f(x)=f(
9、sinx)，则 f(x)在(-，+)上_（分数：4.00）A.不一定是连续函数B.不恒为常数且连续C.不恒为常数且可导D.无穷阶可导 解析：解析 记 u 1 =sinu 0 ，u k+1 =sinu k ，k=1，2， 对 u 0 (-，+)，k=1，2，有 f(u 0 )=f(sinu 0 )=f(u 1 )=f(sinu 1 )=f(sinu 2 )=f(sinu k )=f(u k+1 )，即对 u 0 (-，+)，n=1，2，都有 f(u 0 )=f(u n )成立 由于数列 u k ，k=1，2，单调减且有极限 又 f(x)在点 x=0 处连续，所以对 5.设二次型 （分数：4.00
10、）A.a-1B.a1C.a1 或 a-1 D.a=1解析：解析 用配方法化标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的正惯性指数为 2，得 a 2 1 6.A 是二阶矩阵，有特征值 1 =1， 2 =-1，B=A 3 +A 2 -A+E，则 B=KE，其中 K=_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 A 22 有两个不同的特征值，故 即有可逆矩阵 P，使 故 B=A 3 +A 2 -A+E 7.设 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，下列关系式正确的是_ AP(B)=P(B|A) B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 不正确因为 A 与
11、B 二事件互斥，又 P(A)0，P(B)0，所以 A，B 必不独立 B 不正确因为 A，B 不独立，则 A，B 也不独立 D 不正确因为 A 与 B 互斥，不一定是对立事件 C 正确因为 所以有 从而 P(A)= 即 8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1， y 2 =0，y 3 =1，其分布为 i=1，2，3若 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 思路一：先求 Z=maxX，Y的分布函数 由题设知 设 Z=maxX，Y的分布函数为 F Z (z)，则 思路二：直接求 PZ=1=P
12、Z1-PZ1 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 y-xe y =1-ex 确定，则 （分数：4.00）解析：0 解析 将方程 y-xe y =1-ex 两边对 x 求导，得 10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）解析：0 解析 设 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则 11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， 若当 n+， 是比 （分数：4.00）解析：
13、1 解析 因为 函数 f( 2 )在 0 的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知 F(t)在 t=0 的某邻域内可导，得 F“(t)=2tf(t 2 )， 12.以 y=e 2x (C 1 cosx+C 2 sinx)+5(C 1 ，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为 1 （分数：4.00）解析：y“-4y“+5y=25 解析 该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+py“+qy=f(x) 对应齐次方程的两个特征根为 2i，所以其方程为 y“-4y“+5y=0 非齐次方程的特解为 Y=5，代入方程，得非齐次项 f(x)=25 因此所求方程为 y“-4y“
14、+5y=2513.设 A，B 是三阶相似矩阵，其中 A=，A=， 为线性无关的三维列向量，B 不可逆，则|A+4B+2AB+2E|= 1 （分数：4.00）解析：-18 解析 由 A=，A=，得 A(+)=+=+，A(-)=-=-(-)，故 A 有特征值 1 =1， 2 =-1；B 不可逆，则 B有特征值 3 =0 A 和 B 相似，故 A，B 有相同的特征值 1，-1，0，则 |A+4B+2AB+2E|=|A(E+2B)+2(E+2B)|=|(A+2E)(E+2B)|A+2E 有特征值 3，1，2，故|A+2E|=6 E+2B 有特征值 3，-1，1，故|E+2B|=-3，则 |A+4B+2
15、AB+2E|=|(A+2E)(E+2B)|=-1814.设总体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）解析： 解析 期望为零，与 无关，因此考虑方差 由矩估计方程 D(X)=S 2 ，得 解得 的矩估计量为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：显然有 f(0)=O 当 x0 时， 综上，得 f(x)=xsinx，x(-，+)，则 16.计算二重积分 区域 D 由曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：区域 D 的图形如下图所示，单位圆 x 2 +y 2 =1
16、 将区域 D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆外的部分记作 D 2 则 设 （分数：10.00）(1).(x)的定义域；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：先求 f(x)的定义域，即级数 (2).“(x)（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：17.设 证明：当 x0，1时， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因 f(0)=f(1)=0，f(x)在0，1上可导，所以在0，1上存在最大值和最小值又 当 f“(x)=0 时，得(0，1)内唯一驻点 且当 x(0,x 0 )时，f“(x)0；当 x(x 0 ，1)时，f“(x)0所以
17、是极大值点，也是0，1上的最大值点最大值为 综上可证，当 x0，1时， 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明因为 f“()0，f“()=0，故 是 f 的极小值点f 在a，上有最大值 f(t 1 )同样f 在，b上也存在最大值 f(t 2 )不妨设 f(t 1 )f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在 x 0 ，b，使得 f(x 0 )=f(t 1
18、 )即有 x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得 f(x 1 )=f(x 2 )(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明由 f“()0，令 g(x)=f(x)-f“()x，则 g“()=f“()-f“()=0 于是 g(x)符合()的条件，即存在 1 ， 2 (a，b)满足 1 2 ，使得 g( 1 )=g( 2 )，即 将 g(x)=f(x)-f“()x 代入上式后得到 设 X 是 42 矩阵， （分数：11.00）(1).求 AX=0 的基础解系和通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：求 AX
19、=0 的基础解系和通解，为求第二小题方便 对 作初等行变换，得 (2).已知 AX=C，求 X；若 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：将 X 和 C 分块，AX=C A(X 1 ，X 2 )=(C 1 ，C 2 ) AX 1 =C 1 特解为 1 =(1，0，1，0) T ，通解为 k 1 (-3，3，-1，2) T +(1，0，1，0) T AX 2 =C 2 特解为 2 =(5，-4，2，0) T ，通解为 k 2 (-3，3，-1，2) T +(5，-4，2，0) T 得 若 X 31 =X 32 =0 时，得 k 1 =1，k 2 =2故 18.设 f(x 1 ，x 2 ，x
20、 n )=X T AX 是正定二次型证明 ()f(x 1 ，x 2 ，x n )的平方项系数大于零； ()|A|0 举例说明上述条件()、()均不是 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定的充分条件 （分数：11.00）_正确答案：()解析：f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 正定，对任意的 X0，均有 X T AX0，取 X= 1 =(1，0，0) T ，则 同理，取 X= i =(0，0，1，0，0) T ，则 =a ii 0，i=1，2，n ()f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX 正定 存在可逆阵 C，使得 C T AC=E，A=(C T ) -1 C -1
21、，|A|=|(C T ) -1 C -1 |=|(C -1 ) 2 |=|(C T ) 2 |0或用反证法：若|A|0，有|A|= 1 2 n 0，则存在 0，A=， T A= T ， T 0 且 0，故 T A0，f 非正定 下面举例说明()、()均不是 f(x 1 ，x 2 ，x n )正定的充分条件： 当 a ii 0，i=1，2，n，f 可以不正定如 a 11 =a 22 0，但 f(1，-1)=0，f 非正定 当|A|0，f 可以不正定如 |A|=10，但 19.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个
22、运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：两个设备的寿命 X，Y 都服从参数为 0 的指数分布，即 设系统寿命为 U，则 串联系统 U=minX，Y F(u)=Pmin(X，Y)u=1-Pmin(X，Y)u =1-PXu，Yu=1-P(Xu) 2 =1-1-P(Xu) 2 =1-1-F u (u) 2 =1-e -2u ，u0 故 f U (u)=F“(u)=2e -2u ，u0 并联系统 U=maxX，Y F(u)=Pmax(X，Y)u=P(Xu，Yu) =P(Xu) 2 =F u (u) 2 =(1-e
23、-u ) 2 ，u0， 故 f U (u)=F“(u)=2e -u (1-e -u )，u0 备用系统 U=X+Y 设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 和 的极大似然估计量 和 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：X 的概率密度函数为 记 x=(x 1 ，x 2 ，x n )，则似然函数为 因为 所以对每个固定的 0，lnL(x，)是 (0)的增函数，因此，当 =x (1) =minx 1 ，x 2 ，x n 时，函数 lnL(x，)为最大，则 的极大似然估计量为 又由 即 解得 的极大似然估计量为 (2).若 已知，上述 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由最小值的密度公式 则 注意 0，上述 不是 的无偏估计 而
