1、考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4. （分数：2.00）A.B.C.D.5.累次积分 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g(0)=a0,f(a，y)在点(0，0)
2、的某邻域内连续，则 =( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx，则 F(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)B.f(2)C.一 f(2)D.08.设有平面闭区域，D=(x，y)|一 axa，xya，D 1 =(x，y)|0xa，xya，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dt+ 1 2 dy 0 2-y f(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2-x f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 2-y f(x，y)dxC.
3、0 1 dx x 2-x f(x，y)dyD. 0 1 dy 1 2-x f(x，y)dx二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数 f(u)可微，且 f(0)= （分数：2.00）填空项 1:_11.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.函数 f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z=(x+e y )
4、 x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对应价格 P 的弹性 E p =02，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 1 元（分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_17.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy 确定 （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一
5、xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f(u，v)是二元可微函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_24.求 f(x，y)= （分数：2.00）_25.计算二重积分 （分数：2.00）_26.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_27.试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方
6、程 （分数：2.00）_28.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y),f(x,y)，求（分数：2.00）_29.设 z=f(x，y)，x=g(y，z)+ 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_30.已知 （分数：2.00）_31.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_33.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(0)=1，且 （分数：2.00）_34.计算二重积
7、分 （分数：2.00）_考研数学三（多元函数微积分学）-试卷 4 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)可微3.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分由题设可知，4.
8、 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：5.累次积分 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为 由 r=cos 为圆心在 x轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 43 所示该圆的直角坐标方程为 故用直角坐标表示区域 D 为6.设 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g(0)=a0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 =( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由积分中值定理知7.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 t dy y t f(x)dx，则 F(2)等于
9、( )（分数：2.00）A.2f(2)B.f(2) C.一 f(2)D.0解析：解析：交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1 t dy y t f(x)= 1 t dx 1 x f(x)dy = 1 t (x-1)f(x)dx 于是 F(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)故选 B8.设有平面闭区域，D=(x，y)|一 axa，xya，D 1 =(x，y)|0xa，xya，则 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区间 D=(x，y)|一 axa，xya按照直线 y=一 x 将其分成两部分 D 1 和 D 2 ，如图 44 所示，其中 D 1 关于
10、 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，因此在 D 1 和D 2 上，均有 =0 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D 1 积分不为零，在 D 2 积分值为零因此 9.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dt+ 1 2 dy 0 2-y f(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2-x f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 2-y f(x，y)dxC. 0 1 dx x 2-x f(x，y)dy D. 0 1 dy 1 2-x f(x，y)dx解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y
11、=2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数 f(u)可微，且 f(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4dx 一 2dy）解析：解析：11.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知 f x “=2x(2+y 2 )，f y “=2x 2 y+lny+1 12.函数 f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值是 1（分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 64）解析：解析：根据题意可知， 得区域 D 内驻点(2，1)，则有 f xx “=8y 一 6xy 一 2y 2 ； f xy “=8x 一 3x 2 一 4xy； f yy “=-2x 2 则 A=一 6，B=一 4，C=一 8，有 ACB 2 =320，且 A0所以，点(2，1)是 z=f(x，y)的极大值点，且 f(2，1)=4 当 y=0(0x6)时，z=0；当 x=0(0y6)时，z=0；当 x+y=6(0y6)时，z=2x 3 一 12x 2 (0x6)，且 令 13.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填
13、空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 z=(x+e y ) x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由 z=(x+e y ) x ，故 z(x，0)=(x+1) x ， 代入 x=1 得， 15.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对应价格 P 的弹性 E p =02，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 1 元（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义根据已知 收益函数为 R=pQ(p)；对收益函数做微分为16.设函数 （分
14、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一 1 一 2ln2)dy）解析：解析：17.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx 一 dy）解析：解析：根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为 18.设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy 确定 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：22ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x =xy，得 z(1，2)=0 在(z+y) x =xy 两边同时对 x 求偏导数，有 将 x=1，y
15、=2，z(1，2)=0 代入得 19.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在 z=e 2x-3z +2y 的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数 20.设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 e）解析：解析：将 x=0 代入方程 y=1 一 xe y ，得 y=1 方程两边对 x 求导，得 y=一 e y 一 xe y y y(1+xe y )=一 e y ， 因此 21.设 f(u，v)是二元可
16、微函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用求导公式可得三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 g(x)在 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g(1)=0故 )解析：24.求 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求函数 ，的驻点，f x “(x，y)=e 一 x=
17、0，f y “(x，y)=一 y=0，解得函数的驻点为(e，0) 又 A=f xx “(e，0)=一 1，B=f xy “(e，0)=0，C=f yy “(e，0)=一 1，所以 B 2 一AC0，A0故 f(x，y)在点(e，0)处取得极大值 f(e，0)= )解析：25.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 48 所示 D=D 1 D 2 ，其中 )解析：26.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|z|的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+
18、3y+3z 一 5) 令 )解析：27.试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据链式法则，有 代入所给方程得： 按题意，应取 14a+3a 2 =0，14b+3b 2 =0 即 (13a)(1 一 a)=0，(13b)(1 一 b)=0 其解分别为 于是 z=(v)dv+(u)=(v)+(u)，其中 (u)为 u 的任意的可微函数(v)为 (v) 的一个原函数 )解析：28.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y),f(x,y)，求（分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案：因为 =f 1 “(x+y),f(x，y)+f 2 “(x+y),f(x，y)f 1 “(x，y)，所以 =f 11 “(x+y),f(x，y)+f 12 “(x+y)，f(x，y).f 2 “(x，y)+f 21 “(x+y),f(x，y).f 1 “(x，y)+f 22 “(x+y)，f(x，y).f 2 “(x，y).f 1 “(x，y)+f 2 “(x+t).f(x，y).f 12 “(x，y)， 又因为 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，故 f 1 (1，1)=0,f 2 (1，1)=0，因此 )解析：29.设 z=f(x，y)，x=g(y，z)+ 其中
20、f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(x，y)，有 dz=f 1 “dx+f 2 “dy )解析：30.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =2x+y+1，有 u(x，t)=x 2 +xy+x+(y)，再结合 =x+2y+3，有x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2 +3y+C， 于是 u(x，y)=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C 又由u(0，0)=1 得 C=1，因此 u(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x+3y+1 )解析：31.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y
21、)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D 内的驻点，即令 因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为f(2，1)=4 再求 f(x，y)在 D 边界上的最值 (1)在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0 (2)在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0 (3)在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x,y)=2x 2 (x 一 6)， f x “=6x 2 一 24x=0， 得 x=0(舍)，x=4，y=6 一 x=2 于是得驻点 )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答
22、案：(正确答案：*1 同理， 将其代入原方程，则得 u”+u=r 2 ，该方程的通解是 u=C 1 cosr+C 2 sinr+r 2 一 2， 于是 )解析：33.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(0)=1，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知，题中所示区域如图 49 所示 则两边关于 t 求导可得 即 (t 一 2)f“(t)+2f(t)=0， 转化为求解微分方程(t 一 2)y+2y=0，满足初始条件 y| t=0 =1 分离变量并两边同时积分可得 lny=-2ln(t 一 2)+lnC， 即 将初值条件代入可得 C=4即 y=f(t)= )解析：34.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
