1、考研数学三（微积分）-试卷 32 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，e x （ax 2 +bx+1）是比 x 2 高阶的无穷小，则（ ）（分数：2.00）A.a=B.a=1，b=1C.a=D.a=1，b=14.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在 x=a 处可导的一个
2、充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f（x）=arctanx （分数：2.00）A.f（x）在1，+）单调增加B.f（x）在1，+）单调减少C.f（x）在1，+）为常数D.f（x）在1，+）为常数 06.设 （分数：2.00）A.f（x）的导数存在，且 f“（a）0B.f（x）取得极大值C.f（x）取得极小值D.f（x）的导数不存在7. （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且 f“（0）=g“（0）=0，则函数 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00
3、）A.f“（0）0，g“（0）0B.f“（0）0，g“（0）0C.f“（0）0，g“（0）0D.f“（0）0，g“（0）09.设 f（x）为连续函数，F（t）= 1 t dy y t f（x）dx，则 F“（2）等于（ ）（分数：2.00）A.2f（2）B.f（2）C.一 f（2）D.010.下列命题成立的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.函数 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“y“2y=3xe xB.y“y“2y=3e xC.y“+y“2y=3xe xD.y“+y“2y=3e x二、填空题(总题数：9，分数
4、：18.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f“（x）=e f（x） ，f（2）=1，则 f“（2）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设曲线 y=f（x）与 y=x 2 x 在点（1，0）处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f（u）可微，且 f“（2）=2，则 z=f（x 2 +y 2 ）在点（1，1）处的全微分 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2
5、）和（0，1）的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 a 1 =1， （分数：2.00）填空项 1:_20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“+y“2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 f（x）= （分数：2.00）_23.（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a，6）内可导，则存在（a，b），使得 f（b）f（A）=f“（）（ba）。 （）证明：若函数 f（x）在 x=0 处连续，在（0，）（0）
6、内可导，且 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线 y=f（x）与直线 y=0，x=1 及x=t（t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.求函数 M=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.设 a n = tan n xdx。 （）求 （a n +a n+2 ）的值
7、； （）证明对任意的常数0，级数 （分数：2.00）_30.设幂级数 a n x n 在（一，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“2xy“4y=0，y（0）=0，y“（0）=1 （）证明：a n+2 = （分数：2.00）_31.设函数 y=y（x）在（一，+）内具有二阶导数，且 y“0，x=x（y）是 y=y（x）的反函数。（）试将 x=x（y）所满足的微分方程 =0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y“（0）= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 32 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
8、：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意得 （ax 2 +bx+ccosx）=0，得 c=1， 又因为 所以得 b=0，a= 3.当 x0 时，e x （ax 2 +bx+1）是比 x 2 高阶的无穷小，则（ ）（分数：2.00）A.a= B.a=1，b=1C.a=D.a=1，b=1解析：解析：因 e x =1+x+ +o（x 2 ），故 e 2 （ax 2
9、 + bx +1）=（1b）x+（ -a）x 2 + o（x 2 ） 显然要使上式是比 x 2 高阶的无穷小（x0 时），只要 4.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在 x=a 处可导的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因5.设 f（x）=arctanx （分数：2.00）A.f（x）在1，+）单调增加B.f（x）在1，+）单调减少C.f（x）在1，+）为常数 D.f（x）在1，+）为常数 0解析：解析：按选项要求，先求 f“（x）。6.设 （分数：2.00）A.f（x）的导数存在，且 f“（a）0B.f（x）取得极大值 C.f（x）
10、取得极小值D.f（x）的导数不存在解析：解析：利用赋值法求解。取 f（x）f（a）=一（x 一 a） 2 ，显然满足题设条件，而此时 f（x）为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。7. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 可见有 I 1 I 2 ，可排除 C、D，又由 I 2 8.设函数 f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且 f“（0）=g“（0）=0，则函数 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f“（0）0，g“（0）0 B.
11、f“（0）0，g“（0）0C.f“（0）0，g“（0）0D.f“（0）0，g“（0）0解析：解析：由 z=f（x）g（y），得 9.设 f（x）为连续函数，F（t）= 1 t dy y t f（x）dx，则 F“（2）等于（ ）（分数：2.00）A.2f（2）B.f（2） C.一 f（2）D.0解析：解析：交换累次积分的积分次序，得 F（t）= 1 t dy 1 t f（x）dx= 1 t dx 1 x f（x）dy= 1 t （x 一 1）f（x）dx， 于是 F“（t）=（t1）f（t），从而 F“（2）=f（2）。故选 B。10.下列命题成立的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D
12、.解析：解析：由于 =0 中至少有一个不成立，则级数11.函数 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“y“2y=3xe xB.y“y“2y=3e xC.y“+y“2y=3xe xD.y“+y“2y=3e x 解析：解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1， 2 =2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 +2=0 故对应的齐次微分方程为 y“+y“2y=0。 又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解，而 =1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f（x）
13、=Ce x （C 为常数）。比较四个选项，应选 D。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：13.设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f“（x）=e f（x） ，f（2）=1，则 f“（2）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3）解析：解析：由题设知，f“（x）=e f（x） ，两边对 x 求导得 f“（x）=e f（x） f“（x）=e 2f（x） ， f“（x）=2e 2f（x） f“（x）=2e 3f（x） 又 f（2）=1，故 f“（2）=2e 3f（x） =
14、2e 3 。14.设曲线 y=f（x）与 y=x 2 x 在点（1，0）处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据已知条件有15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt，故 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设函数 f（u）可微，且 f“（2）=2，则 z=f（x 2 +y 2 ）在点（1，1）处的全微分 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4（dx+dy）解析：解析：由题干可
15、知，dz=f“（x 2 +y 2 ）（2xdx+2ydy），则 dz| （1，1） =f“（2）（2dx+2dy）=4（dx+dy）。18.D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+sin1+cos12sin2cos2）解析：解析：积分区域可以表示为 D=（x，y）|0y1+x，0x1，则 （1+x）sinyd= 0 1 dx 0 1+x （1+x）sinydy = 0 1 （1+x）一（1+x）cos（1+x）dx， 利用换元法，令1+x=t，x0，1时，t1，2，则 19.设 a 1 =1，
16、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2020）解析：解析：级数 （a n+1 a n ）的部分和数列为 S n =（a 2 a 1 ）+（a 3 a 2 ）+（a n+1 a n ） =a n+1 a 1 =a n+1 1。 则 20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“+y“2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx，C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数）解析：解析：微分方程对应的特征方程为 3 2 2 +2=0。 解上述方程可得其特征值为2，i，于是其中一组特解为 e
17、2x ，cosx，sinx。 因此通解为 y=C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx，C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数。三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a，6）内可导，则存在（a，b），使得 f（b）f（A）=f“（）（ba）。 （）证明：若函数 f（x）在 x=0 处连续，在（0，）（0）内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
18、（）作辅助函数 （x）=f（x）一 f（a）一 （xa），易验证 （x）满足：（a）=（b）；（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点 ，使 “（）=0，即 所以 f（b）f（A）=f“（）（ba）。 （）任取 x 0 （0，），则函数 f（x）满足在闭区间0，x 0 上连续，开区间（0，x 0 ）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线 y=f（x）与直线 y=0，x=1 及x=t（
19、t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为 V= 1 t f 2 （x）dx= 1 t f 2 （x）dx， 曲边梯形的面积为 s= 1 t f（x）dx，则由题可知 1 t f 2 （x）dx=t 1 t f（x）dx，即 1 t f 2 （x）dx=t 1 t f（x）dx。 两边对 f 求导可得 f 2 （t）= 1 t f（x）dx+tf（t），即 f 2 （t）一tf（t）= 1 t f（x）dx，（*） 等式两端求导可得 2f（t）f“（t）f（t）一 tf“（t）=f
20、（t），化简可得（2f（t）t）f “（t）=2f（t），即 在（*）式中令 t=1，则 f 2 （1）一 f（1）=0，因为已知 f（x）0，所以 f（1）=1，代入 t= 所以该曲线方程为 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求函数 M=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题可转化为一个约束函数的情况，求 u=x 2 +y 2 +x 4 +2x 2 y 2 +y 4 在条件x+y+x 2 +y 2 =4 下的最值，设 F（x，y，）=u=x 4
21、 +y 4 +2x 2 y 2 +x 2 +y 2 +（x+y+x 2 +y 2 4）， 令 )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 D 1 =（x，y|x 2 +y 2 1，（x，y）D， D 2 =（x，y）|x 2 +y 2 1，（x，y）D， 因此 )解析：29.设 a n = tan n xdx。 （）求 （a n +a n+2 ）的值； （）证明对任意的常数0，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设幂级数 a n x n 在（一，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“2xy“4y=0，y（0）=0，y“（0）=1 （）
22、证明：a n+2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）记 n（n1）anx n2 ，代入微分方程 y“2xy“4y=0 有 （）由初始条件 y（0）=0，y“（0）=1，知 a 0 =0，a 1 =1，于是根据递推关系式 a n+2 = )解析：31.设函数 y=y（x）在（一，+）内具有二阶导数，且 y“0，x=x（y）是 y=y（x）的反函数。（）试将 x=x（y）所满足的微分方程 =0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y“（0）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由反函数的求导公式知 由 y（0）=0，y“（0）= ，得 C 1 =1，C 2 =1。故所求初值问题的特解为 y=e x e x 一 )解析：
