1、考研数学三（微积分）-试卷 36 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=一 1D.r=13.设 u n =(一 1) n ln ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设幂级数 a n (x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6
2、. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.计算 （分数：2.00）_11.计算 （分数：2.00）_12.计算二重积分 （分数：2.00）_13.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大？（分数：2.00）_14.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：
3、2.00）_15.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_17.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_19.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分
4、数：2.00）_21.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_22.讨论级数 （分数：2.00）_23.设 a n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 a n 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_24.设 0a n （分数：2.00）_25.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_26.设 a n = tan n xdx (1)求 (a n +a n+2 )的值； (2)证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_27.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_28.设na n 收敛，且 n(a n 一 a n 一
5、 1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_29.设 a n 0(n=1，2，)且a n n 一 1 单调减少，又级数 (一 1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_30.证明： (1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 a n 2 收敛； (2)若 n 2 a n =k0，则级数 （分数：2.00）_31.设 (n=1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n 收敛，则级数 a n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_32.设u n ，c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1
6、 u n+1 0，且 发散，则 u n 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 一 c n+1 a(a0)，且 收敛，则 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 36 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=一 1 D.r=1解析：解析：因为 u n 条件收敛，所以级数 u n 一定不是正项或负项级数，故 r0 3.设 u n =(一 1) n ln ，则( ) （分数：2.0
7、0）A.B. C.D.解析：解析：显然 u n 条件收敛， 收敛，所以 4.设幂级数 a n (x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：因为 a n x(x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛，所以级数 a n n 的收敛半径为 R=4，又因为级数 a n x n 有相同的收敛半径，所以 的收敛半径为 R=4，于是 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：
8、解析：7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1 一 ln2)）解析：解析：8.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：24，分数：48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 (x 2 +4x+y 2 )dxdy= (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 1 是 D
9、位于第一卦限的区域 )解析：13.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S:x 2 +y 2 +(z 一 a) 2 =R 2 ， 由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy面上的投影区域为 D xy :x 2 +y 2 (4a 2 一 R 2 ), 球面 S 在定球内的方程为 因为 )解析：14.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F（x）= a b f
10、(t)dt， 则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)一F(x)dx =F(b) a b f(x)dx 一 a b f(x)F(x)dx=F 2 (b)一 a b F(x)dF(x) )解析：15.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 )解析：16.设 f(
11、x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：18.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：19.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在
12、0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 (x)dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dxyf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)f(y)一 f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)一 f
13、(y)dy， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y 一 x)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 )解析：21.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 )解析：22.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由正项级数的比较审敛法得 )解析：23.设 a n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 a n 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a n = 由交错级数的 Le
14、ibniz 审敛法，级数 收敛， 取 0 =1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n 一 0|1，从而 0a n 1，当 nN 时，有 0a n 2 a n 1 由 a n 收敛得 收敛，再由比较审敛法得 )解析：24.设 0a n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 a n = tan n xdx (1)求 (a n +a n+2 )的值； (2)证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x)
15、 n dx，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设na n 收敛，且 n(a n 一 a n 一 1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =a 1 +a 2 +a n ，S“ n+1 =(a 1 一 a 0 )+2(a 2 一 a 1 )+(n+1)(a n+1 一 a n )，则 S“ n+1 =(n+1)a n+1 一 S n 一 a 0 ，因为 n(a n 一 a n 一 1 )收敛且数列na n 收敛，所以 (n+1)a n+1 都存在，于是 S n 存在，根据级数收敛的定义， )解析：29.设 a n 0(n=1，
16、2，)且a n n 一 1 单调减少，又级数 (一 1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为a n n 单调减少且 a n 0(n=1，2，)，所以 由 (一 1) n a n 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 )解析：30.证明： (1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 a n 2 收敛； (2)若 n 2 a n =k0，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 0a n 2 而级数 收敛，所以级数 a n 2 收敛 (2)取 0 = =k0，所以存在 N0，当
17、nN 时，|n 2 a n 一 k| ，即 0n 2 a n ，或者 0a n 而 )解析：31.设 (n=1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n 收敛，则级数 a n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， )解析：32.设u n ，c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n+1 0，且 发散，则 u n 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 一 c n+1 a(a0)，且 收敛，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n+1 0，于是 c n u n c n+1 c n u n c 1 u 1 0， 从而 u n c 1 u 1 也发散 (2)因为对所有 n 满足 一 c n+1 a，则 c n u n 一 c n+1 u n+1 au n+1 ，即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ，所以 于是 因为 )解析：
