1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 40 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)
2、为某一随机变量的分布函数3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(x)B.F(x)=F(x)C.f(x)=f(x)D.f(x)=f(x)4.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少5.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X|2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，
3、与 2 有关D.与 及 2 都有关6.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X4)，q=P(y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小由 的取值确定7.设随机变量XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a)=1B.F(+a)+F(a)=1C.F(a)+F(a)=1D.F(a)+F(a)=1二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设一次试验中，出现事件 A 的概率为
4、p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 服
5、从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_17.一工人同时独立制造 3 个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_20.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8，求任取一件产品是次品
6、的概率（分数：2.00）_现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3 个白球；第三个箱子有 3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球（分数：4.00）(1).求取到白球的概率；（分数：2.00）_(2).若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_21.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_22.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个
7、球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_23.设 X 的密度函数为 若 （分数：2.00）_有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：4.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：2.00）_(2).求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_设连续型随机变量 X 的分布函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A，B；（
8、分数：2.00）_(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_(3).求 （分数：2.00）_设随机变量 X 的密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求 X 在 （分数：2.00）_(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 40 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f
9、2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析：可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(x)B.F(x)=F(x)C.f(x)=f(x) D
10、.f(x)=f(x)解析：解析： F X (x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1 一 P(X一 x)= 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 4.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加 D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少解析：解析：因为 所以 解得 A=e a 由 5.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X|2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关 B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关解析：解析：因
11、为 P(|X 一 |2)=P(一 2X2)=6.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X4)，q=P(y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析：由 p=P(X 一 4)=P(X 一 一 4)= =(一 1)=1 一 (1)，q=P(y+5)=P(Y 一5)=7.设随机变量XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a)=1B.F(+a)+F(a)=1 C.F(a)+F(a)=1D.F(a)+F(a)=1解析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 二、填
12、空题(总题数：10，分数：20.00)8.从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n 阶行列式有 n!项，不含 a 11 的项有(n 一 1)(n一 1)!个，则 ）解析：9.设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为 1，A 至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 B=A 至少发生一次，则 P(B)=1 一 C n 0 p 0 (1 一 p) n =1 一(1 一 p) n ， 令 C=A 至多发生一次， 则 P(C)=C n
13、 0 p 0 (1 一 p) n +C n 1 p(1 一 p) n-1 =(1 一 p) n-1 1+(n 一 1)p）解析：10.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：11.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为方程 x 2 +4x+x=0 无实根，所以 164X0，即 X4 由 XN(， 2 )且 P(X4)= ）解析：12.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*）解析：1
14、3.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*得*）解析：14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X 的分布律为 由 P(X=0)= ）解析：15.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得 于是 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 而 E(X 一 1)(X+2)=E(X 2 )+
15、E(X)一 2= 解得 ）解析：16.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*则 a=2）解析：17.一工人同时独立制造 3 个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 A k =第 k 个零件不合格)(k=1，2，3)， 则 ）解析：三、解答题(总题数：11，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1
16、 =第一次抽取正品，A 2 =第一次抽取次品)，B=第二次抽取次品， 由全概率公式得 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )= )解析：20.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8，求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 =抽取到甲厂产品，A 2 =抽取到乙厂产品)，A 3 =抽取到丙厂产品)，B=抽取到次品，P(A 1 )=06，P(A 2 )=025，P(A 3 )=015， P(B|A 1 )=003，P(B|A 2 )=005，P(B|A 3 )=008， 由全概率公
17、式得 P(B)= )解析：现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3 个白球；第三个箱子有 3个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球（分数：4.00）(1).求取到白球的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =取到的是第 i 只箱子(i=1，2，3)，B=取到白球 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )+P(A 3 )P(B|A 3 ) )解析：(2).若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有
18、红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 X 的可能取值为 0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1 =1)= P(X=1)=P(X 1 =0，X 2 =1)= P(X=2)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =1)= P(X=3)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =0)= 所以 X 的分布律为 )解析：22.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2
19、.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X 的分布律为 分布函数为 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x一 1 时，F(x)=0； 当一 1x0 时， 当 0x1 时， 当x1 时，F(x)=1 )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 X 的密度函数为 若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 k6，当 3k6 时， 当 1k3 时， 当 0k1 时， )解析：有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，
20、第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：4.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =所取的为第 k 个盒子(k=1，2，3)， X 的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0|A 3 )P(A 3 )= P(X=1)=P(X=1|A 2 P(A 2 )+P(X=1|A 3 )P(A 3 ) P(X=2)=P(X=2|A 1 )P(A 1 )+P(X=2|A 2 )P(A 2 )+P(X=2|A 3 )P(A 3 ) P(X=3)=P(X=3|A 1 )P(A 1 )+P(X
21、=3|A 2 )P(A 2 )= 所以 X 的分布律为 )解析：(2).求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设连续型随机变量 X 的分布函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A，B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为连续型随机变量的分布函数是连续的， 所以有 解得 )解析：(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设随机变量 X 的密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 解得 )解析：(2).求 X 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
