1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 23 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f“(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时， 0 x f(t)dt 0 x =xf(t)dtB.当 0x1 时， 0 x f(t)dt= 0 x xf(t)dtC.当 0x1 时， 0 x (t)dt 0 x xf(f)dtD.以上结论均不正确3.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2
2、.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f9x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 25.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f“(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续D.以上结论都不对6.设
3、y=f(x)是方程 y“一 2y“+4y=0 的一个解，且 f“(x 0 )0,f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少7. （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件8.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同价的无穷小C.比x 低价的无穷小D.比x 高价的无穷小9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=
4、0B.f(a)=0，且 f“(a)0C.f(a)0，且 f“(a)0D.f(a)0，且 f“(a)010.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)12.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，
5、则导数 f“(x)不存在的点个数是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.313.设函数 f(x)在 R + 上有界且可导，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.14.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件15.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）A.B.C.一 8ln2+3D.8ln2+316.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2x在区间 （分数：2.00）
6、A.3B.2C.1D.017.曲线 y=(x 一 1) 3 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.318.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.319.设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0,f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)20.设常数 k0，函数 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.021.设函数 g(x)可微，h(x)=e
7、1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31B.一 1n31C.一 ln21D.ln21二、填空题(总题数：8，分数：16.00)22.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_23.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_24.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_25.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 y=(1+sinx) y ，则 dy x=y = 1.（分数：2.00）填空项 1:_27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_28
8、.已知 f“(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_29.设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1,f“(0)=3，则数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_31.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在开区间(a，b)内 g(x)0(2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_32.求极限 （分数：2.00）_33.求极
9、限 （分数：2.00）_34.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数（分数：4.00）(1).写出 f(x)在一 2，2上的表达式；（分数：2.00）_(2).问 k 为何值时 f(x)在 x=0 处可导（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 23 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.
10、00）_解析：2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f“(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时， 0 x f(t)dt 0 x =xf(t)dt B.当 0x1 时， 0 x f(t)dt= 0 x xf(t)dtC.当 0x1 时， 0 x (t)dt 0 x xf(f)dtD.以上结论均不正确解析：解析：记 F(x)= 0 x f(t)dt 一 0 1 xf(t)dt，因此 F“(x)=f(x)一 0 1 f(t)dt 在0，1连续，且 F“(x)=f“(x)0(x(0，1)，所以 F“(x)在0，1单调递减又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理
11、可知存在(0，1)，使得 3.设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f9x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处因此，本题只需讨论 x=0两边 f“(x),f“(x)的符号可以选择区间(一 1，1)来讨论4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.0
12、0）A.2B.一 1C.D.一 2 解析：解析：将题中等式两端同乘 2，得5.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f“(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左右导 f - “(x 0 ),f + “(x 0 )与在 x=x 0 处的左右极限 区分开 6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y“+4y=0 的一个解，且 f“(x 0 )0,f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值
13、 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由 f“(x 0 )=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点，将 x=x 0 代入方程，得 y“(x 0 )一 2y“(x 0 )+4y(x 0 )=0考虑到 y“(x 0 )=f“(x 0 )=0，y“(x 0 )=f“(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )0，有 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0，由极值的第二判定定理知 f(x)在点 x 0 处取得极大值，故选 A7. （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：充分性：设 g(x 0 )=h
14、(x 0 )，g - “(x 0 )=h + “(x 0 )，则 f(x)可改写为 所以 f - “(x 0 )=g + “(x 0 )f + “(x 0 )=h + “(x 0 )，即 f - “(x 0 )=f + “(x 0 ) 必要性：由可导的充要条件得 f(x)在 x 0 处可导设 f(x)在 x 0 处可导，则 f(x)在 x 0 处连续，所以 又 g - “(x 0 )与 h + “(x 0 )存在，则 g(x)，h(x)在 x 0 分别左右连续，所以 因此，g(x 0 )=h(x 0 )，所以有 8.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同价的无
15、穷小 C.比x 低价的无穷小D.比x 高价的无穷小解析：解析：由 f(x)在 x 0 点处可导及微分的定义可知 于是 9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f“(a)=0B.f(a)=0，且 f“(a)0 C.f(a)0，且 f“(a)0D.f(a)0，且 f“(a)0解析：解析：若 f(a)0，由复合函数求导法则有 ，因此排除 C 和 D(当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，f(x)在 x=a 点可导)当 f(a)=0 时，10.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不
16、可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：本题可以先求出 f(x)的表达式，再讨论其不可导点11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f“()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)解析：解析：因只知 f(x)在闭区间a，b上有定义，故选项 A、C、D 均不一定正确，故选 B12.设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3
17、，则导数 f“(x)不存在的点个数是( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 (x)=(x 一 1)(x 一 2) 3 (x 一 3) 3 ，则 f(x)=(x)使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 “(x)在这些点的值“(x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，显然，“(1)0，“(2)=0，“(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1故选 B13.设函数 f(x)在 R + 上有界且可导，则( )（分数：2.00）
18、A.B. C.D.解析：解析：可以用反证法证明选项 B 是正确的假设14.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析：因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F“(a)题设下面证明若 F“(a)存在，则 g(a)=0反证法，若 g(a)0, 由商的求导法则，(x)在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=
19、a 处可导的充要条件故选 A15.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）A. B.C.一 8ln2+3D.8ln2+3解析：解析：当 x=3 时，根据等式 t 2 +2t=3，得 t=1，t=一 3(舍去)，因此有 所以过点 x=3(y=ln2)的法线方程为：yln2=一 8(x 一 3)，令 y=0，可得法线与 x 轴交点的横坐标为 16.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2x在区间 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g(x)=x 2 +x 一 2，(x)=sin2x，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续但有不可导点所以只须考查 (x)不可
20、导点处 g(x)是否为零(x)=sin2x的图形如图 22 所示，在 只有不可导点 ，其余均可导 因为 ，所以 g(x)=g(x)(x)在 x=0， 17.曲线 y=(x 一 1) 3 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：对于曲线 y，有 y“=2(x 一 1)(x 一 3) 2 +2(x 一 1) 2 (x 一 3)=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)，y“=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2)=8(x 一 1)(2x 一 5)，令 y“=0，得 x 1 =1， 又由 y
21、“=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得 y“(1)=一 240, 18.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 19.设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0,f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b) C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)解析：解析：将 A，B 选项分别改写成20.设常数 k0，函数 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：因 ，令 f“(x)=0，得唯一驻点
22、 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f“(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e，+)内都具有单调性又 f(e)=k0，而21.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31B.一 1n31C.一 ln21 D.ln21解析：解析：先对已知函数 h(x)=e 1+g(x) 两边同时对 x 求导，可得 h“(x)=e 1+g(x) g“(x)在上面的等式中令 x=1，结合已知 h“(1)=1，g“(1)=2 可知 1=h“(1)=e 1+g(1) g“(1)=2e 1+g(1) ，因此得 g(
23、1)=一 ln21，故选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)22.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，1)）解析：解析：本题主要考查参数方程曲线的凹凸性 23.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y“一 1=e x(
24、1-y) (1 一 y 一 xy“)，将 x=0，y=1 代入上式，可得 y“(0)=1所以 26.设 y=(1+sinx) y ，则 dy x=y = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 dx）解析：解析：运用等式转换 y=(1+sinx) x =e xln(1+sinx) ，于是 27.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时， 当 x=0 时，28.已知 f“(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：29.设函数 f
25、(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1,f“(0)=3，则数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：原数列极限可转化为三、解答题(总题数：6，分数：12.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：31.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在开区间(a，b)内 g(x)0(2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a
26、，c和c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1 (a，c)和 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0 成立 接着再对 g“(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔中值定理，可知存在 3 ( 1 ， 2 )，使得g“( 3 )=0 成立，这与题设条件 g“(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0 (2)构造函数 F(x)=f(x)g“(x)一 g(x)f“(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(A)=F(B)=0根据罗尔中值定理可知，存在点 (a，b)，使得 F“()=0即 f()g“()一f“()g()=0，
27、因此可得 )解析：32.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用等价无穷小替换和洛必达法则 )解析：34.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数（分数：4.00）(1).写出 f(x)在一 2，2上的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 一 4=kx(x+2)(x+4) 所以,f(x)在一 2，2上为 )解析：(2).问 k 为何值时 f(x)在 x=0 处可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 f(0)=0 )解析：
