1、考研数学二（二重积分）-试卷 1 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab3.设 D：|x|+|y|1，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.14.累次积分 0 1 dx x 1 f(x,y)dy+ 1 2 dy 0 2-y f(x，y)dx 可写成 ( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2-x f(x，y)dyB. 0 1 dy y 2-y f(x,y)dxC. 0 1 dx x 2
2、-x f(x,y)dyD. 0 1 dy y 2-y f(x，y)dx5.f(x，y)dy 化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0C.D.1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_9.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I= 0 a dy 0
3、y e m(a-x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy dy= 0 1 x x dx（分数：2.00）_14.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_15.(1)设 D=(x，y)|axb，cyd)，若 f xy “与 f
4、 yx “在 D 上连续，证明： （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e -f(y) 1（分数：2.00）_18.求 V(t)= (t 一 1)y+1)dxdy 的最大值，其中 D t =(x，y)|x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_19.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_20.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_21.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_22.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.计算二重
5、积分 （分数：2.00）_25.求二重积分 其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.计算 (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 由 y=一 x，x 2 +y 2 =4，y= （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_32.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_33. （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷
6、1 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.cba B.abcC.bacD.cab解析：解析：由于 D=(x，y)|x 2 +y 2 1)，所以 3.设 D：|x|+|y|1，则 （分数：2.00）A.0B.C. D.1解析：解析：因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 ydxdy=0，且有4.累次积分 0 1 dx x 1 f(x,y)dy+ 1 2 dy 0 2-y f(x，y)dx 可写成 ( )（分数：2.00）A. 0
7、2 dx x 2-x f(x，y)dyB. 0 1 dy y 2-y f(x,y)dxC. 0 1 dx x 2-x f(x,y)dy D. 0 1 dy y 2-y f(x，y)dx解析：解析：区域 D1：0x1,xy1 为直线 x=0，y=x，y=1 围成的；区域 D 2 ：1y2，0x2一 y 为直线 x=0，x+y=2，y=1 围成的所以积分区域 D=D 1 D 2 是由直线 x=0，y=x，x+y=2 围成的，故原积分形式可写成 0 1 dx x 2-x f(x,y)dy5.f(x，y)dy 化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y=
8、1+ x 2 +(y 一 1) 2 =1(y1)，所以积分区域 D 是圆 x 2 +(y1) 2 1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为 6.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0 C.D.1解析：解析：由 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx 得 0 1 =(1 一 x)f(x)dx=0，于是 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x=rsin，y=rcos，则原式= 0 1
9、dr 0 2 (r 2 sin 2 +r 2 cos 2 ).rd= 0 1 r 3 dr 0 2 d= 8.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由已知有，所求积分区域为 所围成的区域，所以9.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知有，所求积分区域为 y=1，y=一 x 2 +1，y=ln x 所围成的区域，所以 10.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I= 0 a dy 0 y e m(a-x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.0
10、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 a e m(a-x) f(x)(a-x)dx）解析：解析：被积函数仅是 z 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0 a dx x a e m(a-x) f(x)dy= 0 a e m(a-x) f(x)(a 一 x)dx11.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y 2 )关于变量 x 是奇函数，故 三、
11、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy dy= 0 1 x x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分 在 0 1 (xy) xy dy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy,当 y 从 1 变到 1 时，从 0 变到 x，则 )解析：14.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.(1)设 D=(x，y)|a
12、xb，cyd)，若 f xy “与 f yx “在 D 上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = a b dx c d f xy “(x，y)dy= a b f x “(x,y)| c d dx = a b f x “(x，d)一 f x “(x，c)dx =f(x，d)| a b f(x，c)| a b =f(b，d)一 f(a，d)+f(a，c)一 f(b，c) 同理， = c d dy a b f yx “(x,y)dx=f(b，d)一 f(b，d)+f(a，c)一 f(b，c)? 结论成立 (2)用反证法 设 P 0 (x 0 ，y 0 )D，有 f xy “(x
13、 0 ，y 0 )f yx “(x 0 ，y 0 ) 不妨设 f xy “(x 0 ，y 0 )一 fyx“(x 0 ，y 0 )0，由于 当 P(x，y)U(P 0 ，)时有 f xy “(x，y)一 f yx “(x，y) 0 )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，有 )解析：17.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e -f(y) 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 V(t)= (t 一 1)y+1)dxdy 的最大值，其中 D t =(x，y)|x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_正
14、确答案：(正确答案： )解析：19.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 155， 则 )解析：20.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 156 则 )解析：21.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 157，D=D 1 +D 2 ，其中 )解析：22.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 158，D 故 )解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
15、解析：25.求二重积分 其中 D 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域：minx，y= 其中 D 1 =(x，y)|0y1，yx3，D 2 =(x，y)|0y1，0xy)所以 )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.计算 (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 由 y=一 x，x 2 +y 2 =4，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (x 一 1) 2 +y 2 =1，y0 y=一 x 与
16、x 2 +y 2 =4 的交点为 y=一x 与 y= 的交点为(0，0) x 2 +y 2 =4 与 y= 的交点为(2，0)如图 159 所示 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 I=(b 一 a) a b f(x)g(x)dx a b f(x)dx a b g(x)dx = a b dy a b f(x)g(x)dx 一 a b f(x)dx a b g(y)dy 其中 D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 )解析：33. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a0，D a =(x，y)|一 axa，一 aya)，则当 a+时，D a D，从而 )解析：
