1、考研数学二（二重积分）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.a= （分数：2.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab4.设 D：x+y1，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.15.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 0 1 f(x
2、)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0C.D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 f(x，y)为连续函数，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.交换二次积分次序： 0 1 dy （分数：2.00）填空项 1:_10.交换二次积分次序： 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I= 0 a dy 0 y e m(a 一 x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u)为连续函数，D 是
3、由 y=1，x 2 一 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e 一 f(y) dy1（分数：2.00）_15.求 V(t)= (t 一 1)y+1dxdy 的最大值， 其中 D t =(x，y)x 2 +y 2 1，一 （分数：2.00）_16.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_17.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_18.
4、变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_19.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.计算二重积分 （分数：2.00）_22.求二重积分 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.设 f(x，y)= （分数：2.00）_29.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a)f(x)g(x)dx（分数：2.00）_30.计算 一 +
5、一 + minx，y) （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(一 1) m (一 1) n =一 1，从而积分为零； 当 m 和 n 均为奇数时，(一 1) m (一 1) n =1，从而 3.a= （分数：2.00）A.cba B.a
6、bcC.bacD.cab解析：解析：由于 D=(x，y)x+y1，所以4.设 D：x+y1，则 （分数：2.00）A.0B.C. D.1解析：解析：5.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y=1+ 得 x 2 +(y 一 1) 2 =1(y1)，所以积分区域 D 是圆 x 2 +(y 一 1) 2 1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为 6.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0 C.D.1解析：解析：由 0 1 f(x)
7、dx= 0 1 xf(x)dx 得 0 1 (1 一 x)f(x)dx=0，于是 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 f(x，y)为连续函数，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(0，0)）解析：解析：因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2 +y 2 t 2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为积分上限的函数 因 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 t 2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=f(，)=t 2 f(，) 因(，)
8、在 D：x 2 +y 2 t 2 上，所以当 t0 + 时，(，)(0，0) 于是 8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=rsin ，y=rcos，则 原式= 0 1 dr 0 2 (r 2 sin 2 +r 2 cos 2 )rd= 0 1 r 3 dr 0 2 d= 9.交换二次积分次序： 0 1 dy （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 4 dx ）解析：解析：由已知有，所求积分区域为 y= ，x=y 2 所围成的区域，所以 10.交换二次积分次序： 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
9、答案： 0 1 dy ）解析：解析：由已知有，所求积分区域为 y=1，y=一 x 2 +1，y=ln x 所围成的区域，所以 11.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I= 0 a dy 0 y e m(a 一 x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 a e m(a 一 x) f(x)(a 一 c)dx）解析：解析：被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0 a dx x a e m(a 一 x) f(x)dy = 0 a e
10、m(a 一 x) f(x)(a 一 x)dx12.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y 2 )关于变量 x 是奇函数，故 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e 一 f(y) dy1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：1
11、5.求 V(t)= (t 一 1)y+1dxdy 的最大值， 其中 D t =(x，y)x 2 +y 2 1，一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 158 所示，D=D 1 +D 2 ，其中 )解析：19.变换二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：
12、(正确答案： )解析：21.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：22.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域：minx，y= 其中 D 1 =(x，y)0y1，yx3)，D 2 =(x，y)0y1，0xy)所以 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b 一 a)f(x)g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.计算 一 + 一 + minx，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a0，D a =x，y)一 axa，一 aya，则当 a+时，D a D，从而 )解析：
