1、考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：36.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x，y)可微，且对任意的 x，y，都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 B.x 1 x 2 ，y 1 y 2 C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 D.x 1 x 2 ，y 1 23.设函数 u(x，y)(xy)(xy) xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B.C.D.
2、4.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 ，其中函数 f可微，则 （分数：2.00）A.2yf(x y)B.2yf(x y)C.D.6.设函数 zz(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 F“ 2 0 且 （分数：2.00）A.xB.zC.xD.z7.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：2.00）A.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )0B.若 f“
3、x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )0C.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )一 0D.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )08.设函数 zf(x，y)的全微分为 dzxdxydy，则点(0，0)（分数：2.00）A.不是 f(x，y)的连续点B.不是 f(x，y)的极值点C.是 f(x，y)的极大值点D.是 f(x，y)的极小值点9.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)g“(0)0，则函数 zf(x)g(x)在点(0，0)处取得极小
4、值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f“(0)0，g“(0)0B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)010.=_。 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设函数 f(u)连续，区域 D(x，y)x 2 y 2 2y)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.12.设函数 f(x)连续若 ，其中区域 D uv 为图 152中阴影部分，则 （分数：2.00）A.vf(u 2 )B.C.vf(u)D.13.设区域 D(x，y)x 2 y 2 4，x0，y0f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(ab
5、)D.14.设区域 D由曲线 ysinx， ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D.15.设 D k A是网域 Df(x，y)x 2 y 2 1位于第 k象限的部分，记，I k （分数：2.00）A.I 1 0B.I k2 0C.I 3 0D.I 4 016.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.18.设函数 f(x，y)连续，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)19.设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：2.00）填空项 1
6、:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 zz(x，y)由方程 ze 2x3z 2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 ，其中函数 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设平面区域 D由直线 yx，圆 x 2 y 2 2y，及 y轴围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设 zf(x 2 y 2 ，e xy )，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_26.设 xf(xy，xy，xy)，其中 f具有
7、二阶连续偏导数，求 dx与 （分数：2.00）_27.设函数 uf(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的值，使等式在变换xay，xby 下化简为 （分数：2.00）_28.设函数 zf(xy,yg(x)，函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x1 处取得极值 g(1)1求 （分数：2.00）_29.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)1，函数 yy(x)由方程 yxe y1 1 所确定，设 zf(lnysinx)，求 （分数：2.00）_30.已知函数 zf(x，y)的全微分 dz2xdx2ydy，并且 f(1，1)2求 f(x，y)在椭圆域 （分
8、数：2.00）_31.求函数 ux 2 y 2 z 2 在约束条件 zx 2 y 2 和 xyz4 下的最大值与最小值（分数：2.00）_32.求函数 （分数：2.00）_33.求曲线 x 3 xyy 3 1(x0，y0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离（分数：2.00）_34.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)0，f(x，1)0， ，其中D(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 （分数：2.00）_35.设平面内区域 D由直线 x3y，y3x，及 xy8 围成，计算二重积分 （分数：2.00）_36.设区域 D(x，y)x 2 y 2 1,x0，计算二重积分 I （
9、分数：2.00）_37.计算二重积分 （分数：2.00）_38.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_39.计算 （分数：2.00）_40.计算二重积分 （分数：2.00）_41.计算二重积分 ，其中 D(r，)0rsec， （分数：2.00）_42.计算二重积分 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 2答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：36.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x，y)可微，且对任意的 x，y，都有 （分数：2.
10、00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 B.x 1 x 2 ，y 1 y 2 C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 D.x 1 x 2 ，y 1 2 解析：解析：详解 若 x 1 x 2 ，y 1 y 2 ，则由 ，有 f(x 1 ，y 1 )(x 2 ，y 1 )， 由 3.设函数 u(x，y)(xy)(xy) xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：详解 “(xy)“(xy)(xy)(xy)， “(xy)“(xy)(xy)(xy)， “(xy)“(xy)“(xy)“(z 一 3，)，“(xy)“(xy)“(x
11、y)“(xy)， “(xy)“(xy)“(xy)“(xy) 从而4.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：详解 选项(A)相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在，因此(A)，(B)均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微 选项(D)相当于已知两个一阶偏导数 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)在点(0，0)连续，但不能推导出两个一阶偏导函数 f“ x (x，y)，f“ y (x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证 f(x，
12、y)在点(0，0)处可微 若 ，则 ，即 f“ x (0，0)0，同理有 f“ y (0，0)0 从而 5.设函数 ，其中函数 f可微，则 （分数：2.00）A.2yf(x y) B.2yf(x y)C.D.解析：解析：由 ，可得6.设函数 zz(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 F“ 2 0 且 （分数：2.00）A.xB.z C.xD.z解析：解析：分析 利用公式直接求两个一阶偏导数 详解 因为 ， 所以 因此应选(B) 评注 此题也可两边求全微分求得7.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )是 f(x，y)在约束条件(x，y)
13、0 下的一个极值点，下列选项正确的是（分数：2.00）A.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )0B.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )0C.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )一 0D.若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则 f“ y (x 0 ，y 0 )0 解析：解析：详解 1 构造拉格朗日函数 F(x，y)f(x，y)(x，y) 令 若(x 0 ，y 0 )为极值点，则(x 0 ，y 0 )为上面方程组的解，即有 f“ y (x 0 ，y 0 )“ y (x 0
14、，y 0 )0 代入第一个方程得 若 f“ x (x 0 ，y 0 )0，则必有 f“ y (x 0 ，y 0 )0，故应选(D) 详解 2“ y 0，由隐函数存在性定理，(x，y)0 确定 yy“(x)，且 。 此时 x 0 为一元函数 f(x，y(x)的极值点，从而有 ， 即在(x 0 ，y 0 )有 8.设函数 zf(x，y)的全微分为 dzxdxydy，则点(0，0)（分数：2.00）A.不是 f(x，y)的连续点B.不是 f(x，y)的极值点C.是 f(x，y)的极大值点D.是 f(x，y)的极小值点 解析：解析：分析由全微分的定义知 ，再用取得极值的充分条件判断 详解因dzxdxy
15、dy，可得 ， 又在(0，0)处， 9.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)g“(0)0，则函数 zf(x)g(x)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f“(0)0，g“(0)0 B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)0解析：解析：分析直接利用二元函数取得极值的充分条件 详解显然 z“ x (0，0)f“(0)g(0)0，z“ y (0，0)f(0)g“(0)0，故(0，0)是 zf(x)g(y)可能的极值点 计算得 z“ xx (x，y)f“(x)g(y)，z“
16、yy (x，y)f(x)g“(y)，z“ xy (x，y)f“(x)g“(y)， 所以 Az“ xx (0，0)f“(0)g(0)，Bz“ xy (0，0)0，Cz“ yy (0，0)f(0)g“(0) 由 B 2 AC0，且 A0，C0，有 f“(0)0，g“(0)0故应选(A)10.=_。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：分析 用二重积分(或定积分)的定义 详解 因为 所以应选(D) 评注 1 也可用定积分定义计算11.设函数 f(u)连续，区域 D(x，y)x 2 y 2 2y)，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：详解 如图 151 在直角坐标系下将原积
17、分化为累次积分： 先 y后 x的积分顺序有 ，可知(A)错 先 x后 y的积分顺序有 ，由于 f(xy)关于 x不一定为偶函数，知(B)错 在极坐标系下化为累次积分： x 2 y 2 2yr2sin，0， 12.设函数 f(x)连续若 ，其中区域 D uv 为图 152中阴影部分，则 （分数：2.00）A.vf(u 2 ) B.C.vf(u)D.解析：解析：详解 利用极坐标，有 于是13.设区域 D(x，y)x 2 y 2 4，x0，y0f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(ab)D. 解析：解析：在区域 D上，根据 x，y 的对称性，有 同样
18、有 因此14.设区域 D由曲线 ysinx， ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D. 解析：解析：详解 如图 154： (利用对称区间上奇函数的性质) 故应选(D)15.设 D k A是网域 Df(x，y)x 2 y 2 1位于第 k象限的部分，记，I k （分数：2.00）A.I 1 0B.I k2 0 C.I 3 0D.I 4 0解析：解析：分析 利用重积分的性质即可得出答案 详解 因为第 1，3 象限区域有关于 X，Y 的轮换对称性，故 16.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如图 1一 58，由原积分限确定的积分区域为 在
19、直角坐标系下 D为 于 是故应选(C)17.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：分析 先确定积分区域，画出示意图(见图 159)，再交换积分次序 详解 积分区域 D： ，sinxy1，也可表示为 D：0y1， arcsinyx， 故 ，故应选(B) 评注 确定 y的取值范围时应注意：当 时，ysinxsin(x)，18.设函数 f(x，y)连续，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：详解 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)19.设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*
20、。）解析：解析：20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 二元函数 ，对 x求偏导，应当作幂指函数求导，可先取对数或化为指数函数再求导 详解 两边取对数，有 ， 对 x求偏导，得 当 x1，y2 时，有 ，代入上式得21.设函数 zz(x，y)由方程 ze 2x3z 2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 2）解析：解析：详解 1 在方程 ze 2x3z 2y 两边对 x求偏导，并注意到 z是 x、y 的二元函数，得 ， 由此得 。 同理得 。 于是 。 详解 2令 F(x，y，z)ze 2x3z 2y，则
21、 ， 故 详解 3 在等式两边求全微分，有 dze 2x3z (2dx3dz)2dy， 从而 ， 故 ， 由此得 22.设 ，其中函数 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 0）解析：解析：详解 由 ， 于是 。 设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 满足等式 。 (1)验证 。 (2)若 f(1)0，f“(1)1，求函数 f(u)的表达式 详解(1)令 ，则 zf(u)， 由复合函数求导法得 ， 由对称性可得 ， 代入 得 。 (2)令 Pf“(u)，p“f“(u)，得 ， 解得 lnplnulnC， 于是 。 f(1)1C1 由23.设平面
22、区域 D由直线 yx，圆 x 2 y 2 2y，及 y轴围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析用极坐标计算二重积分 详解易得圆的极坐标方程为 r2sin，于是三、解答题(总题数：19，分数：38.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设 zf(x 2 y 2 ，e xy )，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求偏导法得 f“ 1 .2xf“ 2 .ye xy 2xf“ 1 ye xy f“ 2 ， f“ 1 (2y)f“ 2 .xe
23、 xy 2yf“ 1 xe xy f“ 2 ， )解析：26.设 xf(xy，xy，xy)，其中 f具有二阶连续偏导数，求 dx与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 所以， (f“ 1 f“ 2 yf“ 3 )dx(f“ 1 f“ 2 xf“ 3 )dy， )解析：27.设函数 uf(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的值，使等式在变换xay，xby 下化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数的链导法则得 所以 由 ，得 ， 因而 解得)解析：解析：分析 利用复合函数的链导法则变形原等式即可 评注 此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，
24、是对运算能力的考核28.设函数 zf(xy,yg(x)，函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x1 处取得极值 g(1)1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 g“(1)0 因为， ， f“ 1 yxf“ 11 g(x)f“ 12 g“(x)f“ 2 yg“(x)xf“ 21 g(x)f“ 22 ， 所以，令 xy1，且注意到 g(1)1，g“(1)0，得 )解析：解析：利用多元复合函数的求偏导法则及 g“(1)029.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)1，函数 yy(x)由方程 yxe y1 1 所确定，设 zf(lnysinx)，求 （分数：2.0
25、0）_正确答案：(正确答案： 而由 yxey y1 1 两边对 x求导得 y“e y1 xe y1 y“0 再对x求导得 y“e y1 y“e y1 y“一 xe y1 y“xe y1 y“0 将 x0，y1 代入上面两式得 y“(0)1，y“(0)2 故 f“(0)(00)0， )解析：30.已知函数 zf(x，y)的全微分 dz2xdx2ydy，并且 f(1，1)2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 由 dz2xdx2ydy 可知 zf(x，y)x 2 y 2 C 由 f(1，1)2，得 C2，故 zf(x，y)x 2 y 2 2 令 ，解得驻点(
26、0，0) 在椭圆 上，zx 2 (44x 2 )2，即 z5x 2 2(1x1)， 其最大值为 ，最小值为 ，再与 f(0，0)2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D上的最大值为 3，最小值为2 详解 2 同详解 1，得驻点(0，O) 用拉格朗日乘数法求函数在椭圆 上的极值 设 )解析：解析：分析 先由全微分的表达式求出 f(x，y)的表达式，再求其最值 评注 此题的新颖点在于要求极值的函数没有直接给出，需要根据全微分的表达式求出后再讨论其最值31.求函数 ux 2 y 2 z 2 在约束条件 zx 2 y 2 和 xyz4 下的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉格
27、朗日函数为 F(x，y，z)x 2 y 2 z 2 (zx 2 y 2 )(xyz4) 解方程组 得 )解析：解析：本题考查两个约束条件32.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 解得函数驻点，即可能极值点为(1，o)或(1，0) 易得 (1)在驻点(1，0)，Af“ xx (1，0) ，Bf“ xy (1，0)0，Cf“ yy (1，0) 由 B 2 AC2e 1 0，且 A0，知(1，0)为极大值点，极大值 f(1，0) (2)在驻点(1，0)，Af“ xx (1，0) ，Bf“ xy (1，0)0， Cf“ xy (1，0) 由 B 2 AC2e 1 0，且 A0，知(1
28、，0)为极小值点，极小值 f(1，0) )解析：33.求曲线 x 3 xyy 3 1(x0，y0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点(x，y)到坐标原点的距离 ，问题为求目标函数 在约束条件 x 3 xyy 3 1(x0，y0)下的最大值和最小值为方便求导，我们构造拉格朗日函数 F(x，y，)x 2 y 2 (x 3 xyy 3 1)解方程组 由，消去 得，(yx)(3xyxy)0，由于x0，y0，得 yx，代入得唯一可能的极值点：xy1另外，曲线 L与 x轴，y 轴的交点分别为(1，0)，(0，1)计算这些点到坐标原点的距离得 d(1，1) ，d(
29、1，0)d(0，1)1，故所求最长距离为 )解析：解析：分析本题考查二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘数法 评注求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况34.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)0，f(x，1)0， ，其中D(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 用分部积分法 交换积分次序 再用分部积分法 所以 )解析：解析：分析把二重积分化为二次积分，用分部积分法 评注注意在计算二次积分的过程中对分部积分法及已知条件的应用35.设平面内区域 D由直线 x3y，y3x，及 xy8 围成，计算二重积分 （分数：2.00）
30、_正确答案：(正确答案：直线 x3y 与 y3x 的交点为(0，0)，直线 x3y 与 xy8 的交点为 (6，2)，直线 y3x 与 xy8 的交点为(2，6) )解析：36.设区域 D(x，y)x 2 y 2 1,x0，计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 153，由于 D关于 x轴对称，而1554*关于 y为奇函数，从而 于是 )解析：37.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 如图 155，设 则 由于 故 详解 2 同详解1， )解析：解析：由于被积函数含有绝对值x 2 y 2 1，应按 x 2 y 2 10 和 x 2 y 2
31、 一 10将 D分为两部分，从而将原积分写成两个积分之和38.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 156，记 D 1 (x，y)xy1)， D 2 DD 1 ，则 )解析：解析：在计算积分 39.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 记 D 1 (x，y)xy1，(x，y) D， D 2 (x，y)zy1，(x，y) D，则 )解析：解析：被积函数 f(x，y)max(xy，1)是分区域函数，要利用积分的可加性分区域积分，如图 15740.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 由(x1) 2 (y1) 2 2，得 r
32、2(sincos)， 所以 详解 2如图 1511，将区域 D分成 D 1 ，D 2 两部分，其中 由二重积分的性质知 因为 所以 )解析：解析：分析利用极坐标计算(如图 1510) 评注可利用坐标变换，令ux1，uy1，那么 D(u，v)u 2 v 2 2，v“u 原式化简为 41.计算二重积分 ，其中 D(r，)0rsec， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 11512，直角坐标系下，D(x，y)0x1，0yx，所以 )解析：解析：分析 化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分42.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 详解 2 )解析：
