1、考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 1及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)可导，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.若曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=-1+xy 3 在(1，-1)处相切，则( )（分数：2.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1D.a=1，b=14.设 f(x)满足 f“(x)+f“ 2 (x)=2x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.x
2、=0为 f(x)的极大点B.x=0为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点D.x=0既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点5.若函数 f(-x)=f(x)(-x+)，在(-，0)内 f“(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，g“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.函数 y=x2 x 的极小点为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.函数 y=x+2cosx在 （分数：2.00）填空项 1:_三
3、、解答题(总题数：21，分数：44.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.设函数 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）_10.设 x= （分数：2.00）_11.求 = （分数：2.00）_12.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_14.设 y=e x sinx，求 y (n)（分数：2.00）_15.设 y= （分数：2.00）_16.设 y= （分数：2.00）_17.f(x)=x 4 ln(1-x)，当 n4 时，求 f (n) (0)（分数：2.00）_18.设 y=x 2 ln(1+2x)，求 y (5)（分数
4、：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_22.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=-f()cot（分数：2.00）_23.设 f(x)在-a，a上连续，在(-a，a)内可导，且 f(-a)=f(a)(a0)，证明：存在 (-a，
5、a)，使得f“()=2f()（分数：2.00）_24.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，证明：存在 (0，1)，使得f“()= （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f“(1)=f“(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ()，使得 f“()=f()
6、（分数：2.00）_设奇函数 f(x)在-1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学及应用）-试卷 1答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)可导，则下列
7、结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：取 f(x)=x， ，但 f“(x)=1，(A)不对； 取 f(x)=sinx， ，(C)不对； 取 f(x)=cosx， ，(D)不对； 应选(B) 事实上，对任意的 M0， 因为 =+，所以存在 X 0 0，当 XX 0 时，有 f“(x)M 0 当 xX 0 时，f(x)=f“(X 0 )=f“()(x-X 0 )M(x-X 0 )(X 0 )， 从而 f(x)f(X 0 )+M(x=X 0 )，两边取极限得 3.若曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=-1+xy 3 在(1，-1)处相切，则( )（分数：2.00）
8、A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b得 y“=2x+a； 2y=-1+xy 3 两边对 x求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“，解得 y“= 因为两曲线在(1，-1)处相切，所以 4.设 f(x)满足 f“(x)+f“ 2 (x)=2x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.x=0为 f(x)的极大点B.x=0为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：取 x=0得 f“(0)=0 由 f“(
9、x)+f“ 2 (x)=2x得 f“(x)+2f“(x)f“(x)=2，从而 f“(0)=2 因为 f“(0)= =20，所以存在 0，当 0x 时， 从而 5.若函数 f(-x)=f(x)(-x+)，在(-，0)内 f“(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，g“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，从而在(0，+)内有 f“(x)0，f“(x)0，应选(C)二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.
10、函数 y=x2 x 的极小点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=2 x +x2 x ln2=2 x (1+xln2)=0得 7.函数 y=x+2cosx在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=1-2sinx=0得 x= y“=-2cosx，因为 为 y=x+2cosx的极大值点，也是最大值点，故最大值为三、解答题(总题数：21，分数：44.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.设函数 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t=0 时，x=0，
11、y=-1， )解析：10.设 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 r=1+cos 的参数方程为 )解析：12.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =0，g“(x)=1+sin 2 (cosx)(-sinx)， =-1 )解析：14.设 y=e x sinx，求 y (n)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“=e x sinx+e x cosx= 由归纳法得 )解析：15.设 y= （分数：2.00）_
12、正确答案：(正确答案：令 由 A(2x-1)+B(x+1)=3-3x得 解得 A=-2，B=1， 即 y=-2. )解析：16.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由 A(x-1)+B(x+1)=x得 )解析：17.f(x)=x 4 ln(1-x)，当 n4 时，求 f (n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：18.设 y=x 2 ln(1+2x)，求 y (5)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(2)-f(0)= =-1 当 x(0，1)时，f“(x)=-x，
13、当 x1 时，f“(x)=即 f“(x)= 当 01 时，由 f(2)-f(0)=2f“()得-1=-2，解得 = 当 12 时，由 f(2)-f(0)=2f“()得-1= )解析：20.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，3上取到最小值 m和最大值M3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3，使得 f(c)=1 因为 f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在
14、 (c，3) )解析：21.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(b-x) a f(x)， 因为 (a)=(b)=0，所以存在 (a，b)，使得“()=0， 而 “(x)=-a(b-x) a-1 f(x)+(b-x) a f“(x)，故 f()= )解析：22.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=-f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在
15、 (0，)，使得“()=0， 而 “(x)=f“(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f“()sin+f()cos=0，故 f“()=-f()cot)解析：23.设 f(x)在-a，a上连续，在(-a，a)内可导，且 f(-a)=f(a)(a0)，证明：存在 (-a，a)，使得f“()=2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= f(x)， 由 f(-a)=f(a)得 (-a)=(a)， 由罗尔定理，存在(-a，a)，使得 “()=0， 而 “(x)= f“(x)-2xf(x)且 )解析：24.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，
16、证明：存在 (0，1)，使得f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)， 由积分中值定理得 f(1)= .cf(c).=cf(c)，其中c0， 从而 (c)=(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0 而 “(x)=f(x)+xf“(x)，故 f“()= )解析：25.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f“(1)=f“(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)+f“(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，
17、使得 “()=0， 而 “(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，故 f“()=f()解析：设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= )解析：(2).在(a，b)内至少存在一点 ()，使得 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：同理，由 h(c)=h(b)=0，则存在 (c，b)，使得 f“()=f() 令 (x)=e x f“(x)-f(x)，()=()=0， 由罗尔定理，
18、存在 (，) )解析：设奇函数 f(x)在-1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：（分数：4.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=f(x)-x， 因为 f(x)在-1，1上为奇函数，所以 f(0)=0， 从而 h(0)=0，h(1)=0， 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 h“()=0， 而 h“(x)=f“(x)-1，故 (0，1)，使得 f“()=1)解析：(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f“(x)-1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，由 f“()=1得 f“(-)=1 因为 (-)=()，所以存在 (-，) )解析：26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=arctanx，F“(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (0，1)，使得 )解析：
