1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 6 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(a+b)D.3.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )gf(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 f x “(x 0
2、，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0B.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0C.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0D.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )04.设函 f(x)连续，若 其中区域 D w 为图 41 中阴影部分，则 =( ) （分数：2.00）A.vf(u 2 )B.C.vf(u)D.5.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy y 4-y f(x,y)dx=( ).（分数：2.00）A
3、. 1 2 dx 1 4-x f(x,y)dyB. 1 2 dx x 4-x f(x,y)dyC. 1 2 dx 1 4-y f(x,y)dyD. 1 2 dx y y f(x,y)dy6.=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 2 I 1 I 3 D.I 3 I 1 I 2 8.已知 （分数：2.00）A.f x “(0，0),f y “(0，0)都存在B.f x “(0，0)不存在 f y “(0，0)存在C.f x “(0，0)不存在,f y “(0，0)不存在D.f x “(0，0),f y
4、“(0，0)都不存在9.设函数 f(t)连续，则二重积分 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S 在第一象限中的部分，则有( )（分数：2.00）A.B.C.D.11.考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续， f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续， f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微， f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 则有( )（分数：2.00）A.B.C.D.12.极限 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于
5、0D.等于 213.设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f“(0)0，g“(0)0B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)0二、填空题(总题数：4，分数：8.00)14.已知极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_16.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 z=z
6、(x，y)由方程(z+y) 2 =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_20.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，戈0，计算二重积分 （分数：2.00）_21.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.
7、00）_22.设 D=(x，y)axb，cyd，若 f xy “与 f yx “在 D 上连续，证明 （分数：2.00）_23.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.求二重积分 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.求下列积分(1)设 (2)设函数 f(x)在0，1连续且 （分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_30.求二重积分 （分数：2.00）_31.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x
8、+y=8 围成计算 （分数：2.00）_32.计算二重积分 （分数：2.00）_33.计算二重积分 其中 D 由曲线 与直线 及 （分数：2.00）_34.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，已知 z=f(x+y)f(x，y)求（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 6 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 4，x0，y0f(x)为 D 上的
9、正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(a+b)D. 解析：解析：由根据轮换对称性可得3.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y “(x，y)0已知(x 0 ，y 0 )gf(x，y)在约束条件(x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0B.若 f x “(x 0 ，y 0 )=0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0C.若 f x “(x 0 ，y 0 )0，则 f y “(x 0 ，y 0 )=0D.若 f x “(x 0 ，y 0
10、)0，则 f y “(x 0 ，y 0 )0 解析：解析：令 F=f(x，y)+(x，y) 4.设函 f(x)连续，若 其中区域 D w 为图 41 中阴影部分，则 =( ) （分数：2.00）A.vf(u 2 ) B.C.vf(u)D.解析：解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为 0v1ru因此可知5.设函数 f(x，y)连续，则 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy y 4-y f(x,y)dx=( ).（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4-x f(x,y)dyB. 1 2 dx x 4-x f(x,y)dyC. 1 2 dx 1 4-y f(x,y)dy D.
11、1 2 dx y y f(x,y)dy解析：解析： 1 2 dx x 2 f(x,y)dy+ 1 2 dy y 4-y f(x,y)dx 的积分区域为两部分(如图 48)：D 1 =(x，y)1x2，xy2；D 2 =(x，y)1y2，yx4 一 y，将其写成一个积分区域为D=(x，y)1y2，1x4 一 y故二重积分可以表示为 1 2 dy 1 4-y f(x,y)dx,故答案为 C. 6.=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：结合二重积分的定义可得7.设 （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 2 I 1 I 3 D.I 3 I
12、 1 I 2 解析：解析：在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1上，有 0x 2 +y 2 1，从而有 8.已知 （分数：2.00）A.f x “(0，0),f y “(0，0)都存在B.f x “(0，0)不存在 f y “(0，0)存在 C.f x “(0，0)不存在,f y “(0，0)不存在D.f x “(0，0),f y “(0，0)都不存在解析：解析： 故 f x “(0，0)不存在 9.设函数 f(t)连续，则二重积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4，而 r=2cos 在直角坐标中的方程为 x
13、2 +y 2 =2x，即(x 一 1) 2 +y 2 =1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得 10.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S 在第一象限中的部分，则有( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：经过分析可知，答案的四个选项右端均大于零，而 S 关于平面 x=0 和 y=0 是对称的，因此A，B，D 三项中的左端均为零，因此 C 一定为正确选项事实上，有11.考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续， f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续， f(x，y)在点(x
14、0 ，y 0 )处可微， f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 则有( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题主要考查二元函数 f(x，y)的连续性，可偏导性，可微性及偏导数的连续性之间的关系由于 f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A12.极限 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 0 D.等于 2解析：解析：由于 0xyln(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 )ln(x 2 +y 2 )(当 x 2 +y 2 1 时)，令 x 2 +y 2 =r，则 13.设函数 f(
15、x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f“(0)=g“(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f“(0)0，g“(0)0 B.f“(0)0，g“(0)0C.f“(0)0，g“(0)0D.f“(0)0，g“(0)0解析：解析：由 z=f(x)g(y)，得 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)14.已知极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查把极坐标系下的累次积分转化为直角坐标系下的累次积分 如果按照先y 后 x 的积分次序，则有1
16、5.设 f(x，y)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设连续函数 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx 一 dy）解析：解析：根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为17.设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) 2 =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：22ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x =xy，得到 z(1，2)=0在(x+y) n =xy 两边同时对 x 求偏导数， 三、解答题(总题数：17，分
17、数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，戈0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 419 所示 因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 是变量 y的偶函数，函数 是变量 y 的奇函数则取 D 1 =Dy0， )解析：21.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f
18、(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 )解析：22.设 D=(x，y)axb，cyd，若 f xy “与 f yx “在 D 上连续，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 420 所示，在极坐标中 )解析：25.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积
19、分区域 D 如图 421，D 的极坐标表示是： )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：27.求下列积分(1)设 (2)设函数 f(x)在0，1连续且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，(x，y)D，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 1，(x，y)D，因此 )解析：29.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中 D 1 为
20、D 在第一象限内的部分 )解析：30.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 2，yx 1由(x一 1) 2 +(y 一 1) 2 2，得 r2(sin+cos)，于是 )解析：31.设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.计算二重积分 其中 D 由曲线 与直线 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 422 所示 D=D 1 D 2 ， )解析：34.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，已知 z=f(x+y)f(x，y)求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
