1、考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)相互独立同分布，概率密度为 f(x)=2x -3 ，x1，i=1，2，则有( )（分数：2.00）A.对每一个 X i 都满足切比雪夫不等式B.X i 都不满足切比雪夫不等式C.X 1 ，X 2 ，X n 满足切比雪夫大数定律D.X 1 ，X 2 ，X n 不满足辛钦大数定律3.设 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i (i=
2、1，2，)服从参数为 (0)的泊松分布，则下列选项正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n定充分大时，X 1 +X 2 +X n 近似服从正态分布，只要 X i (i=1，2，)满足条件( )（分数：2.00）A.具有相同的数学期望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一连续型分布D.服从同一指数分布5.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体 N(1，)(0)的简单随机样本，则统计量的 （分数：2.00）A.N(0，1)B.t(1) (c) 2 (1)C.F(1，1)D.考查
3、产生 t分布的典型模式6.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)为来自总体 X的简单随机样本，统计量 T 1 = （分数：2.00）A.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 )，D(rm)D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设随机变量 X和 Y的数学期望都是 2，方差分别为 1和 4，而相关系数为 05，则根据切比雪夫不等式，有 PXY6 1（分数：2.00）填
4、空项 1:_8.在每次试验中，事件 A发生的可能性是 05，则 1 000次独立试验中，事件 A发生的次数在 400次到600次之间的概率 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，且 E(X i k )=a k (k=1，2，3，4)，证明当 n充分大时，随机变量 Z n = （分数：2.00）_11.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占 20，以 X表示在随机抽查的 100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户
5、数(1)写出 X的概率分布；(2)利用德莫弗一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少 14户且不多于 30户的概率的近似值（分数：2.00）_12.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去已知每个元件的进价为 a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有 95的把握保证一年够用(假定一年按照 2 000个工作小时计算)（分数：2.00）_13.一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设平均重 50千克，标准差为 5千克如果用最大载重量为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆
6、车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0977，( （分数：2.00）_14.在天平上重复称量一重为 a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 N(a，02 2 )， 表示 n次称量结果的算术平均值，则为使 P （分数：2.00）_15.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态总体 N(0，3 2 )的一个简单随机样本，求常数 a，b，c 使 T=aX 1 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 服从 (3)（分数：2.00）_16.设随机变量 X服从 T(N)，判断 Y=X 2 ，Z= （分数：2.00）_17.设 和 S 2 分别是来自正
7、态总体 N(0， 2 )的样本均值和样本方差，样本容量为 n，判断 （分数：2.00）_18.设随机变量 X和 Y相互独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 与 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 ，Y 4 分别是来自总体 X和 Y的两个简单随机样本，判断统计量 T= （分数：2.00）_19.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，1，2 2 ，3 2 ，0)，判断 F= （分数：2.00）_20.设随机变量 X和 Y相互独立且都服从正态分布 N(0，9)，而 X 1 ，X 9 与 Y 1 一，Y 9 分别是来自总体 X和 Y的两个简单随机样本，
8、判断统计量 T= （分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体 X的一个简单随机样本， 在下列四种情况下，分别求 （分数：2.00）_22.设总体 X服从 (n，p)，又 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的一个简单随机样本，统计量 T 1 = （分数：2.00）_23.设总体 X服从 N(0，)，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的一个简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值和样本方差，统计量 T=(n 一 1) （分数：2.00）_24.设总体 X服从 N( 1 ， 2 )，Y 服从 N( 2 ， 2 )，又 X 1 ，X 2 ，X n 和
9、 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为取自总体 X和 Y的简单随机样本求 （分数：2.00）_25.设总体 X服从 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)为取自总体 X的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_26.设总体 X(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是一个样本， ，S 2 分别为样本均值和样本方差，设 C 1 ，C n 是不全相等的常数，且 所服从的分布； (2)求 （分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 2 是取自正态总体 X的简单随机样本，X 服从 N(0， 2 )，求 （分数：2.00）_28.从总体 N(100，4)中抽取样本容量为 1
10、6的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_考研数学二（概率论与数理统计）-试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)相互独立同分布，概率密度为 f(x)=2x -3 ，x1，i=1，2，则有( )（分数：2.00）A.对每一个 X i 都满足切比雪夫不等式B.X i 都不满足切比雪夫不等式 C.X 1 ，X 2 ，X n 满足切比雪夫大数定律D.X 1 ，X 2 ，X n 不满足辛钦大数定律解析：解
11、析：由于切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律要求随机变量序列的期望和方差存在由题设条件E(X i )= 3.设 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i (i=1，2，)服从参数为 (0)的泊松分布，则下列选项正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 E(X i )=，D(X i )=，从而 =n，由列维一林德伯格中心极限定理， 4.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n定充分大时，X 1 +X 2 +X n 近似服从正态分布，只要 X i (i=1，2，)满足条件( )（分数：2.00）A.具有相同的数学期
12、望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一连续型分布D.服从同一指数分布 解析：解析：列维-林德伯格中心极限定理要求随机变量序列相互独立同分布，期望与方差存在，满足这三个条件的只有(D)5.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体 N(1，)(0)的简单随机样本，则统计量的 （分数：2.00）A.N(0，1)B.t(1) (c) 2 (1) C.F(1，1)D.考查产生 t分布的典型模式解析：解析：由于 X服从 N(1， 2 )，i=1，2，3，4，且相互独立，所以 X。一 X服从 N(0，2 2 )，X 3 +X 4 一 2服从 N(0，2 2 ) 6.设总体 X服从参数为 (0
13、)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)为来自总体 X的简单随机样本，统计量 T 1 = （分数：2.00）A.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 )，D(rm)D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 ) 解析：解析： 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设随机变量 X和 Y的数学期望都是 2，方差分别为 1和 4，而相关系数为 05，则根据切比雪夫不等式，有 PXY6 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
14、*）解析：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(x)=1，D(Y)=4， XY =05，从而 E(X-Y)=2-2=O，D(X-Y)=D(X)+D(Y)一 2 XY =1+4-20512=3 由切比雪夫不等式，PXY6 8.在每次试验中，事件 A发生的可能性是 05，则 1 000次独立试验中，事件 A发生的次数在 400次到600次之间的概率 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0975）解析：解析：设 X表示事件 A发生的次数，则 X服从 (1 000，05)，E(X)=500，D(X)=250 P400X600=P一 100X-500100 =PX 一 5001
15、00) 由切比雪夫不等式，有P400X600=PX 一 500100 1三、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，且 E(X i k )=a k (k=1，2，3，4)，证明当 n充分大时，随机变量 Z n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 相互独立同分布，且 E(X i 2 )=a 2 ，D(X i 2 )=E(x i 2 )一E(X i 2 ) 2 =a 4 一 a 2 2 ， 又 )解析：1
16、1.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占 20，以 X表示在随机抽查的 100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数(1)写出 X的概率分布；(2)利用德莫弗一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少 14户且不多于 30户的概率的近似值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)索赔户为 X，则 XB(100，02)， (2)由 De MoivreLaplace极限定理)解析：12.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去已知每个元件的进价为 a元，试求在年计划中应为购买此种元
17、件作多少预算，才可以有 95的把握保证一年够用(假定一年按照 2 000个工作小时计算)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设一年需要 n个元件，则预算经费为 na元 )解析：13.一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设平均重 50千克，标准差为 5千克如果用最大载重量为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0977，( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 是装运的第 i箱的重量，n 是箱数，且 E(X i )=50， =5，i=1，2，n PT n 5 000= )解析：14.在天平上重复称量一重为 a的
18、物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 N(a，02 2 )， 表示 n次称量结果的算术平均值，则为使 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件 )解析：15.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态总体 N(0，3 2 )的一个简单随机样本，求常数 a，b，c 使 T=aX 1 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 服从 (3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 X 1 服从 N(0，3 2 )，X 2 +X 3 服从 N(0，18)，X 4 +X 5 +X 6 服从N(0，27)， )解析：解析：考查产生 2 分布的
19、典型模式 2 分布是由相互独立的服从标准正态分布的随机变量序列的平方和得到的，按照该定义，求出 a，b，c16.设随机变量 X服从 T(N)，判断 Y=X 2 ，Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X服从 t(n)，设 U服从 N(0，1)，V 服从 2 (n)，且 Y与 Z相互独立，则X可表示为 )解析：解析：考查产生 F分布的典型模式17.设 和 S 2 分别是来自正态总体 N(0， 2 )的样本均值和样本方差，样本容量为 n，判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设随机变量 X和 Y相互独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X
20、2 ，X 3 ，X 4 与 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 ，Y 4 分别是来自总体 X和 Y的两个简单随机样本，判断统计量 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由正态总体的抽样分布 )解析：19.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，1，2 2 ，3 2 ，0)，判断 F= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 X服从 N(0，2 2 )，Y 服从 N(1，3 2 )，且相互独立， )解析：解析：由随机变量 F的形式可推断其服从 F分布20.设随机变量 X和 Y相互独立且都服从正态分布 N(0，9)，而 X 1 ，X 9 与 Y 1 一，Y 9 分别是来自总
21、体 X和 Y的两个简单随机样本，判断统计量 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体 X的一个简单随机样本， 在下列四种情况下，分别求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于样本 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是相互独立的，并且与总体服从相同的分布， )解析：22.设总体 X服从 (n，p)，又 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的一个简单随机样本，统计量 T 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设总体 X服从 N(0，)，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的一
22、个简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值和样本方差，统计量 T=(n 一 1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：综合考查正态总体抽样分布的性质和数字特征与24.设总体 X服从 N( 1 ， 2 )，Y 服从 N( 2 ， 2 )，又 X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为取自总体 X和 Y的简单随机样本求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设总体 X服从 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)为取自总体 X的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(X 1 +X
23、 n+1 )，(X 2 +X n+2 )，(X n +X 2N )视为取自总体 N(2，2 2 )的简单随机样本，则其样本均值为 )解析：26.设总体 X(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是一个样本， ，S 2 分别为样本均值和样本方差，设 C 1 ，C n 是不全相等的常数，且 所服从的分布； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：综合考查正态总体常用统计量的分布与数字特征，由于 =0，故可将 Y的形式化简，再利用独立条件下正态分布的运算性质判断出 Y的分布又 与 S 2 独立，从而 27.设 X 1 ，X 2 是取自正态总体 X的简单随机样本，X 服从 N(0， 2 )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，X 1 和 X 2 都服从 N(0， 2 )， 从而 X 1 +X 2 服从 N(0，2 2 )，X 1 一 X 2 服从 N(0，2 2 ) )解析：解析：考查统计量所表示事件的概率，应从统计量的分布入手，再计算概率28.从总体 N(100，4)中抽取样本容量为 16的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
