1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 20 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线
2、性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 B -1C.A * B *D.AB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 3， 2 3 5，且 1 3 对应的线性无关的特征向量为 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 ， 为三维非
3、零列向量，(，)3，A T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 )是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 2 3AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_12.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 8， 2 3 2，矩阵 A 的属于特征值 1 8 的特征向量为 1 ，属于特征值 2 3 2 的特征向量为
4、2 （分数：2.00）_13.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_14.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_15.设 A （分数：2.00）_16.设 A （分数：2.00）_17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_18.设 A 为三阶矩阵，A i i，(i1，2，3)， 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_19.设 为 A （分数：2.00）_20.设 A ，A1， （分数：2.00）_21.设 AB， （分数
5、：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A （分数：2.00）_24.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，E-AEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 20 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 P
6、AP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然 B、C、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A 不一定与单位矩阵合同，选 A3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有竹个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分
7、条件，也非其可对角化的必要条件，选 C4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A T O，则 r(A)1， 又因为 r(A)r( T )r()1，所以 r(A)1 令 AXX，由 A 2 X T . T XO 2 X 得 0， 因为r(0EA)r(A)1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C5.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 B -1C.A * B *D.AB 解析
8、：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 B -1 与 A * B * 都是正定矩阵，选 D二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 3， 2 3 5，且 1 3
9、 对应的线性无关的特征向量为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 3 5 对应的特征向量为 ，由 1 T 0 得 2 3 5 对应的线性无关的特征向量为 2 ， 3 8.设 ， 为三维非零列向量，(，)3，A T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或者 3）解析：解析：因为 A 2 3A，令 AXX，因为 A 2 X 2 X，所以有( 2 3A)X0，而 X0，故 A的特征值为 0 或者 3，因为 1 2 3 tr(A)(，)，所以 1 ， 2 3 09
10、.设 )是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由 A 得三、解答题(总题数：15，分数：30.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 2 3AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 3AO A3EA0 0，3，因为 r(A)1，所以 1 3， 2 3 0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为( 1 ， 2 ，
11、 3 ) T ，则 1 2 3 0，则 0 对应的特征向量为 2 (1，1，0) T ， 3 (1，0，1) T ，令 )解析：12.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 8， 2 3 2，矩阵 A 的属于特征值 1 8 的特征向量为 1 ，属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1 T 2 1k0 k1 1 8 对应的特征向量为 1 令 2 3 2 对应的另一个特征向量为 3 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 1 2 3 0 )解析：13.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且
12、ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aEA)(bEA)O，得aEA.bEA0，则aEA0 或者 bEA0又由(aEA)(bEA)O，得，r(aEA)r(bEA)n 同时 r(aEA)r(bEA)r(aEA)(bEA)r(ab)En 所以 r(aEA)r(bEA)n (1)若aEA0，则r(aEA)n，所以 r(bEA)0，故 AbE (2)若bEA0，则 r(bEA)n，所以 r(aEA)0，故 AaE (3)若aEA0 且bEA0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aEA)X0 的基础解系含有 nr(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线
13、性无关的特征向量个数为nr(aEA)个； 方程组(bEA)X0 的基础解系含有 nr(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(bEA)个 因为 nr(aEA)nr(bEA)n，所以矩阵 A 有 n个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：14.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AXX，显然 A 2 X 2 X，因为 ， 正交，所以 A 2 T . T O，于是 2 X0，而 x0，故矩阵 A 的特征值为 1 2
14、n 0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(OEA)r(A)1，所以 nr(OEA)n1n，所以 A 不可相似对角化)解析：15.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由EA(1) 2 (2)0 得 1 2 1， 3 2 当1 时，由(EA)X0 得 1 对应的线性无关的特征向量为 当 2 时，由(2EA)X0得 2 对应的线性无关的特征向量为 3 ， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A可以对角化 (2)令 P ，则 P -1 ，且 )解析：16.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1)(1) 2 0 得 1 1， 2 3 1， 因为
15、 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)1， 由 EA )解析：17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AXAX(X0)，则有 A k X k X，因为 A k O，所以 k X0，注意到X0，故 k 0，从而 0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)r(A)1，所以方程组(OEA)X0 的基础解系至多含 n1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化)解析：18.设 A 为三阶矩阵，A i i，(i1，2，3)， 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_正
16、确答案：(正确答案：令 则 P -1 AP ，于是 )解析：19.设 为 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 0 ，即 ，解得 0 4，10，y9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 )解析：20.设 A ，A1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量，由 得 因为A1，所以 a2，于是 a2，b3，c2， )解析：21.设 AB， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 2 2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)1，而 2EA )解析：22.设 （分数：2.
17、00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 tr(A)tr(B)，即 2a01(1)2，于是 a0 (2)由EA (1)(1)(2)0 得 A，B 的特征值为 1 1， 2 1， 3 2 当 1 时，由(EA)X0 即(EA)X0 得 (0，1，1) T ； 当 1 时，由(EA)X0 得 12 (0，1，1) T ； 当 2 时，由(2EA)X0 得 3 (1，0，0) T ，取 P 1 ，则 P 1 -1 AP 1 当 时，由(EB)X0 即(EB)X0 得 1 (0，1，2) T ； 当 1 时，由(EB)X0 得 2 (1，0，0) T ； 当 2 时，(2EB)X0 得 3
18、 (0，0，1) T ，取 P 2 ，则 P 2 -1 BP 2 由 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )B， 取 PP 1 P 2 -1 )解析：23.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由EA (2)(1) 2 0 得矩阵 A 的特征值为 1 2， 2 3 1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)1， 由 EA 得 a1 (2)将 2 代入(EA)X0，即(2EA)X0， 由 2EA 得 2 对应的线性无关的特征向量为 1 ： 将 1 代入(2EA)X
19、0，即(EA)X0， 由 EA 得 1 对应的线性无关的特征向量为 (3)令 P ，则 P -1 AP )解析：24.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，E-AEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为EAEB，所以 A，B 有相同的特征值，设为 1 ， 2 ， n ，因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 由 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )B， 取 P 1 P 2 -1 P，则 P -1 APB，即 AB (2)由EA (1) 2 (2)0 得 A 的特征值为 1 2， 2 3 1； 由EB (1) 2 (2)0 得 B 的特征值为 1 2， 2 3 1 由EA 得 r(EA)1，即 A 可相似对角化； 再由 EB 得 r(EB)1，即 B 可相似对角化，故 AB 由 2EA 得 A 的属于 1 2 的线性无关特征向量为 得 A 的属于 2 3 1 的线性无关的特征向量为 由 2EB 得 B 的属于 1 2 的线性无关特征向量为 ； 由 EB 得 B 的属于 2 3 1 的线性无关的特征向量为 再令PP 1 P 2 -1 )解析：
