【考研类试卷】考研数学二(重积分)-试卷2及答案解析.doc

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1、考研数学二(重积分)-试卷 2 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.累次积分 rf(rcos,rsin)dr 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 D=(x,y)0x,0y,则 sinxsiny.maxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 ,其中 D:x 2 +y 2 a 2 ,则 a 值为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.设 f(u)连续,则 (分数:2.0

2、0)填空项 1:_6.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x,y)在区域 D:x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0,0)=4,则 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 a0,f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:22,分数:44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.计算 (分数:2.00)_13.已知 f(x,y)= ,设 D 为由 x=

3、0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域,求 F(t)= (分数:2.00)_14.设 f(x)连续,且 f(0)=1,令 F(t)= (分数:2.00)_15.计算二重积分 I= (分数:2.00)_16.计算 (分数:2.00)_17.计算 (分数:2.00)_18.设 f(x,y)= (分数:2.00)_19.计算 I= (分数:2.00)_20.计算 (分数:2.00)_21.计算 I= (分数:2.00)_22.计算 I= (分数:2.00)_23.计算 (分数:2.00)_24.计算二重积分 (分数:2.00)_25.设 f(x)在a,b上连续,证明: (分数:2.00)_26.设

4、 f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续,且 g(x,y)0证明:存在(,)D,使得(分数:2.00)_27.设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0, 为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_28.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_29.设 f(x)为连续函数,计算 (分数:2.00)_30.交换积分次序并计算 (分数:2.00)_31.设 f(x)在0,1上连续且单调减少,且 f(x)0证明: (分数:2.00)_32.证明:用二重积分证明

5、 (分数:2.00)_考研数学二(重积分)-试卷 2 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.累次积分 rf(rcos,rsin)dr 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:积分所对应的直角坐标平面的区域为 D:0x1,0y3.设 D=(x,y)0x,0y,则 sinxsiny.maxx,yd 等于( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:根据对称性,令 D 1 =(x,y)0x,0yx, 4.设 ,其中 D:x 2

6、+y 2 a 2 ,则 a 值为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:令 (02,0ra) 由二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.设 f(u)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-xf(x 2 -1))解析:解析:6.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:7.设 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.设 f(x,y)在区域 D:x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0,0)=4,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正

7、确答案:8)解析:解析:由当 t0 时,t-ln(1+t)= 由积分中值定理得9.设 a0,f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a 2)解析:解析:由 f(x)g(y-x)=10.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:在 D 1 =(x,y)-x+,0y1上,f(y)=y; 在 D 2 :0x+y1 上,f(x+y)=x+y, 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x,y)-yx1-y,0y1)上,f(y)f(x+y)=y(x+y), 所以 三、解答题(总题数:22,分数:

8、44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:12.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:13.已知 f(x,y)= ,设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域,求 F(t)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 t0 时,F(t)=0; 当 0t1 时,F(t)= 当 1t2 时,F(t)= 当t2 时,F(t)=1,则 F(t)= )解析:14.设 f(x)连续,且 f(0)=1,令 F(t)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (02,0tt) 由 F(t)= 得 F“(t)=2tf

9、(t 2 ),F“(0)=0, )解析:15.计算二重积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D:x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D:(x-1) 2 +(y-1) 2 1, )解析:18.设 f(x,y)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)1x2, )解析:19.计算 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)-1x1,0yx 2 , D 2 =(x,y)-1x1,x 2 y2,

10、)解析:20.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:21.计算 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 D 分成两部分 D 1 ,D 2 ,其中 D 1 =(x,y)0x1, D 2 = 则 )解析:22.计算 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:23.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:24.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据对称性 ,其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 )解析:25.设 f(x)在a,b上连续,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:26.

11、设 f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续,且 g(x,y)0证明:存在(,)D,使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x,y)在 D 上连续,所以 f(x,y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m,故mf(x,y)M,又由 g(x,y)0 得 mg(x,y)f(x,y)g(x,y)Mg(x,y) 积分得 (1)当f(x,y)g(x,y)d=0,则对任意的(,)D,有 (2)当 (x,y)d0 时, 由由介值定理,存在(,)D,使得 f(,)= 即 )解析:27.设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0, 为 y=f(x)

12、,y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为积分区域关于直线 y=x 对称, )解析:29.设 f(x)为连续函数,计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x)的一个原函数为 F(x),则 )解析:30.交换积分次序并计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.设 f(x)在0,1上连续且单调减少,且 f(x)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 f(x)0 且单调减少,所以(y-x)f(x)-f(y)0,于是 2I0,或I0, 所以 )解析:32.证明:用二重积分证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)x 2 +y 2 R 2 ,x0,y0, S=(x,y)0xR,0yR, D 2 =(x,y)x 2 +y 2 2R 2 ,x0,y0 )解析:

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