1、考研数学二（重积分）-试卷 2 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 ，其中 D：x 2 +y 2 a 2 ，则 a 值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.0
2、0）填空项 1:_6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=
3、0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_14.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_15.计算二重积分 I= （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.设 f(x，y)= （分数：2.00）_19.计算 I= （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算 I= （分数：2.00）_22.计算 I= （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算二重积分 （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_26.设
4、 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_27.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_28.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_29.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_30.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_31.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_32.证明：用二重积分证明
5、 （分数：2.00）_考研数学二（重积分）-试卷 2 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y3.设 D=(x，y)0x，0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)0x，0yx， 4.设 ，其中 D：x 2
6、+y 2 a 2 ，则 a 值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：令 (02，0ra) 由二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-xf(x 2 -1)）解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
7、确答案：8）解析：解析：由当 t0 时，t-ln(1+t)= 由积分中值定理得9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：由 f(x)g(y-x)=10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 D 1 =(x，y)-x+，0y1上，f(y)=y； 在 D 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)-yx1-y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所以 三、解答题(总题数：22，分数：
8、44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：13.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0； 当 0t1 时，F(t)= 当 1t2 时，F(t)= 当t2 时，F(t)=1，则 F(t)= )解析：14.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (02，0tt) 由 F(t)= 得 F“(t)=2tf
9、(t 2 )，F“(0)=0， )解析：15.计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 1， )解析：18.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)1x2， )解析：19.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)-1x1，0yx 2 ， D 2 =(x，y)-1x1，x 2 y2，
10、)解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：21.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1， D 2 = 则 )解析：22.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 ，其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 )解析：25.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：26.
11、设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 (1)当f(x，y)g(x，y)d=0，则对任意的(，)D，有 (2)当 (x，y)d0 时， 由由介值定理，存在(，)D，使得 f(，)= 即 )解析：27.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)
12、，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：29.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：30.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或I0， 所以 )解析：32.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)0xR，0yR， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 )解析：
