1、考研数学三（二重积分）-试卷 1 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设平面区域 D：(x2) 2 +(y1) 2 1，若比较 （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2D.不能比较3.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时， B.当 m 为奇数，n 为偶数时， C.当 m 为奇数，n 为奇数时， D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 4.
2、（分数：2.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab5.设 D：x+y1，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.16.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 D 由直线 x=0,y=0,x+y=1 围成，已知 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0C.D.1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_9.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_10.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，
3、将二次积分 I= 0 a dy 0 y e m(a-x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.变换下列二次积分的积分次序： （分数：2.00）_15.计算二重积分 （分数：2.00）_16.计算二重积分 （分数：2.00）_17.求二重积分 ，其中 D 是由曲线 y= （分数：2.00）_18.求
4、（分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算 ，其中 D 由 y=x，x 2 +y 2 =4，y= （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b-a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_25.计算 minx，y （分数：2.00）_考研数学三（二重积分）-试卷 1 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选
5、项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设平面区域 D：(x2) 2 +(y1) 2 1，若比较 （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2 D.不能比较解析：解析：由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即 x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考查圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的距离d= 3.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时， B.当 m 为奇数，n
6、 为偶数时， C.当 m 为奇数，n 为奇数时， D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 解析：解析：令 则 对于 cos m sin n d，令 =+t，则 cos m sin n d=(1) m (1) n cos m tsin n tdt 当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(1) m (1) n =1，从而积分为零； 当 m 和 n 均为奇数时，(1) m (1) n =1，从而 由于 cos m sin n 为 上的奇函数，故积分为零 总之，当 m 和行中至少一个为奇数时， 4. （分数：2.00）A.cba B.abcC.bacD.cab解析：解析：由于 D=(x，y)x 2 +y
7、 2 1)，所以(x 2 +y 2 ) 2 x 2 +y 2 1 由 cosx在 上单调减少可得 cos(x 2 +y 2 )cos(x 2 +y 2 )cos 5.设 D：x+y1，则 （分数：2.00）A.0B.C. D.1解析：解析：因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 ydxdy=0，且有 ，其中 D 1 =(x，y)x+y1，x0，y0 于是 6.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y=1 ，有 x 2 +(y1) 2 =1(y1)，所以，积分区域 D 是圆 x 2 +(y1) 2 1的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐
8、标形式为 f(rcos，rsin)rdr， 其中D=(r，)0r2sin， 7.设 D 由直线 x=0,y=0,x+y=1 围成，已知 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，则 （分数：2.00）A.2B.0 C.D.1解析：解析：由 0 1 f(x)dx= 0 1 xf(x)dx，有 0 1 (1x)f(x)dx=0，于是 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=rsin，y=rcos，则 原式= 0 1 dr 0 2 (r 2 sin 2 +r 2 cos 2 )rd= 0 1 r 3 dr
9、0 2 d=2 9.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 4 dx ）解析：解析：由已知可知，所求积分区域为 y= ，x=y 2 所围成的区域， 所以 10.交换二次积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 1 dy ）解析：解析：由已知可知，所求积分区域为 y=1，y=x 2 +1，y=lnx 所围成的区域，所以 11.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I= 0 a dy 0 y e m(a-x) f(x)dx 化为定积分，则 I= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
10、案： 0 a e m(ax) f(x)(ax)dx）解析：解析：被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0 a dx x a e m(ax) f(x)dy= 0 a e m(ax) f(x)(ax)dx12.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xy(y 2 )关于变量 x 是奇函数，故 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)13.解答
11、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.变换下列二次积分的积分次序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)如图 15-5 所示，D： 则 (2)如图 15-6 所示，D： 则 (3)如图 15-7 所示，D=D 1 +D 2 ，其中 故 (4)如图 15-8 所示，D： 故 )解析：15.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：17.求二重积分 ，其中 D 是由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 （分数：2.
12、00）_正确答案：(正确答案：被积函数：minx，y= 其中 D 1 =(x，y)0y1，yx3，D 2 =(x，y)0y1，0xy所以 = 0 1 dy y 3 ydx+ 0 1 dy 0 y xdx= )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 ，其中 D 由 y=x，x 2 +y 2 =4，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= =(x1) 2 +y 2 =1，y0 y=x 与 x 2 +y 2 =4 的交点为 y=x 与 y= 的交点为(0，0) x 2 +y 2 =4
13、 与 y= 的交点为(2，0)如图 15-9 所示 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 D=D 1 +D 2 ： 所以 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： a b f(x)dx a b g(x)dx(b-a) a b f(x)g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 I=(ba) a b f(x)g(x)dx a b f(x)dx a b g(x)dx = a b dy a b f(x)g(x)dx a b f(x)dx a b g(y)dy = f(x)g(x)dxdy f(x)g(y)dxdy = f(x)g(x)g(y)dxdy 其中 D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 I= f(y)g(y)g(x)dxdy， 故 2I= )解析：25.计算 minx，y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a0，D a =(x，y)axa，aya，则当 a+时，D a D，其中 D=(x，y)x+，y+)，从而 )解析：
