1、考研数学三（二重积分）-试卷 2 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设平面区域 D 由曲线 y= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.2B.2C.D.3.已知 ，则 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.交换二次积分 次序正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3
2、 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 1 I 26.累次积分 f(x 2 +y 2 )dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_8.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_9.设 D=(x，y)x 2 +y 2 e 2 )，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_10.由曲线 y=l
3、nx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.平面区域 D=(x，y)x+y1，计算如下二重积分： (1)I 1 = ，其中 f(t)为定义在(，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； (2)I 2 = （分数：2.00）_15.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)
4、在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb，比较 （分数：2.00）_16.设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由 y= （分数：2.00）_17.交换下列累次积分的积分次序 （分数：2.00）_18.(1)计算 ； (2)当 x1 时，求与 （分数：2.00）_19.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy = 0 1 x x dx（分数：2.00）_20.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_21.(1)设 D=(x，y)axb，cyd)，若 f xy 与 f yx 在 D 上连续证明： （分数：2.00）_22.证
5、明： （分数：2.00）_23.设函数 f(x)在0，1上连续证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e f(y) 1（分数：2.00）_24.求 V(t)= (t1)y+1dxdy 的最大值， 其中 D t =(x，y) x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_考研数学三（二重积分）-试卷 2 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设平面区域 D 由曲线 y= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.2B.2C.D. 解析：解析：如图 1
6、5-1 所示，用曲线 y=sinx( x0)将区域 D 划分为 D 1 和 D 2 两部分，则D 1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有 由于区域 D 的面积与直线 y=0，y=1，x= 所围成矩形的面积相等，故 S D =，故应选(D) 3.已知 ，则 I= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：积分域由两部分组成(如图 15-2)设 D 1 =(x，y)0y x 2 ，0x2， D 2 =(x，y)0y ，2x2 将 D=D 1 D 2 视为 Y 型区域，则 D=(x，y) x ，0y2)， 从而 I= F(x，y)dx， 故应选(A) 4.交换二次积分
7、次序正确的是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：交换积分次序的步骤是： 由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分 变成二重积分 f(x，y)dxdy 按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式 由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为：5.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1
8、 I 2解析：解析：在积分区域 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y， 于是 1n(x+y) 3 dxdy sin(x+y) 3 dxdy 6.累次积分 f(x 2 +y 2 )dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：积分区域 D 为：0x ，0y2R， 见图 15-4在极坐标系下 D 可表示为：0r2Rsin，0 故二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：负号）解析：解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定 积分区
9、域D：x+y1因 0x 2 +y 2 (x+y) 2 1，故 ln(x 2 +y 2 )ln1=0，但又不恒等于零，故 8.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：设连续函数 z=f(x，y)关于 x 为奇函数(f(x，y)=f(x，y)或关于 x 为偶函数(f(x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 位于 y 轴右方的部分则有 9.设 D=(x，y)x 2 +y 2 e 2 )，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1
10、:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：被积函数的特点含有 x 2 +y 2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便 10.由曲线 y=lnx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 得交点 A(e，1)所求平面图形的面积为11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分域 D 为: e x ye 2x ，0x1 曲线 y=e 2x ，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1，e 2 )与(1，e)故
11、12.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(0，0)）解析：解析：因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2 +y 2 t 2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为含变上限积分的函数 因 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 t 2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=f(，).S D =t 2 f(，) 因(，)在 D：x 2 +y 2 t 2 上，所以当t0 + 时，(，)(0，0)于是 三、解答题(总题数：12，分数：2
12、4.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.平面区域 D=(x，y)x+y1，计算如下二重积分： (1)I 1 = ，其中 f(t)为定义在(，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； (2)I 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 S D =2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有 (2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 y 轴，x 轴对称；函数 e x e x ，e y e y 分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得
13、 )解析：15.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb，比较 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I 1 I 2 = p(x)p(y)g(y)f(x)f(y)dxdy， 由于 D 关于直线 x=y 对称，所以 I 1 I 2 又可以写成 I 1 I 2 = p(x)p(y)g(x)f(y)f(x)dxdy， 所以 2(I 1 I 2 )= )解析：16.设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= f(u，v)dudv，则 A= f(x，y)dx
14、dy，故 f(x，y)=x+ yf(u，v)dudv=x+yA 两边求二重积分，则 A= ，故 f(x，y)=x+ )解析：17.交换下列累次积分的积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域 = 1 2 ，它们可表示为 1 =(x，y)0y x 2 ，0x1， 2 =(x，y)0y ，1x3 显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 y= x 2 ，上半圆弧 y= 与直线y=0，则 1 ， 2 也可以写为 1 =(x，y) x1，0y ， 2 =(x，y)1x ，0y 于是，累次积分 I 交换积分次序后为 (2)由累次积分 I
15、 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为 = 1 2 3 ，其中 根据区域 的图形可知， 的边界曲线是由上半圆 y= ，直线 x=0 与抛物线 y=xx 2 ，组成，故可用不等式表示为 =(x，y)xx 2 y ，0x1) 于是，累次积分 I 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分 I= 0 1 dx )解析：18.(1)计算 ； (2)当 x1 时，求与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 I= 0 + dx ，则 (2)要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点： xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式： ，此题
16、x1 ，故考虑用 于是， 根据第一问的提示，我们要凑出“ ”这种形式，故令 t 2 1n =u 2 ，即 )解析：19.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy = 0 1 x x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分 在 0 1 (xy) xy dy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t 从 0 变到 x，则 0 1 (xy) xy dy= 0 x t t 0 x t t dt， 从而 0 1 dx 0 1 (xy) xy dy= 0 1 dx 0 x t t d
17、t= 0 1 t t dt t 1 )解析：20.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(1)设 D=(x，y)axb，cyd)，若 f xy 与 f yx 在 D 上连续证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) f xy (x，y)dxdy= a b dx c d f xy (x，y)dy= a b f x (x，y) c d dx = a b f x (x，d)f x (x，c)dx =f(x，d) a b f(x，c) a b =f(b，d)f(a，d)+f(a，c)f(b，c) 同理， f yx (
18、x，y)dxdy= c d dy a b f yx (x，y)dx=f(b，d)f(a，d)+f(a，c)f(b，c) 结论成立 (2)用反证法 设 P 0 (x 0 ，y 0 )D，有 f xy (x 0 ，y 0 )f yx (x 0 ，y 0 )，不妨设 f xy (x 0 ，y 0 )f yx (x 0 ，y 0 )0由于 f xy (x，y)f yx (x，y)=f xy (x 0 ，y 0 )f yx (x 0 ，y 0 )0 由极限的保号性， 0 0，0，当 P(x，y)U(P 0 ，)时有 f xy (x，y)f yx (x，y) 0 取 D 0 =(x，y) U(P 0 ，)
19、，于是， f xy (x，y)f yx (x，y)dxdy 0 dxdy= 0 2 0 由(1)， )解析：22.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，有 另一方面，由泰勒公式 e x =1+x+ (x0)，有 所以， )解析：23.设函数 f(x)在0，1上连续证明： 0 1 e f(x) dx 0 1 e f(y) 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= 0 1 e f(x) dx 0 1 e f(y) dy= dxdy由对称性，知 I= )解析：24.求 V(t)= (t1)y+1dxdy 的最大值， 其中 D t =(x，y) x 2 +y 2 1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是 V(t)单调增加，故 )解析：
