1、考研数学二（高等数学）-试卷 11 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0，f“(x)0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0，则函数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：9，分数：18.00
2、)5.设 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 y=y(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、
3、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)-f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_20.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_21.设 f“(x)在0，1上连续
4、且f“(x)M证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0， （分数：2.00）_23.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=-x，y= 及 y= （分数：2.00）_26.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：2.00）_27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 1
5、1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为当 x0 时，ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) (1+2x)sintdt， 3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0，f“(x)0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0，则函数 （分数：2.0
6、0）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析： 6.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 7.设函数 y=y(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 （分数：2.00）填空项 1:
7、_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：13.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 或者 ）解析：解析： 当 p=
8、0 时，y=C；三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1 第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=-2，-3，)时，=，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因为 )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：1
9、8.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上 连续，故f“(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f“()x 0 f“() )解析：19.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)-f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00
10、）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)+f“(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在c(0，1)使得 “(c)=0， 而 “(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，所以方程 f“(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：20.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)20 等价于 A20x 3 -3x 5 ， 令 (x)=20x 3 -3x 5 ，由 “(x)=60x 2 -15x 4 =0，得 x=2， “(x)=120x-60x 3
11、 ，因为 “(2)=-240解析：21.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x)=f“()xMx，x0，a， 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx= )解析：23.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x
12、-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0f(x，y) ，故 f(x，y)在点(0，0)处连续 (2) )解析：25.计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=-x，y= 及 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)0x1， ， )解析：26.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y“ 2 之积成反比，比例系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 )解析：27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy“，切线与 y轴的交点为(0，y-xy“)， 由题意得 x 2 +x 2 y“ 2 =4，解得 ，变量分离得 ，积分得 因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 )解析：
