1、考研数学二（高等数学）-试卷 16 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 2 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，g“(4)=6，则 g“(4)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线
2、 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= 0 x e cost dt， 0 f(x)cosxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x-t)dt= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00
3、）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.，求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_18.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1 证明：存在 ，(a，b)，使得 2e= 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一
4、个根（分数：2.00）_20.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_21.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： （分数：2.00）_23.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20NS 的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_24. （分数：2
5、.00）_25. （分数：2.00）_26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_27.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 16 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=
6、x 2 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，g“(4)=6，则 g“(4)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为4.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：43）解析：解析：因为 x0 时， -1ln 2 (1+x)
7、x 2 ， 6.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=ln2 时，t=1；当 t=1 时，y=07. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.设 f(x)= 0 x e cost dt， 0 f(x)cosxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1 -e）解析：解析： 0 f(x)cosxdx= 0 f(
8、x)d(sinx)=f(x)sinx 0 - 0 f“(x)sinxdx=- 0 e cosx sinxdx=e cosx 0 =e -1 -e11.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x-t)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
9、算步骤。（分数：2.00）_解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：17.，求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，-1，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 当 x=k(k=-1，-3，-4，)时， 由 =得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点； 由 )解析：18.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)
10、=1 证明：存在 ，(a，b)，使得 2e= 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：19.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f“(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，当 x0 时，f“(x)f“(0)=1 当 x0 时，f(x)-f(0)=f“()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 所以 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)
11、=-2)解析：20.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae x =x 2 等价于 x 2 e -x -a=0 令 f(x)=x 2 e -x -a，由 f“(x)=(2x-x 2 )e -x =0 得 x=0，x=2 当 x2 时，f“(x)解析：21.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)-f(0)= 0 1 f“(x)dx， 得 1 2 =1-( 0 1 f“(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f“ 2 (x)
12、dx= 0 1 f“ 2 (x)dx，即 0 1 f“ 2 (x)dx1)解析：22.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)= a x f“(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f“(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f“ 2 (t)dt(x-a) a b f“ 2 (x)dx)解析：23.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中
13、，污泥以 20NS 的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12000J 设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30-x)dx， 则 W 2 = 0 30 dW 2 =22500J 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(
14、x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 ，解得 y=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =-1，故 L 1 ：y=2x 2 -x 对曲线 L 2 ，由题意得 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =-1，故 L 2 ： 由 2x 2 -x= 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 )解析：27.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
