1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 60 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=s 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内连续B.若
2、 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )= D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点5.设 a= 0 5x dt，= 0 sinx （分数：2.00）A
3、.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小6.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.7.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)- 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)- 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1二、填空题(总题数：7，分数：14.
4、00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f(0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在(-，+)上可导， f(x)=e 2 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_12.求 （分数：2.00）填空项 1:_13.求 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设
5、a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_17.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x n ，作 x n-1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_18.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和术速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_20.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x
6、)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_21.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_24.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_25.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数
7、：2.00）_26.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 60 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是( )（分数：2
8、.00）A.若f(x)在 x=s 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f(x)= 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对； 令 f(x)=显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对； 令 f(x)= f(0+h)f(0-h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，(D)不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又 0f(x)-f(a)f(x)-
9、f(a)，根据迫敛定理，3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )= D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 f(x)不存在，所以f(x)在 x 0 处不连续，(A)不对； 同理 f(x)在
10、x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，(B)不对； 因为 =f()，其中 介于 x 0 与 x 之间，且 f(x)存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 f(x 0 )= ，选(C)； 令 4.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(
11、x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f(x)0，则 x=x 2 为f(x)的极小值点；当 x(0，x 3 )时，f(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小值点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大值点，即 f(x)有三个极大值点，
12、两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)5.设 a= 0 5x dt，= 0 sinx （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为6.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：令 (02，0ra)， 由7.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)B.C 1 1 (x)- 2
13、 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)- 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)- 3 (x)， 2 (x)- 3 (x)为方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C 2 2 (x)- 3 (x)+ 3
14、 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为当 x0 时， 所以 由于 又 于是原式=9.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f(0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：由 =0 得 f(0
15、)=0，f(0)=0，则 而 f(0)=2，所以 11.设 f(x)在(-，+)上可导， f(x)=e 2 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： =e 2a ，由 f(x)-f(x-1)=f()，其中 介于 x-1 与 x 之间，令 x，由 f(x)=e 2 ，得 f(x)-f(x-1)= 12.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：14.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
16、*）解析：解析：u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u x (x，3x)+3u y (x，3x)=1， 再对 x 求导，得 u xx (x，3x)+6u xy (x，3x)+9u yy (x，3x)=0 由 ，得 10u xx (x，3x)+6u xy (x，3x)=0， u x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u xx (x，3x)+3u xy (x，3x)=3x 2 ， 解得 u xy (x，3x)= 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1
17、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= (x0)，所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 a n =A，则有 )解析：17.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x n ，作 x n-1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 -x n =f(x n )-f(x n-1 )=f( n )(x n -x n-1 )，因为 f(x)0，所以 x n+1 -x n ，与 x n -x n-1 同号，故x n 单调 x n =f(x
18、n-1 )=f(x 1 )+ x1 xn-1 f(x)dxf(x 1 )+ x1 xn-1 f(x)dxf(x 1 )+ - + dx=f(x 1 )+k， 即x n 有界，于是 x n 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 x n =f( )解析：18.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和术速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)0，S(0)=O，S(1)=1，S(1)=0由泰勒
19、公式 两式相减，得 S( 2 )-S( 1 )=-8 )解析：19.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e-x -x f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e -x f(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1， 所以有 f(x)e x (x0)解析：20.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正
20、确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)， 令 Y=0 得 u=x- ，由泰勒公式得 f(u)= f( 1 )u 2 ，其中 1 介于 0 与 u 之间， f(x)= f( 2 )x 2 ，其中 2 介于 0 与 x 之间， 于是 )解析：21.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 -3y-3xy+3y 3 y=0， 解得 由 因为 y(-1)=10，所以 x=-1 为极小值点，极小
21、值为 y(-1)=1； 因为 =-10，所以 为极大值点，极大值为 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 =t，则 x=ln(2+t 2 )，dx= dt， 所以 )解析：23.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)-m0，f(x)-M0，从而 0，于是 f(x)+ M+m，两边积分得 0 1 f(x)dx+Mm 0 1 dxM+m， 因为 0 1 f(x)dx+Mm 0 1 所以 )解析：24.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭区域绕直线
22、 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当x0 时， 对x，x+dx 0，1， dV 1 =3 2 -3-(x 2 +2) 2 dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， V 1 = 0 1 dV 1 = 0 1 (2x 2 -x 4 +8)dx= ；对x，x+dx 1，2， dV 0 =3 2 -3-(4-x 2 ) 2 dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， V 2 = 1 2 dV 2 = 1 2 (2x 2 -x 4 +8)dx= ，则V=2(V 1 +V 2 )= )解析：25.
23、设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 所以 =f 1 . 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt， 则 f(x)dxf(y)dy =f(x)F(b
24、)-F(x)dx =F(b) a b f(x)dx- a b f(x)F(x) =F(b)- a b F(x)dF(x) =F 2 (b)- F 2 (x) a b = F 2 (b) = )解析：27.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =-1，故 L 2 ：y=2x 2 -x 对曲线 L 2 ，由题意得 (xy)=2，解得 y= ， 因为曲线L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =-1，故 L 2 ：y=2- 由 2x 2 -x=2- 得两条曲线的交点为 ，(-1，3)及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 )解析：
