1、考研数学（数学三）模拟试卷 449 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（分数：2.00）A.|k|2B.|k|1C.|k|1D.|k|23.设 f（x）=（1+x 2 ） x2 ，g（x）= 0 1cosx sint 2 dt，则 x0 时 f（x）是 g（x）的（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小4.设 f（x）在0，1上连续，且 f（
2、x）+f（1x）0，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.15.极数 （分数：2.00）A.(0，4)B.0，4)C.(0，2)D.0，2)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A 1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B 1 B.把 A 1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B 1 C.把 A 1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上得到 B 1 D.把 A 1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B 1 7.设 4 阶矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），已知齐次方程组 AX=
3、0 的通解为 c（1，2，1，0） T ，c 任意，则下列选项中不对的是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关8.将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点”，事件 C 表示“偶数点最多出现一次”，则（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立C.B 与 AC 独立D.C 与 AB 独立9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N（0，1）的简单随机样本， ，S 2 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2
4、 （n1）分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知函数 f（x）=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=1 处取得极值则曲线 y=f（x）的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.二阶微分方程 y“=e 2y 满足条件 y（0）=0，y（0）=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则（A * ） * 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.假设
5、每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p（0p1）现进行再复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.=a（a0），求 n 及 a 的值 （分数：2.00）_18.求常数 k 的取值范围，使得 f（x）=kln（1+x）arctanx 当 x0 时单调增加（分数：2.00）_19.设函数 f（x，y）= 计算二重积分 （分数：2.00）_20.作自变量替换 把方程 （分数：
6、2.00）_21.证明推广的积分中值定理：设 F（x）与 G（x）都是区间a，b上的连续函数，且 G（x）0，G（x） （分数：2.00）_22. 1 =（1，0，0，1） T ， 2 =（1，1，0，0） T ， 3 =（0，2，1，3） T ， 4 =（0，0，3，a） T ，=（1，b，3，2） T . a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关？此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示？写出一个表示式（分数：2
7、.00）_23.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 ，x 2 ，x 3 ） （分数：2.00）_24.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 （分数：2.00）_25.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p（0p1）现进行 10批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：（）试验成功率 p 的矩估计值；（）试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_考研数学（数学三）模拟试卷 449 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，
8、只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）=x 3 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（分数：2.00）A.|k|2 B.|k|1C.|k|1D.|k|2解析：解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点， y=f(x)只有以下三种情形3.设 f（x）=（1+x 2 ） x2 ，g（x）= 0 1cosx sint 2 dt，则 x0 时 f（x）是 g（x）的（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小解析：解析：这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小替换得 其中用了下面的等价无穷小替换：x0 时 (1+x
9、 2 )x 2 1ln(1+x 2 )x 2 1+1 = x 2 ln(1+x 2 )x 4 ， sin(1cosx) 2 (1cosx) 2 （ 4.设 f（x）在0，1上连续，且 f（x）+f（1x）0，则 （分数：2.00）A.0B. C.D.1解析：解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去 f(x) 令1x=t，x=1t 则5.极数 （分数：2.00）A.(0，4) B.0，4)C.(0，2)D.0，2)解析：解析：因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性 首先当 x2=0 即x=2 时级数收敛当 x2 时， 由此可知当 0|x2|
10、2 0x2 或 2x4 时级数绝对收敛 又当 x=0 和 x=4 时得正项级数6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（分数：2.00）A.把 A 1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B 1 B.把 A 1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B 1 C.把 A 1 第 2 行的3 倍加到第 4 行上得到 B 1 D.把 A 1 第 4 行的3 倍加到第 2 行上得到 B 1 解析：解析：B=AE(2，4(3)，B 1 =E(2，4(3） 1 A 1 =E（2，4（3）A 1 ，因此 B 1 是把A 1 第 4 行的3
11、倍加到第 2 行上得到。7.设 4 阶矩阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），已知齐次方程组 AX=0 的通解为 c（1，2，1，0） T ，c 任意，则下列选项中不对的是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 线性无关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关 解析：解析：条件说明 1 2 2 + 3 =0，并且 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）=3 显然 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，并且 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=2 3 可用 1 ， 2 线性表示，因此 r（ 1 ， 2 ）=r（ 1 ， 2 ， 3
12、， 4 ）=2 1 ， 2 线性无关(A)和(B)都对 r（ 1 ， 2 ， 4 ， 4 ）= r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，(C)对(D)错8.将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点”，事件 C 表示“偶数点最多出现一次”，则（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立C.B 与 AC 独立D.C 与 AB 独立 解析：解析：应用条件概率是否与无条件概率相等来判断独立性 故 A 与 C 不独立，(A)不正确所以 故 A 与 BC 不独立，(B)不正确 由于 P(B|AC)=1P(B)，故 B 与 AC
13、不独立，(C)不正确 由于 P(C|AB)=9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N（0，1）的简单随机样本， ，S 2 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2 （n1）分布的随机变量是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 X i N(0，1)，故 X i 2 i 2 (1)，由 2 分布的可加性知 X i 2 2 (n)又 2 （n1），故(A)正确，可知(B)不服从 2 （n1）分布，因此应选(B) 又 =（n1）S 2 2 （n1）， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
14、解析：利用洛必达法则求极限 因为11.已知函数 f（x）=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=1 处取得极值则曲线 y=f（x）的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：函数表达式含有未知参数 a，可由已知 x=0，x=1 处取极值来确定 a 的值 f（x）= 3ax 2 +2x=x(3ax+2)，驻点为，x=0，x= 由 x=0，x=1 是极值点，可知 a= 于是 f(x)=2x(x 1 +1)，f“(x)=4x+2 令 f“(x)=0，得 x= 又 f“(x)在 x= 左右异号，故曲线的拐点为 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_
15、（正确答案：正确答案： ）解析：解析：先求偏导数：13.二阶微分方程 y“=e 2y 满足条件 y（0）=0，y（0）=1 的特解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ln(1x)）解析：解析：此二阶方程不显含 x 且不显含 y，将方程两边同乘 y得 yy“=e 2y y 即 14.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则（A * ） * 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6，12，18）解析：解析：方法一 利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值|A|=1（2）3=6，于是 A *
16、的特征值为6，3，2，|A * |= 36则(A * ) * 的特征值为6，12， 18 方法二 用关系式(A * ) * =|A| n2 A，本题 n=3，|A|=6，则（A * ） * = 6A，其特征值为6，12， 1815.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p（0p1）现进行再复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且 PX=n=pq n1 +qp n1
17、， (q=1p) 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.=a（a0），求 n 及 a 的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求常数 k 的取值范围，使得 f（x）=kln（1+x）arctanx 当 x0 时单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x(0+)时 f(x)单调增加 f（x）0(x(0，+)且在(0，+)的 子区间上 f(x) 0 f(x)=kln(l+x)arctanx，则 若 k0，则 f（x）0(x0)，于是只需考察 k0 的情形 令 g（x）=kx
18、2 x+k1，则当 x0 时 f（x）与 g（x）同号 由于g（x）满足 由此可见 g（x）在(0，+)上的最小值 为使 g（x）0 必须且只需正数满足 即使得 f(x)=kln(1+x)arctanx 当 x0 时是单调增函数的 k 是大于或等于 )解析：19.设函数 f（x，y）= 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D 1 ，在 V=1 上方的部分记为 D 2 ，且D 2 在 y 轴右侧的部分记为 D 2 ，于是 )解析：20.作自变量替换 把方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 将，代入原方程得 ()求
19、解二阶常系数线性方程 相应的特征方程 2 +2+1=0，有重根 =1非齐次方程可设特解 y * =Asint+Bcost，代入得 一（Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bcost)=2sint， 即 AcostBsint=sint， 比较系数得A=0，B=1 即 y * (t)=cost，因此的通解为 y=(Cl+C2t)e t 一 cost ()原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 arc8inx)e arcsinx 其中 sin 2 (arcsinx)+cos 2 (arcsinx)=1，cos(arcsinx)= )解析：21.证明推广的积分中值定理：
20、设 F（x）与 G（x）都是区间a，b上的连续函数，且 G（x）0，G（x） （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)在a，b上的最大值与最小值分别是 M 与 m，利用 G（x）0 且 G（x） 0 即知当 Xa，b时 m，G（x）F(x)G(x)MG(x)， 由定积分的性质即知 m a b G(x)dx= a b mG(x)dx a b F(x)G(x)dx a b MG(x)dx=M a b G(x)dx， 由于 G（x）0 且 G（x）0，故 a b G（x）dx0从而有 再由 F(x)是以 m 与 M 分别为其最小值与最大值的区间a，b上的连续函数即知存在 a，b使得 )
21、解析：22. 1 =（1，0，0，1） T ， 2 =（1，1，0，0） T ， 3 =（0，2，1，3） T ， 4 =（0，0，3，a） T ，=（1，b，3，2） T . a 取什么值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关？此时求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示？写出一个表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两个小题都关系到秩， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )4；
22、可用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )因此应该从计算这两个秩着手 以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为列向量构造矩阵（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，），然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，)= r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）4 )解析：23.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 ，x 2 ，x 3 ） （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 它的秩为 1，则 a=4 的秩为 1，则特征值为0，0，9 属于 0 的特征向量即 AX=0 的
23、非零解，求出此方程组的一个基础解系： 1 =(0，1，1) T ， 2 =(2，0，1) T ，对它们作施密特正交化得 再求得属于 9 的一个特征向量 3 =（1，2，2） T ，作单位化得 3 =（1/3，2/3，2/3） T 令 Q=( 3 ， 1 ， 2 )= )解析：24.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 X 的边缘密度对任意 x0，有 f X (x)= + f(x，y)dy= x + （y 2 一 x 2 ）e y dy = x + y 2 de y + x 2 + de y = (y 2 e y +2ye y +2e y )|
24、 x + x 2 e x = （x 2 e x +2xe x +2e x 一 x 2 e x ） = （1+x）e x ； 对于任意 x0，有一 xy+，因此 f X (x)= x + (y 2 一 x 2 )e y dy = （y 2 e y +2ye y +2e y ）| x + x 2 e x = （x 2 e x 2xe x +2e x ）一 x 2 e x = （1 一 x）e x = (1+|x|)e |x| 于是，X 的边缘密度f X (x)= （1+|x|）e |x| ，一x+ 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 ()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度
25、由于 f X （x）f Y (y)f(x，y)，故 X，Y 不独立 又 EXY= b xyf(x，y)dxdy= + ye y y y x(y 2 一 x 2 )dxdy=0， EX= + xf X (x)dx= )解析：25.进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p（0p1）现进行 10批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：（）试验成功率 p 的矩估计值；（）试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 试验成功率 p 的矩估计量 相应矩估计值为 ()最大似然函数L（x 1 ，x 10 ；p），简记为 L，则 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然f 占汁的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为 )解析：解析：依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的儿何分布，即 PX=m=pq m1 ，其中，n=1，2，q=1p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求，
