1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：1，分数：2.00)1.证明：同轴线单位长度的静电储能 （分数：2.00）_二、计算题(总题数：29，分数：58.00)2.一导体球半径为 a，其外罩为内外半径分别为 b 和 c 的同心厚导体壳，此系统带电后内球的电位为 U，外球所带总电量为 Q，求此系统各处的电位和电场分布(假设内球带电量为 q 1 )。（分数：2.00）_3.一同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，ab 之间填充两种绝缘材料，arr 0 时为 1 ，r 0 rb 时为 2 。若要求两种介质中电场强度
2、的最大值相等，介质分界面的半径 r 0 应当等于多少?（分数：2.00）_4.两种介电常数分别为 1 ， 2 的电介质的分界面上，有密度为 s 的面电荷，界面两侧的电场为E 1 和 E 2 。证明 E 1 、E 2 与界面法线 e n 的夹角 1 、 2 之间有如下关系： （分数：2.00）_5.一平行板电容器的极板面积为 S，电极之间距离为 d，电极之间绝缘材料是由两种电介质 1 和 2 组成，它们的厚度分别为 d 1 和 d 2 。假设电极之间电压为 U 0 ，求每种电介质界面之间电压以及两种电介质中电场能量密度之比。 （分数：2.00）_6.验证无限长细线电流 I 所产生的磁场满足 S
3、B.dS=0，其中 S 为： (1)半径为 a 的球面，球心距电流为 D(Da)； (2)垂直于电流方向、边长为 a 的正方体，中心与电流重合。（分数：2.00）_7.已知无源的自由空间内 E=E 0 cos(t 一 z)e x ，其中 E 0 ， 和 为常数，试求 H 和位移电流 J d 。（分数：2.00）_8.已知无源的自由空间内 （分数：2.00）_9.已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内 E=E 0 cos(tk x x 一 k z z)e y 试求：电荷密度 和电流密度 J，J=0 的条件是什么?（分数：2.00）_10.有一半径为 R 的两块圆形平行平板电容器，电场强度增加率为
4、求：(1)两极板间的位移电流；(2)两极板问磁场分布。 （分数：2.00）_11.有一半径为 R=03 cm 的圆形平行平板空气电容器，现对该电容器充电，使阳极板上的电荷随时间的变化率，即充电回路上的传导电流 I c =dQdt=25 A。若略去电容器的边缘效应，求(1)两极板间的位移电流；(2)两极板间离开轴线的距离为 r=20 cm 的点 P 处的磁感应强度。 （分数：2.00）_12.在内半径为 a，外半径为 b 的介质(=4 0 )球壳空腔内，均匀分布着体密度为 的电荷，球壳内外均为空气，求以下 3 个区域内的电场分布：(1)ra；(2)arb；(3)rb，并求以上 3 个区域内的E
5、和.D。（分数：2.00）_13.一根长度为 L，线电荷密度分别为 l1 、 l2 、 l3 的线电荷构成一个等边三角形，设 l1 =2 l2 =2 l3 ，试求三角形中心的电场强度。（分数：2.00）_14.媒质 1 的电参数为 1 =5 0 、 1 =3 0 、 1 =0，媒质 2 可视为理想导体( 2 =)。设 y=0为理想导体表面，y0的区域(媒质 1)内的电场强度 E=e y 20cos(210 8 t 一 258z)Vm 试计算t=6ns 时：(1)点 P(2，0，03)处的面电荷密度 s ；(2)点 P 处的 H；(3)点 P 处的面电流密度 J s 。（分数：2.00）_15.
6、两电介质的分界面为 z=0 的平面，已知 r1 =2 和 r2 =3，如果已知区域 1 中的 E 1 =2ye x 一 3xe y +(5+z)e z ，我们能求出区域 2 中哪些地方的 E 2 和 D 2 ?能求出区域 2 中任意点的 E 2 和 D 2 吗?（分数：2.00）_16.自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点 A(0，0，一 4)处的平面上 s1 =3n Cm 2 ，位于点 B(0，0，1)处的平面上 s2 =6n Cm 2 ，位于点 C(0，0，4)处的平面上 s3 =-8n Cm 2 。试求以下各点的电场强度 E：(1)P 1 (2，5，一 5)；(2)P 2 (一 2
7、，4，5)；(3)P 3 (一 1，一 5，2)。（分数：2.00）_17.下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是，求出其源量 J。 (1)H=e a，B= 0 H(圆柱坐标系)；(2)H=e x (-ay)+e y (ax)，B= 0 H； (3)H=e x ax 一 e y ay，B= 0 H。（分数：2.00）_18.z=0 平面将无限大空间分为两个区域：z0 区域为空气，z0 区域为相对磁导率 r =1，相对介电常数 r =4 的理想介质，若知空气中的电场强度为 E 1 =e x +4e z Vm，试求： (1)理想介质中的电场强度 E 2 ； (2)理想介质中电位移矢量 D 2 与界
8、面间的夹角 ； (3)z=0 平面上的极化面电荷 sp (2009年西安电子科技大学真题)。 （分数：2.00）_19.一个半径为 a 的球体充满密度为 =a 2 一 r 2 的体分布电荷，用高斯定律求任意点的电场强度。（分数：2.00）_20.假设真空中电位按照下面规律分布 （分数：2.00）_21.一个半径为 a 的电介质球含有均匀分布的自由电荷 ，证明其中心点的电位是 （分数：2.00）_22.(西安电子科技大学 2004 年考研真题)在真空中，有一半径为 a 的导体球，带电荷为 Q，求这一孤立导体的电容 C。（分数：2.00）_23.如图为球心在两种介质的界面上，半径为 a 的导体球的
9、带电量为 Q，两种介质的介电常数分别为 1 和 2 ，试求： （分数：2.00）_24.一半径为 R 0 的介质球，介电常数为 r 0 ,其内均匀分布自由电荷 ，试证明该介质球中心的电位为 （分数：2.00）_25.无限大导体平板分别置于 x=0 和 x=d 处，板间充满电荷，其电荷密度为 ，极板的电位分别为 0和 U 0 ，如图所示，求两极板之间的电位和电场强度。 （分数：2.00）_26.同轴电缆的内导体半径为 a，外导体内半径为 c；内、外导体之间填充两层损耗介质，其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为 b。当外加电压为 U
10、 0 时，试求：(1)介质中的电流密度和电场强度分布；(2)同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。 （分数：2.00）_27.如图所示，一个点电荷 q 放在 60的接地导体角域内的点(1，1，0)处。试求：(1)所有镜像电荷的位置和大小；(2)点 P(2，1，0)处的电位。 （分数：2.00）_28.(北京理工大学 2003 年考研真题)一个内外半径分别为 a 和 b 的导体球壳位于坐标系原点，壳内任意点(ra)有一个点电荷 Q，写出 arb、rb 两个区域的电场强度和 r=b 表面上的电荷分布。（分数：2.00）_29.两点电荷 q 1 =8C，位于 z 轴上 z=4 处，q 2 =4 C，位于
11、y 轴上 y=4 处，求(4，0，0)处的电场强度。 （分数：2.00）_30.求均匀带电的无限大带电平面产生的电场。 （分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：1，分数：2.00)1.证明：同轴线单位长度的静电储能 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯定律可求得同轴线内、外导体间的电场强度为 内外导体间的电压为则同轴线单位长度的电容为 则得同轴线单位长度的静电储能为 )解析：二、计算题(总题数：29，分数：58.00)2.一导体球半径为 a，其外罩为内外半径分别为 b 和 c 的同心厚导体
12、壳，此系统带电后内球的电位为 U，外球所带总电量为 Q，求此系统各处的电位和电场分布(假设内球带电量为 q 1 )。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设内球带电量为 q 1 ，根据高斯定律求解空间电场分布。 ra E=0 对应的空间电位分布可根据 U(r)= r E.d，求得 比较 ra，arb 时的电位表达式可得 )解析：3.一同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，ab 之间填充两种绝缘材料，arr 0 时为 1 ，r 0 rb 时为 2 。若要求两种介质中电场强度的最大值相等，介质分界面的半径 r 0 应当等于多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以轴线为 z
13、 轴建立柱坐标系，并假设同轴线单位长度带电 l 。根据高斯定律，可以求得两介质中距轴线 r 处的电场强度 E 如要求两种介质中的电场强度最大值相等，则有 )解析：4.两种介电常数分别为 1 ， 2 的电介质的分界面上，有密度为 s 的面电荷，界面两侧的电场为E 1 和 E 2 。证明 E 1 、E 2 与界面法线 e n 的夹角 1 、 2 之间有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由边界条件 把 E 1 、E 2 分解 两边同除以 sin 1 )解析：5.一平行板电容器的极板面积为 S，电极之间距离为 d，电极之间绝缘材料是由两种电介质 1 和 2 组成，它们的厚度分别为
14、d 1 和 d 2 。假设电极之间电压为 U 0 ，求每种电介质界面之间电压以及两种电介质中电场能量密度之比。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设平行板电容器里面电荷密度为 由高斯定律 U 0 =E 1 dl+E 2 dl=E 1 d 1 +E 2 d 2 极板上 Q 1 =Q 2 =Q S 1 E 1 =S 2 E 2 解得 )解析：6.验证无限长细线电流 I 所产生的磁场满足 S B.dS=0，其中 S 为： (1)半径为 a 的球面，球心距电流为 D(Da)； (2)垂直于电流方向、边长为 a 的正方体，中心与电流重合。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据比奥一萨伐定
15、律，单个电流元 Idl 产生的磁感线是以 dl 方向为轴线的圆，如图，圆周上微元磁场的数值处处相等： 在磁感线穿入处取一面元 dS 1 ，穿出处取另一面元 dS 2 ，Idl 产生的磁场通过两面元的磁通量分别为： )解析：7.已知无源的自由空间内 E=E 0 cos(t 一 z)e x ，其中 E 0 ， 和 为常数，试求 H 和位移电流 J d 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.已知无源的自由空间内 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内 E=E 0 cos(tk x x 一 k z z)e y 试求：电荷密度 和
16、电流密度 J，J=0 的条件是什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)在简单媒质中， 所以 =0 (2)由麦克斯韦方程 =E 0 k z sin(tk x x 一 k z z)e x 一 E 0 k x sin(t 一 k x xk z z)e z )解析：10.有一半径为 R 的两块圆形平行平板电容器，电场强度增加率为 求：(1)两极板间的位移电流；(2)两极板问磁场分布。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)位移电流密度 位移电流 (2)由麦克斯韦方程 Hdl= S J.dS )解析：11.有一半径为 R=03 cm 的圆形平行平板空气电容器，现对该电容器充电，使
17、阳极板上的电荷随时间的变化率，即充电回路上的传导电流 I c =dQdt=25 A。若略去电容器的边缘效应，求(1)两极板间的位移电流；(2)两极板间离开轴线的距离为 r=20 cm 的点 P 处的磁感应强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)位移电流 (2)由麦克斯韦方程 l H.dl=I d )解析：12.在内半径为 a，外半径为 b 的介质(=4 0 )球壳空腔内，均匀分布着体密度为 的电荷，球壳内外均为空气，求以下 3 个区域内的电场分布：(1)ra；(2)arb；(3)rb，并求以上 3 个区域内的E 和.D。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 ra，
18、球壳内无电荷分布 1 =0 S D.dS=0，E 1 =0 E 1 =0，.D 1 =0 (2)当 arb，作一高斯球面半径为 r S D.dS= 2 dV 因为是静电场， E 2 =0， .D 2 = (3)当 rb D 3 .ds= 3 dv 因为是静电场， E 3 =0 由球坐标系得 )解析：13.一根长度为 L，线电荷密度分别为 l1 、 l2 、 l3 的线电荷构成一个等边三角形，设 l1 =2 l2 =2 l3 ，试求三角形中心的电场强度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.媒质 1 的电参数为 1 =5 0 、 1 =3 0 、 1 =0，媒质 2 可视为理
19、想导体( 2 =)。设 y=0为理想导体表面，y0的区域(媒质 1)内的电场强度 E=e y 20cos(210 8 t 一 258z)Vm 试计算t=6ns 时：(1)点 P(2，0，03)处的面电荷密度 s ；(2)点 P 处的 H；(3)点 P 处的面电流密度 J s 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) S =80610 9 Cm 2 ；(2)H=e x 62310 -3 Am；(3)Js=e z 62310 -3 Am)解析：15.两电介质的分界面为 z=0 的平面，已知 r1 =2 和 r2 =3，如果已知区域 1 中的 E 1 =2ye x 一 3xe y +(5+
20、z)e z ，我们能求出区域 2 中哪些地方的 E 2 和 D 2 ?能求出区域 2 中任意点的 E 2 和 D 2 吗?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只能求出 z=0 上的 E 2 和 D 2 。E 2 =2y，e x 一 3xe y + )解析：16.自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点 A(0，0，一 4)处的平面上 s1 =3n Cm 2 ，位于点 B(0，0，1)处的平面上 s2 =6n Cm 2 ，位于点 C(0，0，4)处的平面上 s3 =-8n Cm 2 。试求以下各点的电场强度 E：(1)P 1 (2，5，一 5)；(2)P 2 (一 2，4，5)；(3)P
21、 3 (一 1，一 5，2)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E 1 =一 e z 5649 Vm；(2)E 2 =e z 5649 Vm；(3)E 3 =e z 9605 Vm)解析：17.下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是，求出其源量 J。 (1)H=e a，B= 0 H(圆柱坐标系)；(2)H=e x (-ay)+e y (ax)，B= 0 H； (3)H=e x ax 一 e y ay，B= 0 H。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)不是；(2)是，J=e z 2a；(3)是，J=0)解析：18.z=0 平面将无限大空间分为两个区域：z0 区域为空气，
22、z0 区域为相对磁导率 r =1，相对介电常数 r =4 的理想介质，若知空气中的电场强度为 E 1 =e x +4e z Vm，试求： (1)理想介质中的电场强度 E 2 ； (2)理想介质中电位移矢量 D 2 与界面间的夹角 ； (3)z=0 平面上的极化面电荷 sp (2009年西安电子科技大学真题)。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)分界面上场强 E 的切向连续， E 2x =E 1x =e x (Vm) 分界面是理想介质 不存在自由面电荷，即 D 2n 一 D 1n = x =0 r 0 E 2z )= 0 E 1z E 2 =E 2x +E 2z =e x +e z
23、 (Vm) (2)D 2 = r 0 E 2z =4 0 (e x +e z )(Cm 2 ) =arctan1=45 (3) sp =P.n D= 0 E+P 介质中 P=( r 一 1) 0 E 2 =3 0 E 2 分界面上 n=一 e z 所以 sp =3 0 E 2 .(一 e z )=一 3 0 Cm 2 本题涉及理想介质性质，静电场边界条件，极化电荷 P =一P， sp =P.n，这里要注意区别自由面电荷和极化面电荷的概念；注意公式中的 n 为介质面的外法线方向。 本题涉及理想介质性质，静电场边界条件，极化电荷。)解析：19.一个半径为 a 的球体充满密度为 =a 2 一 r 2
24、 的体分布电荷，用高斯定律求任意点的电场强度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯定律： E.dS=Q 考虑到球的对称性，当 0ra 时，高斯定律表示为 4r 2 . 0 E r = 0 r (a 2 一 r 2 )4r 2 dr 解得 当 ra 时，4r 2 . 0 E r = 0 a (a 2 一 r 2 )4r 2 dr 解得 )解析：20.假设真空中电位按照下面规律分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由静电场泊松方程 得 )解析：21.一个半径为 a 的电介质球含有均匀分布的自由电荷 ，证明其中心点的电位是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据高斯定律
25、求出空间的电场分布 球心处的电位可以积分求得 | r=0 = 0 E.dr= 0 a E 1 dr+ a E 2 dr )解析：22.(西安电子科技大学 2004 年考研真题)在真空中，有一半径为 a 的导体球，带电荷为 Q，求这一孤立导体的电容 C。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯定理： )解析：23.如图为球心在两种介质的界面上，半径为 a 的导体球的带电量为 Q，两种介质的介电常数分别为 1 和 2 ，试求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由分界面边界条件 n(E 2 一 E 1 )=0 知 E 2t =E 1t 分界面两侧电场强度大小相等。 区域 1
26、和区域 2 中有：|E 2t |=|E 1t |=|E| 由高斯定理得： 2r 2 D 1 +2r 2 D 2 =Q (2)n.(D out 一 D in )=s，导体球内 D in =0 (3)以无穷远处为电势零点，导体球上电势为： 导体孤立电容 )解析：24.一半径为 R 0 的介质球，介电常数为 r 0 ,其内均匀分布自由电荷 ，试证明该介质球中心的电位为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据高斯定律 S D.dS=q，得 则中心点的电位为 )解析：25.无限大导体平板分别置于 x=0 和 x=d 处，板间充满电荷，其电荷密度为 ，极板的电位分别为 0和 U 0 ，如图所示，求
27、两极板之间的电位和电场强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两导体板之间的电位满足泊松方程 ,故得 解此方程，得 在 x=0 处，=0，故 B=0 )解析：26.同轴电缆的内导体半径为 a，外导体内半径为 c；内、外导体之间填充两层损耗介质，其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为 b。当外加电压为 U 0 时，试求：(1)介质中的电流密度和电场强度分布；(2)同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I，则由 S J.dS=I，得电流密度 介质中
28、的电场 则得到两种介质中的电流密度和电场强度分别为 (2)同轴电缆单位长度的漏电阻为 由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为 )解析：27.如图所示，一个点电荷 q 放在 60的接地导体角域内的点(1，1，0)处。试求：(1)所有镜像电荷的位置和大小；(2)点 P(2，1，0)处的电位。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)这是一个多重镜像问题，共有(2n 一 1)=231=5 个像电荷，分布在以点电荷 q 到角域顶点的距离(即 )为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，如图所示。 (2)点P(2，1，0)处的电位 )解析：28.(北京理工大学 2003 年考研真题)一个内外半径分
29、别为 a 和 b 的导体球壳位于坐标系原点，壳内任意点(ra)有一个点电荷 Q，写出 arb、rb 两个区域的电场强度和 r=b 表面上的电荷分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： r=b 时金属球壳表面电荷为均匀分布，分布电荷密度为 )解析：29.两点电荷 q 1 =8C，位于 z 轴上 z=4 处，q 2 =4 C，位于 y 轴上 y=4 处，求(4，0，0)处的电场强度。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点电荷 q 1 在 P 点处电场强度为 点电荷 q 2 在 P 点处电场强度为 因此，P(4，0，0)处的电场强度为 )解析：30.求均匀带电的无限大带电平面产生的电场。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将无限大平面与 xOy 平面重合，所以其产生电场的方向为 z 轴方向，做一高斯面(柱面)，上、下底 E 面相等 电子带电平面可以是正、负，则 )解析：
