1、统计学考研真题精选 5 及答案解析(总分：300.00，做题时间：150 分钟)一、单项选择题(总题数：39，分数：39.00)1.一射手进行了三次射击，A i表示第 i 次次射击击中目标这一事件，下面正确表述了事件 A1A2+A1A3+A2A3 的是（ ）。 （分数：1.00）A.恰有两次击中目标B.至少两次击中目标C.最多两次击中目标D.三次都击中目标2.某班学生的平均成绩是 80 分，标准差是 10 分。如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断成绩在 70?90 分之间的学生大约占（ ）。（分数：1.00）A.95%B.89%C.68%D.99%3.假设随机变量 X 的概率度函数为
2、 f(x),即 x-f(x),数学期望 和方差 都存在。样本 X1,Xn取自X， 是样本均值，则有（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.4.已知 .（分数：1.00）A.a（1-b）B.a-bC.c-bD.a(1-c)5.设 A、B 概率不为 0 的不相容事件，下列结论中正确的是（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.6.设某人打靶每次击中靶心的概率为+，四次独立重复射击中，至少有一次击中的概 率是（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.7.设离散型随机变量 的分布律为 ，k=0,1,2,3,则常数 A 应为（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.8.设 A,B,C 都是事件，通过事
3、件运算得到 A,B,C, 中某些事件的交及并的表达方式， 表示（ ）。（分数：1.00）A.事件 A,B,C 中至少有一个发生B.事件 A,B,C 中至少有两个发生C.事件 A,B,C 中至少有一个不发生D.事件 A,B,C 中至少有两个不发生9.设随机变量 =（ ）。（分数：1.00）A.30B.12C.6D.010.设随机变量 ?的概率密度为 N（0,1）。（分数：1.00）A.B.C.D.11.离散型随机变量 的分布列为 ，其中 a,b 是未知数，如果已知 取 1 的概率和取 2 的概率相等，则 a=( )。（分数：1.00）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.512.甲乙两人将进行一
4、局象棋比赛，考虑事件 A=甲乙胜负，则 为（ ）。（分数：1.00）A.甲负乙胜B.甲乙平局C.甲负D.甲负或平局13.随机事件 A,B,C 中恰有两个事件发生的复合事件为（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.14.某种动物活到 25 岁以上的概率为 0.8,活到 30 岁的概率为 0.4,则现年 25 岁的这种动物活到 30 岁以上的条件概率是（ ）。（分数：1.00）A.0.76B.0.5C.0.4D.0.3215.将一颗质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，至少出现 2 次正面的概率是( )。（分数：1.00）A.1/4B.3/8C.1/2D.5/816.设函数 f(x)在区间（a,b）上
5、等于 0.4，在此区间之外等于 0，如果 f(x)可以作为某连续性随机变量的密度函数，则区间（a,b）可以使（ ）。（分数：1.00）A.（0,0.5）B.（0.5,2.5）C.（1,2.5）D.（0,2.5）17.甲、乙两人同时向某一目标射击一次，若甲命中目标的概率是 0.4,乙命中目标的概率是 0.6,那么目标被命中的概率是（ ）。（分数：1.00）A.0.24B.0.52C.0.76D.1.018.设两事件 A 与 B 独立，其概率分别为 0.5 与 0.6，则 P(A+B)=( )。（分数：1.00）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.919.设事件 C 发生时事件 D 发生的条件概
6、率 ,若 P(C)=0.5，P(D)=0.4，则 =（ ）。（分数：1.00）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.720.已知 P(A)=0.4，P（B)=0.25，P（A-B)=0.25，则 P（AB）=( )。（分数：1.00）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.6521.同时投掷 2 个骰子，以 A 表示事件“掷出的 2 个面的点数之和是 6”，以 B 表示事件 “掷出的 2 个面的点数之和是 7”，则（ ）。（分数：1.00）A.事件 A、B 独立B.事件 A、B 概率相等C.P(A)P(B)D.P(A)P(B)22.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 0.5,期望分别为 2 与
7、 3,标准差分别为 1 与 2,则 随机变量的期望为（ ）。（分数：1.00）A.6B.7C.8D.923.甲乙两人独立对同一个目标各射击一次，命中率分别是 0. 6 和 0. 5，现已知目标被 射中，则该目标是甲射中的概率为（ ）。（分数：1.00）A.0.6B.5/11C.6/11D.0.7524.两个口袋中各有外观一致的球 3 个，分别标记号码-1，0, 1;从这两个口袋中随 机地各摸出一个球，摸出的两个球的号码分别记作 X 与 Y，则随机变量 Z 与随机变量函数 XY 的（ ）。（分数：1.00）A.分布不同B.期望不同C.方差相同D.中位数不同25.设 F1(X)与 F2(X)分别为
8、随机变量 X1与 X2的分布函数，为使 F(X)=aF1(X)-bF2(X)幻是某一随机变量的分布函数，应取（ ）。（分数：1.00）A.a =3/5, b= -2/5B.a =2/5, b =2/3C.a= -1/2，6=3/2D.a = 1/2, b= -3/226.设当事件 B 同时发生时，事件 C 必然发生，则有（ ）。（分数：1.00）A.B.C.D.27.设随机变量 x 和 y 独立同分布，分布列为 ，则下列各式中成立的是( )。（分数：1.00）A.X=YB.PX=Y=1C.PX=Y=0D.X=Y=1/228.若 A、B 为任意两个事件，且 ,则下列选项必成立的是（ ）。（分数：
9、1.00）A.P(A)P(A | B)B.P(A)P(A | B)C.P(A) P(A | B)D.P(A)P(A| B)29.设 A,B 是两事件，0 P(A)1，P(B)0，P（B 丨 A)= )则必有( )。（分数：1.00）A.B.C.D.30.将一枚硬币独立地掷两次，设 A1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正 面，A 3 =正、反各出现一次、A 4=正面出现两次,则( )。（分数：1.00）A.A1，A 2，A 3 相互独立B.A2，A 2，A 4相互独立C.A1，A 2，A 3两两独立D.A2，A 2，A 4两两独立31.设随机变量 X 的密度函数为 ( ).（分数：1.0
10、0）A.1B.1/ln2C.1/2D.ln232.设 xy 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 Fx(x)，F y(y)。则 Z=max(X，Y)的分布函数是( ) （分数：1.00）A.B.C.D.33. （分数：1.00）A.只与 m 有关B.只与 m, 有关C.D.34.设（X,Y）服从参数 的二元正态分布，则 X 与 Y 相互独立是 X 与 y 不相关的（ ）。（分数：1.00）A.无关条件B.充分条件C.必要条件D.充要条件35.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 不相关的充要条件是（ ）。（分数：1.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2) + E(X)
11、2 =E(Y2) + E(Y)2C.E(X2)=E(Y2)D.D(X) =D(Y)36.D（X） =4, D(y) =1，P xy=0.6,则 D(3X-2y) 的值为（ ）。（分数：1.00）A.40B.14C.25.6D.17.637.已知 X 服从二项分布，且 EX= 2.4, DX = 1.44,则二项分布的参数为（ ）。（分数：1.00）A.n=4,9=0.6B.n=6.9=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.138.设 X 是一随机变量，X 0为任意实数，EX 为 X 的数学期望，则有（ ）。（分数：1.00）A.E(X-X0)2=E(E-EX)2B.E(X-X0)2
12、E(E-EX) 2C.E(X-X0)2E(E-EX) 2D.E(X-X0)2=139.处于正态分布概率密度函数与横轴之间并且大于均值部分的面积为（ ）。（分数：1.00）A.大于 0.5B.-0.5C.1D.0.5二、多项选择题(总题数：5，分数：10.00)40.设 A、B 为任意两事件，则下列关系成立的有（ ）。（分数：2.00）A.B.C.D.E.41.常见的离散型分布有（ ）。（分数：2.00）A.二点分布B.二项分布C.均匀分布D.泊松分布E.超几何分布42.常见的连续型分布有（ ）。（分数：2.00）A.二项分布B.均匀分布C.泊松分布D.超几何分布E.正态分布43.概率密度曲线（
13、 ）。（分数：2.00）A.位于 X 轴的上方B.位于 X 轴的下方C.与 X 轴之间的面积为 0D.与 X 轴之间的面积为 1E.与 X 轴之间的面积为无穷大44.下列选项中正确的是（ ）。（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)+P(B)E.P(A|B)=P(A)/P(B)三、判断题(总题数：7，分数：7.00)45.若事件 A,B 满足 P(A) 0, P(B) 0,且相互独立，则 A,B定是互斥的。 ( )（分数：1.00）A.正确B.错误46.设随机变量 X 服从 ( )。（分数：1.00）A.正确B.错误47.概率的基本法则是，如果一个给定
14、事件的所有可能性都相同，那么某个特定结果出现的概率等于 1 除以所有可能性的个数。（ ）（分数：1.00）A.正确B.错误48.任意随机变量 X 的数学期望和方差都存在。（ )（分数：1.00）A.正确B.错误49.若两个独立随机变量 X 和 Y 均服从二项分布，而 X + Y 不一定服从二项分布。 ( )（分数：1.00）A.正确B.错误50.设 A、B 为两事件，并且 P(A) =P(B)=1/4,则 P(AB)=1/2.( )（分数：1.00）A.正确B.错误51.若在实际应用中所处理的变量并不是严格的连续型变量，则不能使用正态分布。( )（分数：1.00）A.正确B.错误四、简答题(总
15、题数：8，分数：40.00)52.事件 A 与 B 独立，B 与 C 独立，但 A+B 与 C 不一定独立，举例说明。（分数：5.00）_53.简述指数分布。（分数：5.00）_54.在测量一物体长度时，一般采用多次测量结果的平均值作为长度的估计值。试用重 复独立实验（随机变量序列）的数字特征给出合理的解释。（分数：5.00）_55.正态分布的概率密度函数 f(x)有两个参数 和 ,请结合函数 f(x)的几何形状说明 和 的意义。（分数：5.00）_56.如果有百分之五的人是左撇子，而小明和他弟弟都是左撇子；那么小明和他弟弟都 是左撇子这个事件的概率是不是 0.05 x0. 05 =0.002
16、5?为什么？（分数：5.00）_57.简述古典概率法和经验概率法如何定义事件发生的概率。（分数：5.00）_58.全概率公式与逆概率公式分别用于什么场合？（分数：5.00）_59.正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态 分布？（分数：5.00）_五、计算题(总题数：21，分数：204.00)60.一个信息从 a 传到 b,从 b 传到 c，再由 c 公布信息。每次一个人接收到一个信息后， 能将接收到的信息正确的传给下一个人的概率为 1/3(包括 c 最后公布信息的时候）。设 a 最初接收到的信息为 R，最后 c公布的信息也为 R，问 a 正确传递消息的概率。（
17、分数：5.00）_61.甲乙两个抽屉中各有 3 个白球、2 个黑球，从甲抽屉中取 1 个球放入乙抽屉中，再 从乙抽屉取 4 个球放入甲抽屉，Z 表示 4 个球中黑球的个数，求 X 的分布律？（分数：5.00）_62.随机变量 X、Y 独立同分布，X、Y 取-1，0, 1 的概率分别为 1/4, 1/2, 1/4。要求：（分数：15）(1) 求(x，y)的联合分布。（分数：5）_(2) U 与 X 是否独立，说明理由。（分数：5）_(3) 求 Z=X2+1 的分布函数。（分数：5）_63.设随机变量 X 具有概率密度 fx(x)(-x+)，求 Y=X2的概率密度 fy(y)。（分数：5.00）_
18、64.工厂生产的某种设备的寿命 X(以年计）服从指数分布，概率密度函数为为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换。若售出一台设 备，工厂获利 100元，而调换一台则损失 200 元，计算工厂出售一台设备获利的数学期望。（分数：5.00）_65.设随机变量的密度函数为：（分数：10）(1) 计算概率 P(0P(A | B)D.P(A)P(A| B)解析：29.设 A,B 是两事件，0 P(A)1，P(B)0，P（B 丨 A)= )则必有( )。（分数：1.00）A.B.C.D.解析：30.将一枚硬币独立地掷两次，设 A1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正 面，A 3
19、=正、反各出现一次、A 4=正面出现两次,则( )。（分数：1.00）A.A1，A 2，A 3 相互独立B.A2，A 2，A 4相互独立C.A1，A 2，A 3两两独立D.A2，A 2，A 4两两独立解析：由题意可得：31.设随机变量 X 的密度函数为 ( ).（分数：1.00）A.1B.1/ln2 C.1/2D.ln2解析：32.设 xy 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 Fx(x)，F y(y)。则 Z=max(X，Y)的分布函数是( ) （分数：1.00）A.B.C.D.解析：33. （分数：1.00）A.只与 m 有关 B.只与 m, 有关C.D.解析：34.设（X,Y）服从
20、参数 的二元正态分布，则 X 与 Y 相互独立是 X 与 y 不相关的（ ）。（分数：1.00）A.无关条件B.充分条件C.必要条件D.充要条件 解析：若 X 与 Y 是相互独立随机变量，则 X 与 Y 不相关，反之不然。但是在二维正态 分布场合，不相关与独立等价。35.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 不相关的充要条件是（ ）。（分数：1.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X2) + E(X)2 =E(Y2) + E(Y)2C.E(X2)=E(Y2)D.D(X) =D(Y) 解析：由于二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布， 故由正态变 量的线性变换不变性可知 也服从二
21、维正态分布，因此随机变量 。36.D（X） =4, D(y) =1，P xy=0.6,则 D(3X-2y) 的值为（ ）。（分数：1.00）A.40B.14C.25.6 D.17.6解析：37.已知 X 服从二项分布，且 EX= 2.4, DX = 1.44,则二项分布的参数为（ ）。（分数：1.00）A.n=4,9=0.6B.n=6.9=0.4 C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1解析：已知二项分布的期望为 EX=np=2.4,方差为 DX = npq = 1.44,所以 9=0.6,因 此求得 n =6，p =0. 4。38.设 X 是一随机变量，X 0为任意实数，EX 为 X
22、的数学期望，则有（ ）。（分数：1.00）A.E(X-X0)2=E(E-EX)2B.E(X-X0)2E(E-EX) 2C.E(X-X0)2E(E-EX) 2D.E(X-X0)2=1解析：39.处于正态分布概率密度函数与横轴之间并且大于均值部分的面积为（ ）。（分数：1.00）A.大于 0.5B.-0.5C.1D.0.5 解析：对于正态分布的概率分布函数，当 x0.5。题中大于均值的面积 S = 1 - F() =1-0. 5=0.5。二、多项选择题(总题数：5，分数：10.00)40.设 A、B 为任意两事件，则下列关系成立的有（ ）。（分数：2.00）A.B. C.D. E.解析：41.常见
23、的离散型分布有（ ）。（分数：2.00）A.二点分布 B.二项分布 C.均匀分布D.泊松分布 E.超几何分布 解析：随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。其中，如果随机变量 X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称 X 为离散型随机变量。如果随机变量 X 的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点，则称该随机变量为连 续型随机变量。二点分布、二项分布、泊松分布和超几何分布属于离散型分布；均匀分 布属于连续型分布。42.常见的连续型分布有（ ）。（分数：2.00）A.二项分布B.均匀分布 C.泊松分布D.超几何分布E.正态分布 解析：43.概率密度曲线（ ）。（分数
24、：2.00）A.位于 X 轴的上方 B.位于 X 轴的下方C.与 X 轴之间的面积为 0D.与 X 轴之间的面积为 1 E.与 X 轴之间的面积为无穷大解析：连续性随机变量的密度函数满足： 因此概率密度曲线位于 X 轴的上方并且与 X 轴之间的面积为 1。44.下列选项中正确的是（ ）。（分数：2.00）A. B. C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)+P(B)E.P(A|B)=P(A)/P(B)解析：当事件 A 和 B 相互独立时，才有 P(AB）=P(A)P(B);由于 P(AB)=P(A) + P(B)-P(AB);所以当 P(AB) =0 时，P（AUB)=P（A)
25、 P（B)才成立；P（A|B)= P（AB)/P（B），所以当 P(AB)=P(A)，即 时，才有 P（A|B)=P（A)/P（B） A 项考察的是全概率公式，B 项考察的是贝叶斯公式。三、判断题(总题数：7，分数：7.00)45.若事件 A,B 满足 P(A) 0, P(B) 0,且相互独立，则 A,B定是互斥的。 ( )（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：事件 A 与 B 相互独立表示 A(B)的发生与否对 B(A)发生的可能性不会产生任何 影响，但允许 A,B 两个事件同时发生；而 A 和 B 互斥是指 A,B 不能同时发生。题中，由 A,B 相互独立不能推出 A,B 一定是互斥的
26、。46.设随机变量 X 服从 ( )。（分数：1.00）A.正确 B.错误解析：由题可得：47.概率的基本法则是，如果一个给定事件的所有可能性都相同，那么某个特定结果出现的概率等于 1 除以所有可能性的个数。（ ）（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：概率的古典定义是，如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能 性相等，则某一事件 A 发生的概率为该事件所包含的基本事件数 m 与样本空间中所包含的 基本事件数 m 的比值。题目中并未说明给定事件的可能结果有限。48.任意随机变量 X 的数学期望和方差都存在。（ )（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：柯西分布的数学期望和方差都不
27、存在，其密度函数为49.若两个独立随机变量 X 和 Y 均服从二项分布，而 X + Y 不一定服从二项分布。 ( )（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：由二项分布的可加性知，两个服从二项分布的独立随机变量的和仍服从二项分布。50.设 A、B 为两事件，并且 P(A) =P(B)=1/4,则 P(AB)=1/2.( )（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：若 A 与 B 互不相容，则 P（AB）=P(A)+P(B)=1/2;若 A 与 B 相容，则 P（AB）=P(A)+P(B）-P(AB)=1/2-P(AB)1/2。故 P（AB）1/2。51.若在实际应用中所处理的变量并不是严格的连
28、续型变量，则不能使用正态分布。( )（分数：1.00）A.正确B.错误 解析：在实际应用中，如果所处理的变量并不是严格的连续型变量，则可以通过连续 校正，然后再使用正态分布。四、简答题(总题数：8，分数：40.00)52.事件 A 与 B 独立，B 与 C 独立，但 A+B 与 C 不一定独立，举例说明。（分数：5.00）_正确答案：(举例说明：将一枚均匀硬币独立地抛掷两次，设事件 A =第一次出现正面，事件 B=第二次出 现正面，事件C=正、反各出现一次，则即事件 A 与 B 独立，B 与 C 独立，但 A+B 与 C 不独立。)解析：53.简述指数分布。（分数：5.00）_正确答案：(（1
29、)指数分布的概念 如果随机变量 X 的概率密度函数为：则称 X 服从参数为 的指数分布，记作 。(2) 指数分布的期望值和方差如果随机变量 ，则 E(X)=1/ ,D(X)= 。(3) 指数分布的无记忆性如果随机变量 ，则对任意的 s0, t0,有指数分布有无记忆性，直观地讲就是，从原分布的任意一时刻开始的分布与原分布相 同。故又把指数分布称为“永远年轻”的分布。(4) 指数分布与泊松分布的联系如果某一事件在特定时间间隔内发生的次数服从泊松分布，则该事件先后两次发生之间 的时间间隔服从指数分布。)解析：54.在测量一物体长度时，一般采用多次测量结果的平均值作为长度的估计值。试用重 复独立实验（随机变量序列）的数字特征给出合理的解释。（分数：5.00）_正确答案：(由大数定理和中心极限定理可知，独立同分布的随机变量 X1，X 2,.,Xn 的算数平均 当 n 充分大时近似地服从均值为 ;方差为 的正态分布。因而，进行大量的重复独立实验下，序列 依概率收敛于 ,即 ,故可以用多次测量 结果的平均值作为物体长度的估计值。)解析：
