1、空间向量的数量积,根据功的计算,我们定义了平面向量的数量积.,类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算:,这种运算非常有用,它能解决有关垂直、长度和 角度等问题.,一、问题情境,1、两个向量的夹角:,（1）两个向量的夹角的取值范围是:,（2）,（3）,（4）,二、知识建构,2、两个向量的数量积,（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.,（2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,注意：,性质（1）是证明两向量垂直的依据；性质（2）是求向量的长度（模）的依据；性质（3）是求向量的夹角的依据,3、空间两个向量的数量积性质,（3）空间两个非零向量 的夹角 满足：,、空间向量的数量积满足的运算律,
2、思考：,吗？,(2)对于向量 ， 成立吗？,5、空间向量的数量积的坐标表示,问题2,令 , 可以得出怎样的结果?,模长公式,问题1,平面向量的数量积可以用坐标表示，空间向量的数量积能用坐标表示吗？怎样表示呢？,问题3,若 , 则能得出怎样的结论?,向量垂直充要条件的坐标表示,问题4,两空间向量夹角的余弦值能用坐标表示吗?,例1、已知空间向量 满足 试求:,变式 向量 求:,三、数学应用,变式1 空间四边形OABC中, 且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求 ,变式 已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB,例3、 已知m,n是平面内的两条相
3、交直线，直线 l 满足：lm，ln，求证：l.,解：由 ，可知 . 由 ，知 .,例5 已知在平行六面体 中， , 求对角线 的长,解：,例6 已知 、 ，求：（1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,例6 已知 、 ，求：（3）设O为坐标原点，求 的面积,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,例7 已知点A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ), C ( 0 , 0 , 1 ) , 求满足下列条件的点D的坐标:,(1) DBAC且DC
4、AB;,(2) DB AC , DC AB且AD=BC,变式 已知A ( 1 , -1 , ,7 ) , B ( 3 , -2 , 5 ), C ( 2 , -3 , 9 ) , 求:,三角形ABC的各边之长和各内角的大小,解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系 ，则：,例8 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值,变式,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,M,P,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是AD的中点，点P是C1B1的中点，求A1P与DQ所成角的余弦值,所求的余弦值
5、为 ,F,E,C,1,B,1,A,1,D,1,D,A,B,C,变式,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1、D1B1的一个中点，求证: EF与DA1互相垂直,1.已知线段 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离.,解：,四、巩固练习,2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于，点 分别是边 的中点 求证： ,同理，,3.已知空间四边形 ，求证： ,证明：,4.如图，已知正方体 ， 和 相交于 点 ，连结 ，求证： ,6.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,点 分别是 的中点，求下列向量的数量积：,16.已知三角形ABC是正三角形，PA与平面ABC垂直， 求PB与AC所成的角的大小,五、课堂小结,1、空间向量的数量积:,2、空间向量的数量积的应用.,(1)定义;,(2)性质;,(3)坐标表示.,(1)证明线线垂直;,(2)求线段的长;,(3)求线线夹角.,再见！,再见！,再见！,
