1、2013届北京市燕山区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D圆 答案： D 试题分析： A错 因为等边三角形只是轴对称图形 B错 因为直角三角形可能都不是 C错 因为平行四边形只是中心对称图形 考点：轴对称图形和中心对称图形 点评：难度小，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念，记忆圆两者都是便可迅速得出答案：。 如图（ 1）所示， E为矩形 ABCD的边 AD上一点，动点 P、 Q 同时从点 B出发，点 P沿折线 BEEDDC 运动到点 C时停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C时停止，它们
2、运动的速度都是 1cm/秒设 P、 Q 同时出发 t秒时， BPQ 的面积为 ycm2已知 y与 t的函数关系图象如图（ 2）（曲线 OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是 A AD BE 5 B cos ABE C当 0 t5时， D当 秒时， ABE QBP 答案： B 试题分析：根据图 (2)可知，当点 P到达点 E时点 Q 到达点 C， 点 P、 Q 的运动的速度都是 1cm/秒 BC=BE=5。 AD=BE=5。故结论 A正确。 又 从 M到 N 的变化是 2， ED=2 AE=ADED=52=3, 在 Rt ABE中， 所以 cos ABE 故结论 B错误。 过点 P作 PF B
3、C 于点 F， AD BC， AEB= PBF， sin PBF=sin AEB= PF=PBsin PBF= 当 0 t5时， 所以 C正确 当 时，点 P在 CD上， 此时， PD= -BE-ED= ， PQ=CD-PD=4- = , 又 A= Q=90， ABE QBP。故结论 D正确。 考点：动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。 点评：难度较大，关键在于掌握动点的变化规律。 已知 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）两点都在函数 y 的图象上，且 x1 x2 0，则下列结论正确的是 A y1 y2 0 B y1 y2 0 C y2
4、 y1 0 D y2 y1 0 答案： D 试题分析：函数 y 图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随 x的增大而减小 因为 x1 x2 0，所以在第三象限内，所以 y2 y1 0 考点：反比例函数的图像性质 点评：难度小，考查反比例函数图像的性质。 如图， 1 2，则下列各式中，不能说明 ABC ADE的是 A D B B E C C D 答案： D 试题分析： 1= 2又 D= B 根据一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似的判定定理得出 A选项正确。同理， B选项正确。 根据两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形
5、相似可知，当 1 2， 时， ABC ADE，所以 C正确，选 D。 考点：相似三角形的判定 点评：难度小，准确掌握几种判定相似三角形的定理是关键。 将抛物线 先向右平移 2个单位，再向上平移 1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的式是 A B C D 答案： A 试题分析：根据平移法则， 先向右平移 2个单位，得到 ，再向上平移 1个单位得到 ，选 A 考点：抛物线的平移 点评：难度小，中考常见的基础题目，考查图像的平移。 团支部王书记将 6本莫言作品分别放在 6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小李等 6位在读书活动中表现突出的员工这些奖品中 3本是红高粱家庭， 2本是蛙， 1本是生
6、死疲劳小李从中随机取一个礼盒，恰好取到蛙的概率是 A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，可能取到的总数是 6，取得科普读物的情况是 2，所以概率是 考点：概率 点评：难度小，概率的题目要找准两点，一是所有可能的总数，二是符合条件的情况，二者的比值即是所求。 已知 O1的半径为 2cm， O2的半径为 5cm，圆心距 O1O2 7cm，则 O1与 O2的位置关系是 A相交 B内切 C外切 D外离 答案： C 试题分析： 2+5=7 R=R1+R2 O1与 O2的位置关系是外切 考点：两圆之间的位置关系 点评：难度小，考查学生对圆的位置关系的理解。 如图，在 ABC中， C 90， BC
7、 2， AB 3，则 cosB的值为 A B C D 答案： A 试题分析：根据题意， 考点：锐角的三角函数的概念 点评：难度小，关键在于掌握三角函数的概念。 填空题 如图，在 ABC中， ACB 90o， B 30o， AC 1， AC 在直线 l上将 ABC在直线 l上顺时针滚动一周，滚动过程中，三个顶点 B， C， A依次落在 P1， P2， P3处，此时 AP3 ；按此规律继续旋转，直到得点 P2012，则AP2012 答案： ； 试题分析：在 ABC中， ACB 90o， B 30o， AC 1，根据勾股定理求得 ,AB= 所以， 按照规律，翻滚三次就回到原点， 将位置 的三角形绕点
8、 P1顺时针旋转到位置 ，可得到点 P2，此时将位置 的三角形绕点 P2顺时针旋转到位置 ，可得到点 P3，此时又 所以， 考点：规律题；旋转的性质 点评：难度中等，本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到 AP 的长度依次增加 2， 根号 3， 1，且三次一循环是解题的关键。 已知 O 的半径为 5， CD为 O 直径，弦 AB CD于点 E， AB 8，则线段 CE的长为 答案：或 8 试题分析：根据题意，设 CE的长为 x,则 DE=10-x 因为 CD为 O 直径，弦 AB CD于点 E， AB 8，所以 AE=BE=4 根据相交弦定理则 代入则 解得 x=2或 x=8 考点：相交
9、弦定理 点评：难度小，考查了学生对于圆的相交弦定理和其推论的掌握。属于中考题型，需加强训练。 如图， O 是 ABC的外接圆，点 A在优弧 BC 上， BOC 100，则 A的度数为 答案： 试题分析： BOC是圆 O 的圆心角， BAC是圆 O 的圆周角 在同圆中 ,同弧所对的圆周角等于二分之一的圆心角， BOC=100,所以 A=50 考点：圆心角和圆周角关系定理 点评：难度小，关键在于掌握在同圆或等圆中 ,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。 如图，在 ABC中，点 D、 E分别在边 AB、 AC 上， DE BC， AD 10，BD 5， AE 6，则 CE的长为 答案： 试题
10、分析：根据题意，因为在 ABC中，点 D、 E分别在边 AB、 AC 上，DE BC 所以 ADE ABC 所以 设 CE为 x 代入得到 求得 x=4 考点：相似三角形的性质 点评：难度小，利用两个三角形相似得到比例式，求出答案：。 解答题 如图，在平面直角坐标系中，直线 l： 交 y轴于点 A抛物线的图象过点 E（ -1， 0），并与直线 l相交于 A、 B两点 求抛物线的式； 设点 P是抛物线的对称轴上的一个动点，当 PAE的周长最小时，求点 P的坐标； 在 x轴上是否存在点 M，使得 MAB是直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）抛物线的式是： （
11、 2） P点坐标为（ ， ） （ 3）在 x轴上存在点 M，使得 MAB是直角三角形，满足条件的点 M的坐标是： M1(- ， 0)， M2( ， 0)， M3( ， 0)， M4( ， 0) 试题分析： 直线 l： 交 y轴于点 A(0， 2)， A（ 0， 2）、 E（ -1， 0）是抛物线 上的点， ，解得 抛物线的式是： = ， 对称轴为 x= ， 点 E（ -1， 0）关于 x= 的对称点为 F(4， 0) 如图 所示，联结 AF，与对称轴 x= 的交点即为所求 P点，由于 E、 F两点关于对称轴对称，则此时 PAE的周长 =PA+PE+AE = PA+PF+AE= AF+AE最小
12、设直线 AF 的式为 y=kx+2， 把 F（ 4， 0）代入，可得 4k+2=0，解得 k - ， 直线 AF 式为 y=- x 2 当 x= 时， y= ， P点坐标为（ ， ） 设在 x轴上存在点 M，使得 MAB是直角三角形， 若 BAM=900，此时点 M应在 x轴的负半轴上，如图 ， 设直线 l： 交 x轴于点 C，令 y=0，得 x=6， C（ 6， 0） 由 AM1 AB， OA OC，可证 AOC M1OA， AO=2， OC=6， ， OM1= ， M1(- ， 0) 若 ABM=90，此时点 M应在 x轴的正半轴上，如图 ， 点 B是直线 和抛物线 的交点， ，解得 ，或
13、 (舍 ) B( ， ) 解法一：设 M(m， 0)，过点 B作 BD x轴于点 D，则有 BDM CDB， BD= ， M2D= -m， CD=6- = ， ，解得 m= ， M2( ， 0) 解法二：过点 B作 BD x轴于点 D， BM2 AM1， BM2D= AM1O， tan AM1O 3， tan BM2D 3， M2D= OM2=OD-M2D= - = ， M2( ， 0) 若 AMB=90，则点 M是以 AB为直径的圆与 x轴的交点，此时点 M应在x轴的正半轴上，如图 ， 设 M(t， 0)，过点 B作 BD x轴于点 D，则有 AOM MDB， AO=2， MD= -t， O
14、M=t， BD= ， ，解得 ， M3( ， 0)， M4( ， 0) 综上所述，在 x轴上存在点 M，使得 MAB是直角三角形，满足条件的点 M的坐标是： M1(- ， 0)， M2( ， 0)， M3( ， 0)， M4( ， 0) 考点：二次函数综合题 点评：考查函数性质与坐标关系，探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质综合，中考常见压轴题目种类，难度较大。 如图， AB是 O 的直径，直线 AD与 O 相切于点 A，点 C在 O 上， DAC ACD，直线 DC 与 AB的延长线交于点 E AF ED于点 F，交 O于点 G 求证： DE是 O 的切线； 已知 O 的半径
15、是 6cm， EC 8cm， 求 GF 的长 答案：（ 1）证明：联结 OC AD是 O 的切线， OAD=90， OAC+ DAC=90 OA=OC， OAC= OCA DAC= ACD， OCA+ ACD=90，即 OCD=90， AD是 O 的切线 （ 2） GF=2.4cm 试题分析： 证明：联结 OC AD是 O 的切线， OAD=90， OAC+ DAC=90 OA=OC， OAC= OCA DAC= ACD， OCA+ ACD=90，即 OCD=90， AD是 O 的切线 联结 BG， OC=6cm， EC=8cm， 在 Rt CEO 中， OE= 10 cm AE=OE+OA=
16、16 cm AF ED， AFE= OCE=90， E= E Rt AEF Rt OEC ， AF= = =9.6 cm AB是 O 的直径， AGB=90， BG EF， ， AG= = =7.2 cm， GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4cm 考点：圆的综合题，圆的性质，相似三角形的判定 点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，主要考查学生能否运用性质进行推理和计算，难度中等。 如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中， AOB的顶点都在格点上，点 A、 B的坐标 分别为（ -4， 4）、（ -6， 2）请按要求完成下列各题： 把 AOB向上平移 4个单位后得到对应
17、的 A1OB1，则点 A1、 B1的坐标分别是 ； 将 AOB绕点 O 顺时针旋转 90，画出旋转后的 A2OB2，在旋转过程中线段 AO 所扫过的面积为 ； 点 P1， P2， P3， P4， P5是 AOB边上的 5个格点，画一个三角形，使它的三个顶点为 P1， P2， P3， P4， P5中的 3个格点并且与 AOB相似（要求：在图中联结相应线段，不用说明理由） 答案：（ 1） A1(-4， 8)、 B1(-6， 6) （ 2） 8 试题分析： 根据平移法则，向上平移，则 x轴坐标不变， y轴增加 4个单位， 即 A1(-4， 8)、 B1(-6， 6) 如图： 旋转 90度，则线段 A
18、O 所扫过的面积是扇形，圆周角为 90度，半径根据勾股定理得出半径 OA= ，所以根据面积公式得出 =8 如图 考点：图像的平移，扇形面积的计算，作图 -旋转变换 点评：难度系数中等。考查平面图形的平移和旋转，一条线段旋转 90度得到的图形的形状是扇形。 如图，某一次函数与反比例函数的图象相交于 A（ -2， -5）、 B（ 5， n）两点 (1) 求这两个函数的 式； (2) 联结 OA， OB求 AOB的面积 答案：（ 1） ， y x-3 （ 2） 试题分析：解： (1)设一次函数与反比例函数的式分别为 ， 反比例函数 的图象经过点 A-2， -5， m=(-2)(-5) 10 反比例函
19、数的式为 点 B5， n在反比例函数的图象上， 点 B的坐标为 5， 2 一次函数的图象经过点 A， B，将这两个点的坐标代入 ，得 解得 所求一次函数的式为 y x-3 (2) 设一次函数 y=x-3的图象交 x轴于点 C， C点坐标为 3， 0 OC 3 A点的纵坐标为 -5， B点的纵坐标为 2， S AOB = S AOC+ S BOC = OC |-5|+ OC 2 37 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 点评：难度系数中等，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法求得函数式，利用三角形面积的求法和坐标与图形的性质解答此题。 北京市初中毕业男生体育测试项目有三项，其中
20、 “1000米跑 ”和 “篮球往返运球 ”为必测项目，另一项是从 “引体向上 ”和 “掷实心球 ”中任选一项分别用 A，B代表 “引体向上 ”和 “掷实心球 ”甲、乙、丙三名同学各自随机从 A和 B中选择一个项目参加测试 请用画树状图的方法表示出所有可能出现的选择结果； 求甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目的概率 答案：（ 1） 画树状图得： 所有可能出现的选择结果有 8个，即： (A， A， A)、 (A， A， B)、 (A， B， A)、 (A， B， B)、 (B， A， A)、 (B， A， B)、 (B， B， A)、 (B， B， B) （ 2）甲、乙、丙三名同学选择同一个测试
21、项目概率为 试题分析： 画树状图得： 所有可能出现的选择结果有 8个，即： (A， A， A)、 (A， A， B)、 (A， B， A)、 (A， B， B)、 (B， A， A)、 (B， A， B)、 (B， B， A)、 (B， B， B) 共有 8种等可能的结果，而甲、乙、丙三名同学从 A和 B中选择同一个测试项目的结果有 2个，即 (A， A， A)和 (B， B， B)， P(甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目 )= = 考点：概率的求法与应用；树状图法求概率 点评：难度中等，考查利用树状图法求概率。 在矩形 ABCD中， AB 2， AD 3， P是边 BC 上的任意一点（
22、P与 B、 C不重 合），作 PE AP，交 CD于点 E 判断 ABP与 PCE是否相似，并说明理由； 联结 BD，若 PE BD，试求出此时 BP 的长 答案： ABP与 PCE相似 （ 2） BP= 试题分析：解： ABP与 PCE相似 理由如下： 矩形 ABCD， B C 90， BAP BPA 90， PE AP， CPE BPA 90， BAP CPE， Rt ABP Rt PCE 解法一：由 得 ABP PCE ，即 ， PE BD， ，即 ， ， AB CD 2， BC=AD 3， BP = 解法二：由 得 ABP PCE ， AB 2， AD 3，设 BP=x，则 PC=3-
23、x，代入上式得 = ， CE ， PE BD， ，即 ， 解得 = ，或 3(不合题意，舍去 )， 即 BP= 考点：相似三角形的判定；一元一次方程的解法 点评：难度小，主要考查是否掌握相似三角形的判定。 如图，直线 AE与以 AB为直径的 O 相切于点 A，点 C、 D在 O 上，并分别位于 AB的两侧， EAC 60 求 D的度数； 当 BC 4时，求劣弧 AC 的长 答案：（ 1） 60（ 2） 试题分析：解： AE是 O 的切线， BA AE，即 BAE=90 EAC 60， BAC=30 AB是 O 的直径， ACB=90 B= ACB- BAC=60 B与 D都是弧 AC 所对的圆
24、周角， D = B =60 联结 OC， OB=OC， B=60， OBC是等边三角形 OB=BC=4， BOC=60 AOC=120 劣弧 AC 的长 考点：圆的切线性质，圆周角，弧长公式 点评：难度中等，掌握圆的切线和圆周角的性质，利用弧长公式可以解出此题。 如图， A、 B两座城市相距 100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 AB）经测量，森林保护区中心 P点既在 A城市的北偏东 30的方向上，又在 B 城市的南偏东 45的方向上已知森林保护区的范围是以 P 为圆心，35千米为半径的圆形区域内请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明 （参考数据： 1
25、.732， 1.414） 答案：不会穿过森林保护区 试题分析：解：过 P作 PD AB于 D， 在 Rt PBD中， BDP 90， B 45， BD PD 在 Rt PAD中， ADP 90， A 30， AD PD， 由题意， AD BD AB 100，得 PD PD 100， PD 36.6 35， 故计划修筑的高速公路不会穿过保护区 考点：解直角三角形之方位角 点评：难度中等，构造直角三角形，利用解直角三角形的方法和三角函数值解答。 已知二次函数 的图象经过点（ 3， 0） 求 b的值； 求出该二次函数图象的顶点坐标； 在所给坐标系中画出该函数的图象（不要求列对应 数值表，但要求尽可能
26、画准确） 答案： 试题分析：解： 二次函数 的图象经过点（ 3， 0） 9 3b 3 0， b -4 该二次函数为 该二次函数图象的顶点坐标为（ 2， -1） 描点作图如下： 考点：二次函数的综合运用 点评：难度中等，利用待定系数法求得式中的系数，再运用二次函数的性质求出顶点坐标。 将一根长为 16 厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为 r和 R，面积分别为 S1和 S2 求 R与 r的数量关系式，并写出 r的取值范围； 记 S S1 S2，求 S关于 r的函数关系式，并求出 S的最小值 答案：（ 1） 0 r 8 （ 2） S=2(r-4)2+32，当 r=4厘米时
27、， S有最小值 32平方厘米 试题分析：解： 由题意，有 2r+2R=16， 则 r+R=8， r 0， R 0， 0 r 8 即 r与 R的关系式为 r+R=8， r的取值范围是 0 r 8厘米； r+R=8， r=8-R， S=r2+R2=r2+(8-r)2 =2r2-16r+64 =2(r-4)2+32 当 r=4厘米时， S有最小值 32平方厘米 考点：二次函数的应用 点评：难度中等，考查学生阅读题目和理解题目的能力，列出关系式，利用二次函数的性质解答该题。 如图，已知 ABC中， C 90，点 D在边 AC 上， BDC 45， BD10 ， AC 10 ，求 A的度数 答案： 试题
28、分析： 在 Rt BDC中， C 90， BDC 45， BD 10 ， BC BD sin BDC 10 10， 又 在 Rt ABC中， C 90， AC 10 ， tanA ， A是锐角， A 30 考点：解直角三角形；锐角三角函数的定义 点评：解直角三角形的基本类型题目，利用三角函数求值。 计算： cos245o tan60o sin60o-sin30o 答案： 试题分析：原式 - - 考点：锐角三角函数值 点评：难度小，考查学生对特殊角三角函数值的记忆。 在四边形 ABCD中，对角线 AC， BD交于点 O，点 P是在线段 BC 上任意一点（与点 B不重合）， BPE BCA， PE
29、交 BO 于点 E，过点 B作BF PE，垂足为 F，交 AC 于点 G 若 ABCD为正方形， 如图 ，当点 P与点 C重合时 BOG是否可由 POE通过某种图形变换得到？证明你的结论； 结合图 求 的值； 如图 ，若 ABCD为菱形，记 BCA ，请探究并直接写出 的值（用含 的式子表示） 答案：（ 1） BOG可由 POE绕点 O 顺时针旋转 90得到 （ 2） tan 试题分析： 解： BOG可由 POE绕点 O 顺时针旋转 90得到 证明：如图， 四边形 ABCD是正方形， P与 C重合， OB=OP， BOC= BOG=90 PF BG， PFB=90， GBO=90- BGO，
30、EPO=90- BGO， GBO= EPO， BOG POE OE=OG， 又 EOG=90， 将线段 OE绕点 O 顺时针旋转 90就得到 OG 又 OB=OP， POB=90， 将线段 OP绕点 O 顺时针旋转 90就得到 OB BOG可由 POE绕点 O 顺时针旋转 90得到 解法一：如图，作 PM/AC交 BG于 M，交 BO 于 N， PNE= BOC=90， BPN= OCB， OBC= OCB=45， NBP= NPB， NB=NP MBN=90- BMN， NPE=90- BMN， MBN= NPE， BMN PEN， BM=PE BPE= ACB， BPN= ACB， BPF
31、= MPF PF BM， BFP= MFP=90 又 PF=PF， BPF MPF， BF=MF ，即 BF= BM， BF= PE， 即 解法二：如图，作 CM/PF交 BG于 M，交 BO 于 N， ， 且 BPE= BCM， BPE= ACB， BCM= GCM， CM/PF， PF BG， CM BG， CMB= CMG=90 又 CM=CM， BCM GCM， BM=MG，即 BM= BG， 又由 得， BG=CN 如图，过点 P作 PM AC，交 BG于 M，交 BO 于 N BAC= BPM=,又 BPE BCA， MPF= BPF,又 PF BG,PF=PF BPF MPF MF=BF 四边形 ABCD是菱形，所以 AC BD MP AC, MP BD MNB= ENP NEP= FEB 又 FBE+ FEB=90= NPE+ NEP FBE= NPE BMN PEN BM=2BF,在 RT BNP中，又 BAC= BPM= =tan tan 考点：菱形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、三角函数、图形变换 点评：几何综合题，中考压轴题种类， 难度系数较大，考查学生对几何综合知识的掌握程度和分析、解决问题的能力。
