1、2011届云南省昆明市高三 5月适应性检测理科数学试题 选择题 复数 A B C D 答案： D 已知抛物线 ，直线 与 交于第一象限的两点 、 ，是 的焦点 . 若 ，则 A B C D 答案： D 若直线 与曲线 有三个交点，则 的取值范围是 A B C D 答案： D 矩形 中， ， ， 为 的中点， 是 边上一动点 . 当 取得最大时， 等于 A B C D 答案： C 若函数 的图像在点 处的切线为 ，则 轴与直线 、直线 围成的三角形的面积等于 A B C D 答案： D 三棱锥 中， ， 是等腰直角三角形，.若 为 中点，则 与平面 所成的角的大小等于 A B C D 答案： B
2、 若函数 的图象在 上恰有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围是 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： B 名男生和 名女生站成一排照相，男生甲不站在两端，且女生不相邻的站法共有 A B C D 答案： C ）若等腰梯形 中， ， ， ， ，则的值为 A B C D 答案： A 若关于 、 的不等式组 表示的平面区域为一个三角形及其内部，则 的取值范围是 A B C D 答案： B 已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 A B C D 答案： C 设 ， ， ，则 A B C D 答案： D 填空题 已知球 的半径为 ，圆 ， ， 为球 的三个小圆，其半径分别为 ， . 若三个小
3、圆所在的平面两两垂直且公共点为 ，则 . 答案： 在 中， ， . 若以 、 为焦点的双曲线经过点 ， 则该双曲线的离心率为 答案： 若 ，则 . 答案： 若 的展开式中第 6项为常数项，则 . 答案： 解答题 已知 的内角 、 的对边分别为 、 ， ， . （ ）求 ； （ ）若 ，求 的面积 . 答案：解：（ ）在 中， ， ， . 4 分 （ ）由 ，得 . 又 ， ， . 的面积为 . 10 分 如图，正三棱柱 中， ， 是侧棱 的中点 . （ ）证明： ； （ ）求二面角 的大小 . 答案：解：方法一： （ ）证明：设 是 的中点，连接 、 . 在正三棱柱中， ， 平面 ， 是 在面
4、 上的射影 . 易知 ， . 又 ， ， ， . 6 分 （ ）由（ ）知 平面 ，作 ，垂足为 ，连结 ， 则 为二面角 的平面角 . 不妨设 ，则 ， ， 在 中， ， . 12 分 方法二： （ ）在正三棱柱中，以 的中点 为原点，建立空间直角坐标系 如图 . 不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ， . 6 分 （ ）在空间直角坐标系 中， 易知平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 ， 易知 ， . 由 得 ，取 得 ， 二面角 的的大小为 12分 已知数列 的前 项和 （ ）证明：数列 是等差数列； （ ）若不等式 恒成立，求 的取值范围 . 答案：解：（ ）当 时， 得 . ，
5、 当 时， ，两式相减得 即 ， 所以 . 又 ， 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 . 6分 （ ）由（ ）知 ，即 . 因为 ， 所以不等式 等价于 . 因为 ，而 ， 所以 ， 故 ，即 . 故使不等式 成立的 的取值范围是 12 分 在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答 三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表： 当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束设一名选手能正确回答 的概率分别为 ，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题
6、的概率均为，且各个 问题回答正确与否互不影响 （ ）按照答题规则，求该选手 回答正确但所得奖金为零的概率； （ ）设该选手所获奖金总数为 ，求 的分布列与数学期望 答案：解： （ ） 记 “ 回答正确 回答错误 ”为事件 ； “ 、 回答正确 回答错误 ”为事件 ； “ 回答正确但所得奖金为零 ”为事件 ，事件 、 互斥，则 . 6 分 （ ） 的取值分别为 、 、 、 ， ， ， ， ， 的分布列为： （元） 12 分 已知 是椭圆 的右焦点，过点 且斜率为 的直线与 交于 、 两点， 是点 关于 轴的对称点 . （ ）证明：点 在直线 上； （ ）设 ，求 外接圆的方程 . 答案：解： （
7、 ）设直线： ， ， ， ， ， 由 得 . 又 ，则 . 所以 ， . 3 分 而 ， ， 所以 . 5 分 、 、 三点共线，即点 在直线 上 . 6 分 （ ）因为 ， ， 所以 = ， 又 ，解得 ，满足 . 9分 代入 ，知 ， 是方程 的两根， 根据对称性不妨设 ， ，即 ， ， . 1 0分 设 外接圆的方程为 ， 把 代入方程得 ， 即 外接圆的方程为 . 12 分 已知函数 . （ ）当 时，讨论 的单调性； （ ）若 时 恒成立，求 的取值范围 . 答案：解： （ ）当 时， ，其定义域为 . ， 2 分 函数 在 ， 为减函数，在 ， 为增函数 . 4分 （ ）解： （ 1）当 时， ，故 ， ， ，函数 在 增函数， 故 ，不合题意，所以 . 6 分 （ 2）若 ，此时 ， 当 时， ， 时， ， 故 在 为减函数，从而 恒成立 .8分 当 时， ， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 则在 上存在 ，使 ，故不符 合题意 . 当 时， ， . 函数 在 上单调递减，在 、 上单调递增， 则在 、 上存在 ，使 ，故不符合题意 . 综上， . 12 分
