1、2011届湖北省天门市高三天 5月模拟理科数学试题 选择题 设集合 M x | x2 3x 2 0，集合 N x | 4，则 M N为 A x | x-2 B x | x -1 C x | x -1 D x | x-2 答案： A 平面直角坐标系中，点集 M ，则点集 M所覆盖的平面图形的面积为 A B C D与 有关 答案： A 考点：参数方程化成普通方程；圆的标准方程 分析：欲求点集 M所覆盖的平面图形的面积，先看点 M的轨迹是什么图形才行，将 x， y的式子平方相加后即可得出 x2+y2=2+2sin（ -）再结合三角函数的有界性即可解决问题 解： 两式平方相加得： x2+y2=1+1+
2、2sincos-2cossin 即： x2+y2=2+2sin（ -） 由于 -1sin（ -） 1， 02+2sin（ -） 4， 随着 - 的变化，方程 x2+y2=2+2sin（ -）圆心在（ 0， 0），半径最大为 2的圆， 点集 M所覆盖的平面图形的面积为： 22=4 故选 A 若 0 ，则函数 y 的值域为 A (0， ) B (0， ) C ( ， ) D ( ， ) 答案： D 考点：正弦函数的定义域和值域 分析：化简函数 y= 为： ，即 ，根据 的范围，确定sin 的范围即可求得结果 解：函数 y= = = 因为 0 ，所以 sin （ 0， ） ( ， +) 故选 D 在
3、抛物线 y2 4x上有两点 A， B，点 F是抛物线的焦点， O为坐标原点，若 2 3 0，则直线 AB与 x轴的交点的横坐标为 A B 1 C 6 D 答案： D 平面直角坐标系中，点 (3， t)和 (2t， 4)分别在顶点为原点，始边为 x轴的非负半轴的角 ， 的终边上，则 t的值为 A 6 或 1 B 6或 1 C 6 D 1 答案： D 设 g(x)是函数 f(x) ln(x 1) 2x的导函数，若函数 g(x)按向量 a平移后得到函数 y ，则向量 a等于 A (1， 2) B (-1， -2) C (-2， -1) D (2， 1) 答案： A 已知数列 an满足 a1 1， a
4、n 1 (n N)，则 a2011等于 A 1 B C D 答案： A F1， F2是 的左、右焦点，点 P在椭圆上运动，则 的最大值是 A 4 B 5 C 2 D 1 答案： D 一个与球心距离为 1的平面截球所得截面的面积为 ，则球的体积为 A B C D 答案： D 考点：球的体积和表面积 分析：由截面面积为 ，可得截面圆半径为 1，再根据截面与球心的距离为 1，可得球的半径 ，进而结合有关的公式求出球的体积 解：因为截面面积为 ， 所以截面圆半径为 1， 又因为截面与球心的距离为 1， 所以球的半径 R= = ， 所以根据球的体积公式知 V 球 = = ， 故选 D 已知 x， y R
5、， i为虚数单位，且 (x-2)i-y 1 i，则 (1 i)x y的值为 A 4 B -4 C 4 4i D 2i 答案： D 填空题 已知函数 f(x) ax2 bx c(a0)，且 f(x) x无实根，下列命题中： （ 1）方程 f f (x) x一定无实根； （ 2）若 a 0，则不等式 f f (x) x对一切实数 x都成立； （ 3）若 a 0，则必存在实数 x0，使 f f (x0) x0； （ 4）若 a b c 0，则不等式 f f (x) x对一切 x都成立； 正确的序号有 答案：（ 1）（ 2）（ 4） 如图 C 90， AC BC， M， N分别为 BC和 AB的中点，
6、沿直线 MN将 BMN折起，使二面角 -MN-B为 60，则斜线 与平面 ABC所成角的正切值为 答案： 已知 O为 ABC的外心， AB 2， AC 1， BAC 120，设 a， b， 1a 2b，则 1 2 答案： 已知适合不等式 (x2-4x a) | x-3|5的 x的最大值为 3，则 a 答案： 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 答案： 解答题 已知 ABC的周长为 6，角 A， B， C所对的边 a， b， c成等比数列 （ 1）求角 B及边 b的最大值； （ 2）设 ABC的面积为 S，求 S 最大值 答案：解：（ 1） a b c 6， b2 ac， ， a c时取等号，
7、故 B有最大值 3 分 又 ，从而 b有最大值 2， 时取等号 6 分 （ 2） S acsinB b2sinB， 由（ 1）知 B ， b 2时它有最大值 8 分 -(b 3)2 27 ，即当 b 2时有最大值 11 分 的最大值为 12 分 某工厂 2010年第三季度生产的 A， B， C， D四种型号的产品产量用条形图形表示如图，现用分层抽样的方法从中选取 50件样品参加 2011年 4月份的一个展销会。 （ 1） A， B， C， D型号的产品各抽取多少件？ （ 2）从 50 件样品随机地抽取 2 件，求这 2 件产品恰好是不同型号产品的概率。 （ 3）从 A， C型号的样品中随机地抽
8、取 3件，用 表示抽取 A型号的产品件数，求 的分布列和数学期望 答案：解：（ 1）从条形图上可知，共生产产品有 50+100+150+200=500（件） 样品比为 = ， 所以 A， B， C， D四种型号的产品分别取 100=10， 200=20， 50=5， 150=15， 即样本中应抽取 A产品 10件， B产品 20件， C产品 5件， D产品 15件 4分 （ 2）从 50件产品中任取 2件共有 =1225种方法， 2件恰为同一产品的方法为 + + + =350种， 所以 2件恰好为不同型号的产品的概率为 8 分 （ 3） P(=0)= ， P(=1)= ， P(=2)= ， P
9、(=3)= ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P E= +2 +3 =212 分 如图，四棱锥 P-ABCD的底面为矩形，侧棱 PD垂直于底面， PD DC2BC， E为棱 PC上的点，且平面 BDE 平面 PBC （ 1）求证： E为 PC的中点； （ 2）求二面角 A-BD-E的大小 答案：解法一：（ 1）证明：如图，作 CF BE，垂足为 F， 由平面 BDE 平面 PBC， 则 CF 平面 BDE，知 CF DE 因为 PD 平面 ABCD， BC CD， CD为 DE在平面 ABCD内的射影， 所以 BC DE，所以 DE 平面 PBC 于是 DE PC，又 PD PC，所以 E
10、为 PC的中点 6 分 （ 2）作 EG DC，垂 足为 G，则 EG PD，从而 EG 平面 ABCD 作 GH BD，垂足为 H，连接 EH，则 BD EH， 故 EHG为二面角 A-BD-E的平面角的补角 9 分 不妨设 BC 1，则 PD DC 2， 在 Rt EGH中， EG PD 1， GH ， tan EHC 因此二面角 A-BD-E的大小为 -arctan 12 分 解法二：不妨设 BC 1，则 PD DC 2 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz， 则 D(0， 0， 0)， B(1， 2， 0)， C(0， 2， 0)， P(0， 0， 2) （ 1）证明：设 ，则 E
11、(0， ， ) 设 a (x1， y1， z1)为面 PBC的法向量， 则 a ， a ， 又 (1， 0， 0)， (0， -2， 2)， a x1 0， a -2y1 2z1 0， 取 a (0， 1， 1) 设 b (x2， y2， z2)为面 BDE的法向量， 则 b ， b ， 又 (1， 2， 0)， (0， ， )， b x2 2y2 0， b 0， 取 b ( ， ， 1) 平面 BDE 平面 PBC， a b 1 0， 1 所以 E为 PC的中点 6 分 （ 2）由（ ）知， b (2， -1， 1)为面 BDE的法向量， 又 c (0， 0， 1)为面 ADB的法向量， c
12、os ， 所以二面角 A-BD-E的大小为 -arccos 12 分 已知函数 f(x) x3 3ax-1的导函数 f (x)， g(x) f (x)-ax-3 （ 1）当 a -2时，求函数 f(x)的单调区间； （ 2）若对满足 -1a1的一切 a的值，都有 g(x) 0，求实数 x的取值范围； （ 3）若 x g (x) lnx 0对一切 x2恒成立，求实数 a的取值范围 答案：解：（ 1）当 a -2时， f (x) 3x2-6 令 f (x) 0 得 x ， 故当 x 或 x 时， f (x) 0 ， f(x) 单调递增； 当 x 时， f (x) 0， f(x) 单调递减 所以函数
13、 f(x)的单调递增区间为 (-， ， ， )， 单调递减区间为 ( ， ) 3 分 （ 2）解法一：因 3x2 3a， 故 g(x) 3x2-ax 3a-3 令 g(x) h(a) a(3-x) 3x2-3， 要使 h(a) 0对满足 -1a1的一切 a成立，则 0 x 7 分 解法二： f (x) 3x2 3a， 故 g(x) 3x2-ax 3a-3 由 g(x) 0可解得 x 因为 a2-36a 36在 -1， 1单调递减， 因此 h1(a)在 -1， 1 单调递增，故 h1(a)h1(1) 0 设 h2(a) ， 则 h2(a) ， 因为 1， 所以 h2(a) (1 a-18) 0，
14、 从而 h2(a) 在 -1， 1 单调递减， 故 h2(a)h2(1) 因此 h1(a)max x h2(a)min，即 0 x （ 3）因为 g(x) 6x-a，所以 x(6x-a) lnx 0， 即 a 6x h(x) 对于一切 x2恒成立 h(x) 6 ， 令 6x2 1-lnx ，则 12x- 因为 x2，所以 0， 故在 2， ) 单调递增，有 25-ln2 0 因此 h(x) 0，从而 h(x)h(2) 12 所以 a hmin(x) h(2) 12 12 分 如图，双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 x轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F垂直于 l1的直线分别交
15、l1， l2于 A， B两点又已知该双曲线的离心率 （ 1）求证： ， ， 依次成等差数列； （ 2）若 F( ， 0)，求直线 AB在双曲线上所截得的弦 CD的长度 答案：解：（ 1）由已知 e2 ，即 ，故 a2 c2， 从而 b2 c2-a2 c2， 故 ，设 AOF BOF ， 故 tan AOB tan2 ，即 令 3m(m 0) ，则 4m， 5m，满足 2 ， 所以， ， ， 依次成等差数列 （ 2）由已知 c2 5，代入 ， 得 a2 4， b2 1， 于是双曲线的方程为 设直线 AB的斜率为 k，则 k tan BFx tan AFO cot 2 于是直线 AB的议程为 y
16、2(x- ) 9 分 联立 消 y得 15x2- x 84 0 故弦 CD的长度 | CD | 13 分 已知数列 an，且 x 是函数 f(x) an-1x3-3(t 1)an-an 1 x 1(n2)的 一个极值点数列 an中 a1 t， a2 t2(t 0且 t1) （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）记 bn 2(1- )，当 t 2时，数列 bn的前 n项和为 Sn，求使 Sn 2010的n的最小值； （ 3）若 cn ，证明： ( n N) 答案：解：（ 1） f (x) 3an-1x2-3(t 1)an-an 1， 所以 f ( ) 3an-1t-3(t 1)an-an 1
17、 0 整理得： an 1-an t(an-an-1) 2 分 当 t 1时， an-an-1是常数列，得 ； 当 t1时 an-an-1是以 a2-a1 t2-t为首项， t为公比的等比数列， 所以 an-an-1 (t2-t) t n-2 (t-1) t n-1 方法一：由上式得 (an-an-1) (an-1-an-2) (a2-a1) (t-1)(tn-1 tn-2 t)， 即 an-a1 (t-1) tn-t， 所以 an tn(n2) 又，当 t 1时上式仍然成立，故 an tn(n N) 4 分 方法二：由上式得： an-tn an-1-tn-1， 所以 an-tn是常数列， an-tn a1-t 0 an tn(n2) 又，当 t 1时上式仍然成立，故 an tn(n N) （ 2）当 t 2， bn 2- Sn 2n-(1 ) 2n- 2n-2(1- ) 2n-2 2 由 Sn 2010，得 2n-2 2( )n 2010， n ( )n 1006， 当 n1005时， n ( )n 1006， 当 n1006时， n ( )n 1006， 因此 n的最小值为 1006 8 分 （ 3） cn 且 c1 ，所以 因为 ， 所以 从而原命题得证 14 分
