1、2011届黑龙江省牡丹江一中高三上学期期中考试文科数学卷 选择题 若集合 ， ，则 “ ”是 “ ”的 （ ） A 充分不必要条件 . B 必要不充分条件 . C 充要条件 . D 既不充分也不必要条件 . 答案： A 已知函数 ，对于满足 的任意 ，给出下列结论： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ， 其中正确结论的序号是（ ） A （ 1）（ 2） B （ 2）（ 3） C （ 3）（ 4） D （ 1）（ 4） 答案： B 已知 ,则 ( ) A -2008 B 2008 C 2010 D -2010 答案： A 已知函数 是定义在 R上的奇函数，且当 时不等成立， ，
2、 ，则 的大小关系是 （ ） A B C D 答案： C 已知定义在 R上的偶函数 ，满足 ，且当 时，则 的值为 ( ) A B C D 答案： C 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ） A 3 B 6 C -3 D 0 答案： C 设方程 和方程 的根分别为 ，若函数，则 （ ） A B C D 答案： B 函数 （ 且 ）在 内单调递增，则 的范围是（ ） A B C D 答案： B 下列命题中正确的是 （ ） “若 ，则 或 ”的逆命题； “若 ，则 不全为零 ”的否命题； “ ，使 ”的否定； “若 ，则 有实根 ”的逆否命题。 A B C D 答案： D 函数 零点的个数为（
3、） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： D 已知数列 满足 ，且 ，则的值是 （ ） A 5 B C D 答案： C 已知 ， ，则下列关系式中正确的是 ( ) A B C D 答案： D 填空题 已知函数 的导函数 ，且 ，如果，则 a的范围 答案： 已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得，则 的最小值为 答案： 已知函数 为奇函数，设 ， 则 答案： 设 为等差数列 的前 项和，且 ， ，则答案： -2011 解答题 （选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，曲线 ： 与曲线 交于 A、 B两点。 （ 1）证明：
4、OA OB ； （ 2）求弦长 |AB|。 答案： （ 1） OA OB，证明略。 （ 2） （ 1） 证明：曲线 的直角坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程 ，设， ，将这两个方程联立，消去 得,. (2) 。 （本小题满分 10分）（选修 4-1：几何证明选讲） 如图： 是内接于 O， AB=AC，直线 MN 切 O 于点 C，弦 BD/MN，AC 与 BD相交于点 E。 （ 1）求证： ； （ 2）若 AB=6， BC=4，求 AE。 答案： （ 1） ，证明略。 （ 2） 解：（ I）在 ABC和 ACD中， AB=AC ABC= ACD （ 2分） 又 BAE= EDC BD/MN ED
5、C= DCN 直线是圆的切线 DCN= CAD BAE= CAD ABE ACD（ SAS） (5 分 ) （ II） EBC= BCM BCM= BDC EBC= BDC= BAC BC=CD=4 又 BEC= BAC+ ABE= EBC+ ABE= ABC= ACB BC=BE=4 （ 7分） 设 AE=x. 易证 ABE DEC 又 AE EC=BE ED EC=6-x (10 分 ) （本小题满分 12分）已知函数 ， . （ 1）若函数 是单调递增函数，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，两曲线 有公共点 P，设曲线 在 P处的切线分别为 ，若切线 与 轴围成一个等腰三角形，求 P
6、点坐标和的值； （ 3）当 时，讨论关于 的方程 的根的个数。 答案： （ 1） （ 2） 或 （ 3） 2个实根 （ 1）解： ，因为 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立，当 时， （当且仅当 时取 =） 所以 ，从而有 ，即 。 （ 2）设 ，切线 的倾斜角分别为 ，斜率分别为 ，则 ， 由切线 与 轴围成一个等腰三角形，且均为正数，知该三角形为钝角三角形， ， 或或 ，又 或 ，从而 或 或 （ 3）令 ，则 由 得 当 时， 在（ 0， 上递增；当 时，在（ ）上递减， ，又当 时， ；当 时， 。 而 ，所以当时， 当 时， ， 在（ 0， 上递减，在（ ）上递增，所以 = 。 当
7、 时，即 时，方程无实根；当 = 时，即 时，方程有一个实根； 当 时，即 时，方程有 2个实根。 （本小题满分 12分）设 A、 B分别是 轴， 轴上的动点， P在直线 AB上，且 （ 1）求点 P的轨迹 E的方程； （ 2）已知 E上定点 K（ -2， 0）及动点 M、 N 满足 ，试证：直线MN 必过 轴上的定点。 答案： （ 1） （ 2）直线 MN 必过 轴上的定点，证明略。 （本小题满分 12分） （ 1）连续抛掷两枚正方体的骰子（它们的六个面分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5，6），记所得朝上的面的点数分别为 ，过坐标原点和点 P（ ）的直线的倾斜角为 ，求 的概率； （
8、2）若 ，且 ，过坐标原点和点 P（ ）的直线的斜率为 ，求 的概率。 答案： （ 1） （ 2） （本小题满分 12分）如图，已知三棱锥 ， ，为 中点， 为 中点，且 是正三角形， （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求三棱锥 的体积 答案： （ 1）平面 平面 ，证明略。 （ 2） （本小题满分 12分） 已知 是公比为 q的等比数列，且 成等差数列 . （ ）求 q的值； （ ）设 是以 2为首项， q为公差的等差数列，其前 n项和为 Sn，当 n2时，比较 Sn与 bn的大小，并说明理由。 答案： （ ） 或 （ ）当 时， 当 时， 当 时， 解：（ 1） 成等差数列， ， ， 或 ； （ 2）当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 。 （选修 4-5：不等式选讲） 关于 的不等式 ， （ 1）当 时，解上述不等式； （ 2）当 时，若上述不等式恒成立，求实数 的取值范围。 答案： （ 1） （ 2） （ 1）当 时，不等式为 或 ， 所以原不等式的解集为 。 （ 2）由 得原不等式为 恒成立，由绝对值的几何意义可得 因此 ，解得。
