1、2012-2013学年河北省正定中学高二第三次考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A B C D无法确定 答案： B 试题分析：依题意知所求概率为 考点：本小题主要考查随机事件概率的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求随机事件的概率时，分清事件的类型是解题的关键 . 已知 是椭圆 上的一点， 是该椭圆的两个焦点，若的内切圆半径为 ，则 的值为（ ） A B C D 0 答案： B 试题分析：因为 是椭圆 上的一点，所以 ,由于 的内切圆半径为 ，所以 , 而 , 而在 中，利用余弦定理可得, 两式结合可以求出 ，
2、所以 考点：本小题主要考查内切圆半径与三边的关系、椭圆上点的性质、椭圆中基本量之间的运算、三角形面积公式、同角三角函数的基本关系式和余弦定理的综合应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：本小题涉及到的知识点较多，要综合运用所学知识才能求解，难度较大 . 椭圆 和双曲线 的公共焦点为 、 , 是两曲线的一个交点，那么 的值是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：不妨设点 在第一象限，因为 在椭圆上，所以 ,因为 在双曲线上，所以 ，两式联立，得，又 ,根据余弦定理可以求得的值是 . 考点：本小题主要考查圆锥曲线定义的应用和余弦定理的应用，考查学生运用所学知
3、识解决问题的能力和转化能力及运算求解能力 . 点评：圆锥曲线的定义在解题时经常用到，要加以重视 . 如图所示的程序框图输出的结果是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：执行过程如下： 成立， 成立，成立， 成立， 不成立，退出循环，输出 考点：本小题主要考查程序框图的执行过程，考查学生根据程序框图运算求解的能力 . 点评：程序框图中含有循环结构时，要注意分清是直到型循环还是当型循环 . 已知点 ，则 的最大值为 ( ) A BC D 答案： C 试题分析：依题意画出可行域如图所示， ， 即 可以看成可行域内的点与 连线的斜率，很明显 当过点 时斜率最大，最大值为 . 考点：本小题主要考
4、查利用线性规划知识求最值和两点间斜率公式的应用，考查学生转化问题的能力和分析问题、解决问题的能力 . 点评：利用线性规划知识解题时，除了掌握常规的线性目标函数求最值的题目外，还要注意有的题目可以转化成两点连线的斜率或两点间的距离等 . 下面四个条件中，使 成立的必要而不充分的条件是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 能推出 ，但 推不出 ，所以 是成立的充分不必要条件条件； 推不出 ，但 能推出，所以 是 成立的必要不充分条件；同理可以判断 C,D都不正确 . 考点：本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断，考查学生的推理能力和思维的严谨性 . 点评：判断充分条件、必要
5、条件时，一定要分清谁是条件谁是结论 . 双曲线 上的点 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为（ ） A B C 2 D 21 答案： D 试题分析：设所曲线的左右焦点分别为 ，不妨设 ,根据所曲线的定义知 所以 或 ，而 ，所以应该舍去，所以它到另一个焦点的距离为 21. 考点：本小题主要考查所曲线定义的应用 . 点评：圆锥曲线的定义十分重要，应用也十分广泛，应该给予充分的重视 .另外本小题容易不舍 1，要注意双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 . 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 20 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何
6、体是一个有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以该几何体的体积为 . 考点：本小题主要考查由三视图还原几何体和三棱柱体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：求解的关键是根据三视图还原几何体 . 已知数列 的前 n项和 ，那么下述结论正确的是（ ） A k为任意实数时， 是等比数列 B k =-3时， 是等比数列 C k =-1时， 是等比数列 D 不可能等比数列 答案： B 试题分析：当等比数列的公比不为 1时，前 n项和为，即 的系数与常数项互为相反数，而，所以 k =-3时， 是等比数列 . 考点：本小题主要考查由数列的前 n项和公式判断数列的类型，考查学生分析问题、解决问题
7、的能力 . 点评：本小题也可以由前 n项和公式求 再判断，但是不如这样做简单，在学习的过程中，这种规律性的知识总结是必要的，可以简化运算过程 . 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10月 2日 9时至 14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 9时至 10时的销售额为 2.5万元，则11时至 12时的销售额为（ ） A 6万元 B 8万元 C 10万元 D 12万元 答案： C 试题分析：由频率分布直方图可知， 9时至 10时的销售额与 11时至 12时的销售额的比是 ，所以 11时至 12时的销售额为 万元 . 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用，考查学生读图、识图、用
8、图的能力 . 点评：应用频率分布直方图时一定要注意纵轴表示的是频率 /组距，而不是频率 . 下列命题中错误的是（ ） A垂直于同一个平面的两条直线互相平行 B垂直于同一条直线的两个平面互相平行 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D若平面 ，且 ，过 内任意一点作直线 ，则 答案： D 试题分析：注意到 D中作的直线 不一定在平面 内，而面面垂直的性质定理中强调的是在平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .根据线面、面面垂直的判定定理和性质定理可知其余三个选项都是正确的 . 考点：本小题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，考查学生的推理论证能力 .
9、 点评：利用这些定理推理论证时，一定要对定理中的条件分析清楚，少了其中的任何一条都可能得出处错误的答案： . 球的表面积与它的内接正方 体的表面积之比是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设球的半径为 ，则球的表面积为 ,而球的内接正方体的体对角线等于球的直径，所以正方体的棱长为 ，所以球的表面积和内接正方体的表面积之比为 考点：本小题主要考查球的表面积公式、正方体的表面积公式的应用和球与其内接正方体的关系，考查学生的空间想象能力 . 点评：正方体内接于球，则球的直径等于正方体的体对角线；若球内切于正方体，则球的直径等于正方体的棱长 . 填空题 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，记
10、 ，如果存在正整数 ，使得对一切正整数 ， 都成立，则 的最小值是_ 答案： 试题分析：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 ，得： ，所以 ，所以 ，所以 的最小值是 2. 考点：本小题主要考查等差数列中基本量的运算和前 项和的计算，以及恒成立问题的求值，考查学生的转化能力和求解能力 . 点评：等差数列是一类比较重要的数列，经常考到，而恒成立问题经常转化成求最值问题解决 . 设 是曲线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到轴的距离之和的最小值为 _ 答案： 试题分析：如图所示，点 到 轴的 距离等于点 到 的距离，所以点到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值为 考点：本小题主要考查抛
11、物线上点的性质，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ,这条性质经常用到，要灵活应用 . 一个圆锥的侧面展开图是半径为 R的圆的一半，则它的体积为 答案： 试题分析：依题意有该圆锥母线长为 R，则底面周长为 ，设圆锥底面圆的半径为 ，则 ，所以 ，所以该圆锥的高为 ，所以该圆锥的体积为 考点：本小题主要考查圆锥的母线、底面圆的半径、圆锥的高之间的关系和圆锥体积的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：对于圆锥而言，圆锥的母线、底面圆的半径、圆锥的高和侧面展开图之间的关系是应该重点掌握的内容，要准确掌握，灵活应用 . 椭圆 的焦距为 2，则
12、. 答案：或 5 试题分析：依题意有 ，椭圆 可化为标准方程： ，当焦点在 轴上时， ，同理可求当焦点在 轴上时，. 考点：本小题主要考查椭圆的标准方程、焦距、椭圆中基本量的关系等问题，考查学生分类讨论思想的应用和运算求解能力 . 点评：解决椭圆问题时，要注意 椭圆的焦点有可能在 轴上，也有可能在 轴上，要分情况讨论；另外焦距是 ，不要当成 以免计算错误 . 解答题 （本题满分 10分） 已知 是等差数列， 是各项为正数的等比数列，且 ， . （ ）求 和 通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）设 的公差为 ， 的公比为 ， 则 ， 解得 ，又
13、，所以 5 分 （ ） ， 所以 两式作差，整理得： . 10 分 考点：本小题主要考查等差数列和等比数列中基本量的计算，和错位相减法求数列的前 项和，考查学生的运算求解能力 . 点评：错位相减法是求数列的前 项和的重要方法，难在相减后的整理过程容易出错，要仔细整理 . （本小题 12分） 设 ABC的内角 A， B， C所对的边长分别为 a， b， c，且 （ ）求角 的大小； （ ）若角 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ） ， 即 3 分 则 ， ，因为 则 6 分 （ ）由（ 1）知 ，所以 ， ， 设 ，则 ，又 在 中由余弦定理得 8 分 即
14、 解得 故 12 分 考点：本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和两角和与差的三角函数以及三角形面积公式的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：一般在解答题中要综合应用正弦定理和余弦定理解三角形，还要用到三角函数中的关系式，要灵活选用公式或定理进行运算 . （本题满分 12分） 已知关于 x的二次函数 （ 1）设集合 和 ，从集合 中随机取一个数作为 ，从 中随机取一个数作为 ，求函数 在区间 上是增函数的概率； （ 2）设点 是区域 内的随机点，求函数 在区间上是增函数的概率。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） 函数 的图象的对称轴为 ， 要使
15、在区间 上为增函数， 当且仅当 且 ，即 . 2 分 若 则 ，若 则 若 则 ； 4 分 事件包含基本事件的个数是 . 所求事件的概率为 . 6 分 （ 2）由（ 1）知当且仅当 且 时， 函数 在区间 上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形部分，由 9 分 所求事件的概率为 12 分 考点：本小题主要考查利用古典概型、几何概型求概率，考查学生分析问题、转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：古典概型和几何概型是高考考查的重点，分清概率类型是前提条件，然后再套用公式求解即可 . （本小题 12分） 给定抛物线 ， 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与
16、相交于 、两点， 为坐标原点 . （ ）设 的斜率为 1，求以 为直径的圆的方程； （ ）设 ，求直线 的方程 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）解： 又 直线 的斜率为 1， 直线 的方程为： ，代入 ，得： ， 由根与系数的关系得： ，易得 中点即圆心的坐标为 ， 又 ， 所求的圆的方程为： . 4 分 （ ） 而 ， 直线 的斜率存在， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，代入 ，得： ， 由根与系数的关系得： ， ， 或 ， ， 直线 的方程为： . 12 分 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系和圆的标准方程的求解以及根与系数的关系，考查学生综合运用所学知识解决问
17、题的能力和运算求解能力 . 点评：直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容也是常考的内容，思路不难，但是运算量比较大，而且根与系数的关系经常用到，应该加强训练 . （本题满分 12分） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，在棱 上 （ I）当 时，求证 平面 （ II）当二面角 的大小为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ I）见（ II） 试题分析：（ ）在平行四边形 中， 由 ， ， ， 易知 ， 2 分 又 平面 ，所以 平面 , ， 在直角三角形 中，易得 ， 在直角三角形 中， ， ，又 ， ， 可得 . ， 5 分 又 ， 平面 6 分 （ ）由（ ）可知
18、, , ， 可知 为二面角 的平面角， ，此时 为 的中点 . 8 分 过 作 ,连结 ,则平面 平面 , 作 ,则 平面 ,连结 , 可得 为直线 与平面 所成的角 因为 , , 所以 . 10 分 在 中， ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 12 分 解法二：依题意易知 ， 平面 ACD以 A 为坐标原点， AC、 AD、SA分别为 轴建立空间直角坐标系，则易得， 相关试题 2012-2013学年河北省正定中学高二第三次考试数学试卷（带） （本题满分 12分） 在直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和等于 ，设点的轨迹为 。 （ 1）求曲线 的方程； （ 2）过点 作两条互相垂直
19、的直线 分别与曲线 交于 和 。 以线段 为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的 值，若不能说明理由； 求四边形 面积的取值范围。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）设 ， 由椭圆定义可知，点 的轨迹 是以 为焦点，长半轴为 的椭圆 它的短半轴 ， 故曲线 C的方程为 4 分 （ 2） 设直线 , ， 其坐标满足 消去 并整理得 ， 故 6 分 以线段 为直径的圆过能否过坐标原点，则 ，即 而 ， 于是 ， 化简得 ，所以 8 分 由 ， 将上式中的 换为 得 ， 由于 , 故四边形 的面积为 ， 10 分 令 ，则， 而 ，故 ，故 ， 当直线 或 的斜率有一个不存在时，另一个斜率为 ， 不难验证此时四边形 的面积为 ， 故四边形 面积的取值范围是 12 分 考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、弦长公式、二次函数求最值和向量垂直的坐标运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：线段 为直径的圆过坐标原点转化为 是解题的关键，弦长公式是解题时经常用到的公式，要熟练掌握，而且探究性问题在高考中经常考到，先假设存在，再求解即可 .
