1、2013-2014学年安徽池州第一中学高二上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题是真命题的有 ( ) “等边三角形的三个内角均为 60”的逆命题； “若 k 0，则方程 x2 2x-k 0有实根 ”的逆否命题； “全等三角形的面积相等 ”的否命题 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： C 试题分析：对于命题 ,其逆命题为 :三个内角均为 的三角形为等边三角形，显然是真命题；对于命题 ，当 时， ，所以原命题是真命题，因为原命题和其逆否命题真假性相同，所以其逆否命题是真命题；对于命题 ，其否命题是：不全等的三角形面积不相等，两个三角形即使不全等，其面积有可能相等，
2、所以是假命题真命题有 ，共有两个，故选 C 考点：本题考查的知识点是四种 命题的关系，及其真假性的关系，正确把握四种命题真假性的关系以及判断命题的真假性是解题的关键 若直线 和 O 相离 ,则过点 的直线与椭圆的交点个数为 ( ) A至多一个 B 2个 C 1个 D 0个 答案： B 试题分析：由题意可得， ，则 ，所以点 在以原点为圆心，以 2为半径的圆内的点，而椭圆的长半轴长为 3，短半轴长为 2，所以圆内切于椭圆，即点 在椭圆内，所以过点 的直线与椭圆一定相交，它们的公共点的个数为 2，故选 B 考点：本题要求学生掌握直线与圆的位置关系，会用点到直线的距 离公式化简求值，以及掌握椭圆的简
3、单性质，考查了数形结合的思想方法 已知 为两个不相等的非零实数，则方程 与 所表示的曲线可能是（ ） 答案： C 试题分析：直线 可化为 ，其斜率和纵截距分别为 ，曲线可化为 选项 A中，由直线所在位置可知，而曲线中，不符合；选项 B中，由直线所在位置可知， ，而曲线中 ，不符合；选项 C中，由直线所在位置可知，曲线中也有，符合；选 项 D中，由直线所在位置可知， ，而曲线中 ，不符合，故选 C 考点：本题考查的知识点是圆锥曲线的标准方程，以及直线的斜截式方程的掌握，重点是根据直线的方程和圆锥曲线的标准方程 过双曲线 左焦点 F1的弦 AB长为 6，则 （ F2为右焦点）的周长是（ ） A 2
4、8 B 22 C 14 D 12 答案： A 试题分析：由双曲线的定义可知， ， ,将这两个式子相加可得， ,因为 ,所以,此时 的周长为,故选 A 考点：本题考查的主要知识点是双曲线的定义的应用 若椭圆的短轴为 ,它的一个焦点为 ,则满足 为等边三角形的椭圆的离心率是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 为等边三角形可知，在直角三角形 中， ,且，所以其离心率 考点：本题考查的知识点是椭圆的离心率的定义，以及椭圆的几何性质 不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：不等式 可化为 ，其等价于 且 ，所以其解集为 考点：本题考查的知识点是分式不等式与整式不等式
5、之间的转化，以及一元二次不等式的解法 已知 ，则函数 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 2 D 3 答案： B 试题分析：设 ，则 ，当 时， ，因为函数在 上单调递减，所以当 时，函数取得最小值，最小值为 5 考点：本题考查的知识点是正弦函数的值域的求解方法，还考查了函数 的单调性的判断和值域的求解方法，本题的易错点在基本不等式的使用条件和等号能否成立的判断 命题甲：双曲线 C的方程为 - 1(其中 ；命题乙：双曲线 C的渐近线方程为 y x；那么甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若双曲线 C的方程为 - 1(
6、其中 ，渐近线方程为 y x；若双曲线 C的渐近线方程为 y x，则其对应的双曲线焦点可能在 轴，也可能在轴，对应两个不同的标准方程，所以甲是乙的充分不必要条件 考点 ：本题考查的知识点是双曲线的渐近线方程的求解方法，以及充分必要条件的关系 关于 的不等式 kx2-kx 1 0解集为 ，则 k的取值范围是 ( ) A (0， ) B 0， ) C 0,4) D (0,4) 答案： C 试题分析：当 时，符合题意；若 ，要使其解集为 ,只需要 ，则，综上， 的取值范围为 ，故选 C 考点：本题考查的知识点是含参数的一元二次不等式的解法 抛物线 的焦点坐标为 （ ） A B C D 答案： D 试
7、题分析：将抛物线 化为标准方程为 ，则 ，因为其焦点在 轴的正半轴，所以其焦点坐标为 考点：本题考查的知识点是抛物线的标准方程和焦点坐标的求解，其关键是将方程化为标准方程，再根据其焦点所在的坐标轴和焦点与方程的关系写出焦点坐标 填空题 给出下列命题： 若 ， ，则 ； 若 ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 其中真命题的序号是： _ 答案： 试题分析：对于 ,因为 ， ，则 ，所以成立；对于 ，因为，所以 成立；对于 ，若 ，则 ，所以不一定成立；对于 ，若 ， ， ，则不成立，故正确的有 考点：本题考查了对不等式的基本性质的掌握 设实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为_ 答
8、案： 试题分析： 满足的约束条件表示的平面区域如下图阴影部分所示 : 目标函数可化为 ，作出直线 ，将其平移，由上图可知，当把直线平移到经过点时，可使 取得最大值可解得点的坐标为 ，此时 取得最大值，最大值为 6 考点：本题主要考查了简单的线性规划问题，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题 不 等式 的解集为 _ 答案： 试题分析：因为 ,所以要使 ,只需 且 ,即且 ,所以原不等式的解集为 考点：本题考查了不等式的解法 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，焦点在直线 上，则该抛物线的方程为 _ 答案： 试题分析：因为抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，所以其焦
9、点在 轴上，又因为焦点又在直线 上，所以焦点是直线 与 轴的交点（ 4,0），则 ,抛物线的方程为 考点：本题考查抛物线的标准方程，确定抛物线的标准方程的类型及其焦点坐标是关键 命题 “存在 x R,2x0”的否定是 _ 答案： 试题分析：该命题为特称命题，其否定是一个全称命题，即其否定为： 考点：本题考查了特称命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定命题的格式和方法是解答的关键 解答题 已知 ， ， ，试比较 与 的大小 答案：详见 试题分析：比较两个数的大小，最常用的方法是作差比较法，即求出 的值，进行化简，分解因式，判断每个因式的正负即可判断出 和 的大小关系 试题 : ， 当 时， ，
10、所以 ； 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 考点：本题主要考查了不等式的基本性质，比较两个数大小的方法，以及分解因式的方法 已知命题 ：方程 表示的曲线为椭圆；命题 ：方程表示的曲线为双曲线；若 或 为真， 且 为假，求实数 的取值范围 答案： 试题分析：对于命题 ,方程 表示的曲线为椭圆 ,等价于 ；对于命题 ，方程 表示的曲线为双曲线，等价于 ，即；若若 或 为真， 且 为假，则命题 和 为一假一真，分类讨论即可得到 的取值范围 试题：若 真，则 ，得 ；若 真，则 ，得 ； 由题意知， 、 一真一假 若 真 假，则 ，得 ； 若 假 真，则 ，得 综上， . 考点：本题考查了圆锥曲
11、线的标准方程的掌握 ,以及对于复合命题真假性关系的判断 . 已知动圆经过点，且和直线 相切， （ 1）求动圆圆心的轨迹 C的方程； （ 2）已知曲线 C上一点 M，且 5，求 M点的坐标 答案： (1) ; (2) 试题分析：根据题意可知，动圆圆心到点 A的距离与到直线 的距离相等，所以动圆圆心的轨迹满足抛物线的定义，其轨迹为以 A为焦点，直线 为准线的抛物线；由抛物线的定义和几何性质可知，点 M到焦点的距离等于其到准线的距离，即可得到点 M的坐标 试题：（ 1）由题意，动圆圆心到点 A的距离与到直线 的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为 A为焦点，以 为准线的抛物线，其方程为 ； （ 2）设 M
12、的坐标为 ，由题意知 ，所以 ；代入抛物线方程得，所以 考点：本题主要考察了抛物线的定义和几何性质的应用 已知不等式 的解集为 . (1）求 的值； (2）解关于 不等式： . 答案：（ 1）；（ 2）若 ，原不等式的解集为 ；若 ，原不等式的解集为； 若 ，原不等式的解集为 试题分析：对于（ 1）可根据根与系数的关系来求解；对于（ 2），因为方程可化为 ，所以根据 和 的大小关系来分类讨论不等式的解集 试题：（ 1）由题意知方程 的两根为 ， 从而 解得； （ 2）由条件知 ，即 故若 ，原不等式的解集为 ； 若 ，原不等式的解集为 ； 若 ，原不等式的解集为 考点：本题考察了一元二次方程根
13、与系数的关系以及对一元二次不等式的解法，掌握一元二次方程的根与一元二次不等式的解 集的关系是解题的关键 某种汽车的购车费用是 10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 万元，年维修费用第一年是 万元，第二年是 万元，第三年是 万元， ，以后逐年递增 万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用 .设这种汽车使用 年的维修费用的和为 ，年平均费用为 . (1）求出函数 ， 的式； (2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？ 答案：（ 1）， ；（ 2） 时，年平均费用最小，最小值为 3万元 试题分析：根据题意可知，
14、汽车使用 年的维修费用的和为 ，而第一年的维修费用是 万元，以后逐年递增 万元，每一年的维修费用形成以 为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前 项和即可求出 的式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以 即可得到年平均费用 ，根据基本不等式即可求出平均费用的最小值 试题：（ 1）根据题意可知，汽车使用 年的维修费用的和为 ，而第一年的维修费用是 万元，以后逐年递增 万元，每一年的维修费用形成以 为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前 项和公式可得：因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为， 所以年平均费用为 ； （ 2）因为 所以当且仅当
15、即 时，年平均费用最小，最小值为 3万元 考点：本题考查了等差数列的前 项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考查了学生解决实际应用题的能力 矩形 的中心在坐标原点，边 与 轴平行， =8， =6. 分别是矩形四条边的中点， 是线段 的四等分点 , 是线段 的四等分点 .设直线 与 ,与 ,与 的交点依次为 . （ 1）求以 为长轴，以 为短轴的椭圆 Q的方程； （ 2）根据条件可判定点 都在（ 1）中的椭圆 Q上，请以点 L为例，给出证明（即证明点 L在椭圆 Q上） . （ 3）设线段 的 （ 等分点从左向右依次为 ，线段 的 等分点从上向下依次为 ，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆
16、 Q上？（写出结果即可，此问不要求证明） 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） 试题分析：根据长轴长 ,短轴长 ,可求出椭圆的方程；根据点 的坐标可写出直线 的方程，同理也可写出直线的方程，再求出它们的交点 的坐标，验证 在椭圆上即可得证；类比（ 2）的结论，即可得到直线与直线 的交点一定在椭圆 Q上 试题： 根据题意可知，椭圆的焦点在 轴上，可设其标准方程为 ， 因为长轴长 ,短轴长 ，所以 ， 所以所求的椭圆的标准方程为： 由题意知， 可得直线 的方程为 ，直线的方程为 ， 联立可解得其交点 ，将 的坐标代入椭圆方程 成立，即点 在椭圆上得证 另法：设直线 、交点 ， 由 三点共线得： 由 三点共线得： 相乘，整理可得 ，即 所以 L在椭圆上 （ 3）类比（ 2）的结论，即可得到直线 与直线的交点一定在椭圆 Q上 考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系
