1、2013-2014学年广东省湛江第一中学高二下学期中段考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 是纯虚数，则实数 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 是纯虚数可得 . 考点：纯虚数的概念 . 设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 y f(x)和 y f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 答案： D 试题分析：经检验， A：若曲线为原函数图像，先减后增，则其导函数先负后正，正确； B：若一直上升的图像为原函数图像，单调递增，则其导函数始终为正，正确； C：若下方的图像为原函数，单调递增，则其导函数始终为正，正确； D：若下方的函数为原函数，则由其
2、导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾，若上方的函数图像为原函数，则由其导函数可知，原函数应先减后增，矛盾，故选 D. 考点：导数的运用 . 函数 是减函数的区间为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，令 ，可得 ， f(x)的单调递减区间为 (0,2). 考点：导数的运用 . 函数 在 上最大值和最小值分别是 ( ) A 5 , -15 B 5,-4 C -4,-15 D 5,-16 答案： A 试题分析： ， f(x)在 0,2)上单调递减，在 (2,3上单调递增， ， . 考点：导数的运用 . 由数字 0， 1， 2， 3， 4可组成无重复数字的两位数的个数是 ( ） A
3、25 B 20 C 16 D 12 答案： C 试题分析：显然，如果两位数中包含 0，一共有 10， 20， 30， 30共四个，如果两位数中不包含 0，一共有 个两位数， 一共有 4+12=16哥两位数 . 考点：排列组合 . 曲线 上两点 ，若曲线上一点 处的切线恰好平行于弦 ，则点 的坐标为（ ） A (1,3） B (3,3） C (6,-12） D (2,4） 答案： B 试题分析：设 P的坐标为 ， 曲线在 P处的切线平行于弦 AB， . 考点：导数的运用 . 定积分 等于 ( ) A -6 B 6 C -3 D 3 答案： A 试题分析： . 考点：定积分的计算 . 分析法证明不
4、等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A必要条件 B充分条件 C充要条件 D必要条件或充分条件 答案： B 试题分析：分析法的本质就是执果索因，从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立 . 考点：分析法的概念 . 填空题 已知函数 f(x)的定义域为 -1,5,部分对应值如表 : x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示 : 下列关于 f(x)的命题 : 函数 f(x)是周期函数 ; 函数 f(x)在 0,2上是减函数 ; 如果当 x -1,t时 ,f(x)的最大值是 2,那么 t的最大值为 4; 当 1
5、a2时 ,函数 y=f(x)-a有 4个零点 ; 函数 y=f(x)-a的零点个数可能为 0, 1,2,3,4个 . 其中正确命题的序号是 . 答案： 试题分析：根据 的图像，可得 f(x)在 (-1,0)， (2,4)上单调递增，在 (0,2)，(4,5)上单调递减，因此可以画出如下三种 f(x)示意图的情况，结合示意图分析， ：显然错误，无法判定 f(x)是否为周期函数； ：正确； . ： f(x)在 -1,5上的最大值为 2， t的最大值为 5； ：由示意图易知交点个数为 4或 2， 错误； ：根据所画的示意图可知， 正确 . 考点：函数与导数综合 . 若 的展开式中第 3项与第 7项的
6、二项式系数相等，则该展开式中的系数为 _ 答案： 试题分析：根据二项式定理，展开式的第 r+1项为 ，又因为展开式中第 3项与第 7项的二项式系数相等， ， n=8，令n=2r=8-2r=-2， n=5， 的系数为 . 考点：二项式定理 . 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x， y)，则点 M取自阴影部分的概率为 _ 答案： 试题分析：阴影部分面积为 ， 所求概率为 . 考点：定积分计算曲边图形的面积，几何概型 . 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 . 答案： -2 试题分析： ， ，又因为在点（ 3， 2）处的切线与直线 ax+y+1=0垂直， . 考点：导数的运用 . 如图所
7、示的是由火柴杆拼成的一列图形，第 n个图形由 n个正方形组成， 通过观察可以发现第 4个图形中，火柴杆有 _根；第 n个图形中，火柴杆有 _根 答案：， 3n+1 试题分析：易得第四个图形中有 13根火柴帮，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒， 第 n个图形中的火柴棒为 4+3（ n-1） =3n+1. 考点：探索，归纳规律 . 设 为虚数单位，则 _. 答案： i 试题分析： . 考点： f复数的计算 . 解答题 现有 10名教师，其中男教师 6名，女教师 4名 (1)要从中选 2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2）现要从中选出 4名教师去参加会议，求男、女教师各选
8、2名的概率 . 答案：（ 1） 45；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据组合数的定义，将问题抽象为从 10个不同元素取出 2个组合数的数学模型；（ 2）根据古典概型，所求概率为，将分子，分母抽象为相应的数学模型，即可求出概率 . （ 1）从 10名教师中选 2名去参加会议的选法数，就是从 10个不同元素中取出2个元素的组合数，即 45(种 ) 5分； （ 2）从 10名教师中选 4名共有 种， 7分 从 6名男教师中选 2名的选法有 种，从 4名女教师中选 2名的选法有 种，根据分步乘法计数原理， 共有选法 90(种 ) 9分 所以男、女教师各选 2名的概率 11分 答：男、女教师各选 2名
9、的概率是 12分 . 考点： 1、排列组合； 2、古典概型计算概率 . 已知 a， b， c为正实数，且 a b c 1，求证： ( -1)( -1)( -1)8. 答案：详见 . 试题分析：由题中条件 a+b+c=1，可以将所证不等式的左边变形为关于 a， b， c的轮换对称式，从而可以利用基本不等式求证 . a b c 1，且 a， b， c为正实数 1分 . 考点：基本不等式 . 已知函数 （ 1）求函数 的单调增区间； （ 2）若 ，求函数 在 1,e上的最小值 . 答案：（ 1） 的单调递增区间为 ， 的单调递增区间为 ； （ 2） . 试题分析：（ 1）可求得 ，结合函数的定义域为
10、 ，需对 a的正负形进行分类讨论，从而得到 f(x)的单调区间；（ 2）根据（ 1）中得到的 f(x)的单调性，可得 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，因此 f(x)的最小值即为 . （ 1）由题意， 的定义域为 ，且 1分 的单调递增区间为 4分 当 时，令 ，得 ， 的单调递增区间为 7分 （ 2）由（ 1）可知， . 考点： 1、三角恒等变换； 2、三角函数的基本运算， 3、利用定积分求曲边图形的面积 . 已知数列 计算 由此推测出的计算公式，并用数学归纳法证明 . 答案： ,推测 ,证明过程详见 . 试题分析：计算 的值可以推出 ，利用数学归纳法可以证明，首先验证 n=1时，结论
11、成立，接下来假设 n=k( )时结论成立，即有，最后只需证明 n=k+1 时，结论也成立，利用 即可得证 . ， 推测 n=1时，左边 = ，右边 = ，左边 =右边，所以等式成立 6分 假设 n=k时等式成立，即有 ， 则当 n=k+1时，所以当 n=k+1时，等式也成立 13分 由 ， 可知，对一切 等式都成立 14分 . 考点：数学归纳法 . 湛江为建设国家卫生城市，现计划在相距 20 km的赤坎区（记为 A）霞山区（记为 B）两城区外以 AB为直径的半圆弧 上选择一点 C建造垃圾处理厂，其对市区的影响度与所选地 点到市区的距离有关，对 赤坎区和霞山区的总影响度为两市区的影响度之和，记
12、C点到赤坎区的距离为 x km，建在 C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为 4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为 k.当垃圾处理厂建在 的中点时，对两市区的总影响度为 0.065. (1)将 y表示成 x的函数； (2)讨论 (1)中函数的单调性，并判断 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城 B的总影响度最小？若存在，求出该点到赤坎区的距离；若 不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据条件中描述：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所
13、选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为 4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为 k，而 y表示建在 C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为 y，因此可设 ，根据题意当垃圾处理厂建在 的中点时，对两市区的总影响度为 0.065可求得 k的值；（ 2）由 (1)，可求得 ，进而可以得到 y的在 (0,20)上的单调性，从而求得 y的最小值 . (1)如图，由题意知 AC BC， AC x km，则 ， 2分 由题意知，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A和城 B的总影响度为 0.065，即当 时， y 0.065，代入 得 k 9.所以 y表示成 x的函数为 6分
14、； （ 2）由于 ， 8分 令 得 或 (舍去 )， 9分 当 时， ，即 ，此时函数为单调减函数；当时， ，即 ，此时函数为单调增函数 12分 所以当 时，即当 C点到赤坎区的距离为 时，函数有最小值 14分 . 考点： 1、具体情境下函数式的求解； 2、利用导数判断函数的单调性求最值 . 已知 A、 B、 C 是直线 l上不同的三点， O 是 l外一点， 向量 满足：记 y f(x) （ 1）求函数 y f(x)的式： （ 2）若对任意 不等式 恒成立，求实数 a的取值范围： （ 3）若关于 x的方程 f(x) 2x b在（ 0， 1上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值范围 答案：（ 1
15、） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）根据条件中 以及A,B,C三点共线可得 ，从而求得 y的式；（ 2）要使在 上恒成立，只需 ，通过求导判断 的单调性即可求得 在上的最大值，从而得到 a的取值范围；（ 3）题中方程等价于，因此要使方程有两个不同的实根，只需求得在 (0,1上的取值范围即可，通过求导判断单调性显然可以得到 在 (0,1上的取值情况 . （ 1）， 又 A,B,C 在同一直线上， ，则 ， 4分 （ 2） 5分 设 依题意知 在 上恒成立， h(x)在 上是增函数，要使不等式 成立，当且仅当 8分； （ 3）方程 即为 变形为令 ， 10分 列表写出 x， ， 在 0， 1上的变化情况： 相关试题 2013-2014学年广东省湛江第一中学高二下学期中段考理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编： 518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备 09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 x 0 (0， ) ( ， 1) 1 小于 0 取极小值 大于 0 ln2
