1、2013-2014学年河北省石家庄第二实验中学高一下学期期中考试数学卷（带解析） 选择题 若 a， b， c R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ） . A a cb-c B C 0 D 答案： D 试题分析： , , . 考点：不等式的性质 . 已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前 n项和 有最大值， 则使得 的 n的最大值为（ ） . A 11 B 19 C 20 D 21 答案： B 试题分析： 等差数列的前项 和有最大值， ；则;故选 B. 考点：等差数列 . 不等式组 表示的平面区域是一个（ ） . A三角形 B直角三角形 C梯形 D矩形 答案： C 试题分析：作出平面区域
2、如图，所以不等式组表示的区域是梯形 . 考点：不等式组与平面区域 . 在 ABC中，若 b 2 ,a 2，且三角形有解，则 A的取值范围是（ ） . A 0 A 30 B 0 A45 C 0 A 90 D 30 A 60 答案： B 试题分析： ,且三角形有两解； ，即 ，, . 考点：解三角形 . 下列结论正确的是（ ） . A当 x 0且 x1时， lgx 2 B当 x 0时， 2 C x2时， x 的最小值为 2 D当 0 x2时， x- 无最大值 答案： B 试题分析： A.当 且 时， ， 可能为负数； B. ；则 （当且仅当 ，即时取等号，故选 B. 考点：基本不等式 . 在 AB
3、C中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且 ，则 ABC是（ ） . （ A）直角三角形 （ B）锐角三角形 （ C）钝角三角形 （ D）等腰三角形 答案： A 试题分析： , ,即;由余弦定理得 ，化简得 ， 是直角三角形 . 考点：二倍角公式、余弦定理、勾股定理 . 若 ，则 的最小值为（ ） . A B C D 2 答案： B 试题分析： ， ， ，（当且仅当 ） . 考点：对数的运算、基本不等式 . 已知数列 是等比数列，且 ，那么 （ ） . A 5 B 10 C 15 D 20 答案： A 试题分析：由等比数列的性质 “ ”，得； 可化为 ，即；又 . 考点：等比数列
4、的性质 . 不等式 表示的平面区域（阴影部分）为 ( ). 答案： D 试题分析： 直线 过一、三象限， 排除 A,B;代入（ 1,0）点，得 ，表示的区域是直线 的右下方 . 考点：不等式表示的区域 . 如图，直线 经过二、三、四象限， 的倾斜角为 ，斜率为 k，则 （ ） . A B C D 答案： B 试题分析：因为直线过二、三、四象限，所以直线的倾斜角 为钝角，斜率； ，则 . 考点：直线的斜率、倾斜角 . 在等差数列 中， ，则 的值为（ ） . A 27 B 31 C 30 D 15 答案： D 试题分析：由等差数列的性质 “ ”，得，即 ， . 考点：等差数列的性质 . 已知一条
5、直线过点 (3， -2)与点 (-1， -2),则这条直线的倾斜角是（ ） . A B C D 答案： A 试题分析： 直线过点 与 ， 直线的斜率 ，则直线的倾斜角为 . 考点：直线的斜率、倾斜角 . 填空题 设 x， y满足约束条件 ，若目标函数 z ax by(a 0， b 0)的最大值为 12，则 的最小值为 _. 答案： 试题分析：作出可行域 (如图）， ， 当目标直线 过点A时 ,目标函数取得最大值 ,联立 ,得 即；则（当且仅当 ，即 时取等号） . 考点：线性规划、基本不等式 . 不等式 ax2+bx+2 0的解集是 ，则 a+b= _. 答案： -14 试题分析： 的解集为
6、， 的是的两根，则 ，解得 . 考点：三个 “二次 ”的关系 . 已知 -7， a1， a2， -1四个实数成等差数列， -4， b 1， b 2， b 3， - 1五个实数成等比数列，则 . 答案： -1 试题分析： 成等差数列， ；成等比数列，且 ，即 ，则 ；. 考点：等差数列、等比数列 . 不等式 的解集为 _. 答案： 试题分析： ， ，即 . 考点：分式不等式的解法 . 解答题 解关于 x的不等式 -( + ) + 0(其中 R). 答案：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 试题分析：解题思路：将 分解因式得 ，再讨论 1与的大小求解集 . 规律总结：解一元二
7、次不等式，要注意 “三个二次 ”的关系，即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系 . 注意点：解题中要注意讨论 1与 的大小 . 试题： ， 则当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 考点： 1.一元二次不等式的解法； 2.分类讨论思想 . 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 ，且， . （ 1）求的值；（ 2）求 ABC的面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：解题思路：（ 1）由 ，用正弦定理求 ;(2)由余弦定理求边 ，再用三角形面积公式求面积 .规律总结：解三角形要利用所给条件灵活选用定理或公式 . 试题：（ 1） ； ， （
8、2） ， ，即 ， ； 考点： 1.同角三角函数基本关系式； 2.正弦定理； 3.余弦定理 . 已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a2 1， S11 33 （ 1）求 an的通项公式； （ 2）设 ，求证：数列 bn是等比数列，并求其前 n项和 Tn 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：解题思路：（ 1）利用方程思想，用 表示 ,解得 ，即得通项公式；（ 2）利用 证明等比数列，用等比数列求和公式进行求和 .规律总结：等差数列、等比数列的已知量要注意利用方程思想，即 的方程组 . 试题：（ 1） ， ，解得 ， ， ； （ 2） ， ， 于是数列 是以 为首项， 为公比的等比数
9、列； 其前 项的和 考点： 1.等差数列； 2.等比数列 . 已知函数 f(x) x2 ax 1， f(x)在 x -3,1 上恒有 f(x) -3成立，求实数 a 的取值范围 . 答案： 试题分析：解题思路： 恒成立，即 ；利用数形结合讨论对称轴 与区间 的关系 .规律总结：涉及不等式恒成立问题，往往转化为求函数的最值问题；对于一元二次函数求最值，要运用数形结合思想 . 注意点：讨论对称轴 与区间 的关系时，要注意运用数形结合思想 . 试题： （ ）当 即 时，易知 在 上为增函数，则，得 ，此时 无解； （ ）当 即 时，则 ，得，此时 ； （ ）当 即 时，易知 在 上为减函数，则，得
10、，此时 ； 综上所述， 的取值范围为 . 考点： 1.不等式恒成立； 2.一元二次函数； 3.分类讨论思想 . 一农民有基本农田 2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季亩产量为 400公斤； 若种花生，则每季亩产量为 100 公斤 .但水稻成本较高，每季每亩 240 元，而花生只需 80元；且花生每公斤卖 5元，稻米每公斤卖 3元 .现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？ 答案：该农民种 亩水稻 , 亩花生时 ,能获得最大利润 ,最大利润为 1650元 . 试题分析：解题思路：设量，列出限制条件不等式与目标函数，作可行域，平移目标函数直线，寻找最优解；求最优解，回归实际问题
11、 .规律总结：解决线性规划应用题的步骤：（ 1）设有关量；（ 2）列出线性限制条件与目标函数；（ 3）作可行域，平移直线找最优解；（ 4）求 最优解：（ 5）作答 . 试题：设该农民种 亩水稻， 亩花生时，能获得利润 元则 即 即 作出可行域如图阴影部分所示， 作出基准直线 ，在可行域内平移直线 ，可知当直线过点 时，纵截距 有最大值， 由 解得 ， 故当 ， 时， 元， 答 :该农民种 亩水稻 , 亩花生时 ,能获得最大利润 ,最大利润为 1650元 . 考点：线性规划 . 给定数列 .对 ,该数列前 项的最大值记为 ,后项 的最小值记为 , . （ 1）设数列 为 3,4,7,1,写出 , , 的值 ; （ 2）设 ( )是公比大于 1的等比数列 ,且 .证明 : , ,是等比数列 . 答案：（ 1） ；（ 2） ，即证明是等比数列 . 试题分析：解题思路：（ 1）利用所给定义，依次求 即可（ 2）设法证明 即可 .规律总结：凡是新定义性题目，要阅读定义中的信息，与已学知识点相结合，使之转化为学过的知识是解决本类题目的关键 . 试题：（ 1） . （ 2）因为 ,公比 ,所以 是递增数列 . 因此 ,对 , , . 于是对 , . 因此 且 ( ),即 , , 是等比数列 . 考点： 1.新定义性题目； 2.等比数列 .
