1、2013-2014学年浙江绍兴一中高二第一学期期中测试文科数学试卷与答案(带解析) 选择题 直线 的倾斜角是( ) A B C D 答案: B 试题分析:直线 化成 ,可知 ,那么. 考点:直线的倾斜角与斜率 . 已知圆 的半径为 , 为该圆的两条切线 , 为两切点,那么的最小值为 ( ) A B C D 答案: D 试题分析:如图,设 , ,由圆的半径为 ,得到:,所以有:考点:基本不等式,向量数量积的结合应用 . 已知点 满足方程 ,则由点 向圆所作的切线长的最小值是( ) A B C D 答案: C 试题分析:已知圆 的圆心坐标为 ,圆的半径为,设切线长为 ,那么,当 时, 最小,最小值
2、为 ,所以切线长 的最小值是 . 考点:直线与圆的位置关系 . 在正方体 中, 是 的中点,则异面直线 与 所成的角的余弦值是 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:在正方体 中,设边长为 ,那么.又因为,那么异面直线 与 所成的角的余弦值为 . 考点:异面直线所成角 . 设 、 是两条不同直线, 、 是两个不同平面,则下列命题错误的是 ( ) A若 , ,则 B若 , , ,则 C若 , , ,则 D若 , ,则 答案: D 试题分析: 三个选项正确,在 选项中,平面 与平面 还可能相交 . 考点:空间中线与线的位置关系以及线与面的位置关系 . 已知 , ,若 , 且,则实数 分别为
3、 ( ) A B C D 答案: B 试题分析:由 ,可得到 ,从而 ,那么.由 得到 ,所以 .解得 . 考点:空间向量的坐标运算 . 在平面直角坐标系内,若圆 : 的圆心在第二象限内,则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:圆 : 化成标准方程为:,可知圆心坐标为 ,因为圆心在第二象限内,故,得到 . 考点:圆的方程 . 过点 且与直线 平行的直线方程是 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:与直线 平行的直线的斜率是 ,又所求直线经过点,根据点斜式可得: ,化简后可得 . 考点:直线与直线平行,直线的点斜式方程 . 在空间直角坐标系中,点 ,关于 轴对
4、称的点的坐标是 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:点 关于 轴对称的点 坐标不变, 坐标与 分别互为相反数 .故对称点为 . 考点:空间直角坐标系 . 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,其中正(主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是 答案: 试题分析:该几何体的表面积. 考点:三视图,空间几何体的表面积 . 填空题 已知四面体 中, ,且 两两互相垂直,点 是 的中心,将 绕直线 旋转一周,则在旋转过程中,直线 与直线 所成角的余弦值的最大值是 答案: 试题分析: ,要使得直线与直线 所成 角的余弦值的最大,那么 最大 . .因此直线
5、 与直线 所成角的余弦值的最大值为 . 考点:向量的数量积 . 已知圆 过直线 和圆 的交点,且原点在圆 上则圆 的方程为 答案: 试题分析:根据题意可设圆 的方程为: ,因为原点在圆 上,故 .所以所求圆的方程为 . 考点:直线与圆的位置关系,圆的标准方程 . 若圆 上有且仅有一个点到直线 的距离为,则半径 的值是 答案: 试题分析:圆心到直线的距离为 ,由于圆上只有一个点到直线的距离为 ,故半径 的值为 . 考点:直线与圆的位置关系 . 已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为 答案: 试题分析:设该球体的半径为 ,那么 ,解得: . 考点:球的体积与表面积公式 . 原点到直
6、线 的距离 答案: 试题分析:原点到直线 的距离 . 考点:点到直线的距离 . 解答题 正方体 的棱长为 ,线段 上有两个动点 ,且,则下列结论中错误的是 ( ) A B三棱锥 的体积为定值 C二面角 的大小为定值 D异面直线 所成角为定值 答案: D 试题分析:易知 ,所以 ;三棱锥 的高就是点到平面 的距离且为一定值, 为一定值,故三棱锥 的体积为定值;二面角 的平面角与二面角 的平面角相等,故为一定值 . 考点:线面垂直,线线垂直 . 光线从 点射出,到 轴上的 点后,被 轴反射,这时反射光线恰好过点 ,求 所在直线的方程及点 的坐标 答案:直线方程为: ; . 试题分析 :先求出点 关
7、于 轴的对称点 ,然后根据直线两点式方程求出 的直线方程为 . 试题:点 关于 轴的对称点 . 因为点 在直线 上, ,所以 的直线方程为: . 化简后得到 的直线方程为: . 考点:直线方程 . 如图,已知四棱锥 中,底面 是直角梯形, , , , 平面 , ( )求证: 平面 ; ( )求证: 平面 ; ( )若 是 的中点,求三棱锥 的体积 答案:证明过程详见试题 . 试题分析:( )要证明直线 与平面 平行,就是要证明直线 与平面 内一条直线平行,根据题意显然直线 满足要求 . ( )要证明平面 ,就是要证明直线 与平面 内两条相交直线垂直 .根据题意符合要求 .( )要求三棱锥 的体
8、积,就是要求出 的面积以及三棱锥 的高 . 试题:( )证明: ,且 平面 平面 ( )证明:在直角梯形 中,过 作 于点 ,则四边形为矩形 ,又 , ,在 Rt 中, , , ,则 , 又 平面 ( ) 是 中点, 到面 的距离是 到面 距离的一半 考点:线面平行,线面垂直,三棱锥体积 . 已知点 和圆 : ( )过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 ,求直线 的方程; ( )若 的面积 ,且 是圆 内部第一、二象限的整点(平面内横、纵坐标均为整数 的点称为整点),求出点 的坐标 答案:( )方程为: 或 ;( ) . 试题分析:( )当所求直线 的斜率不存在时,弦长为 ,不符合要求 .因此可
9、设直线 的斜率为 ,根据点斜式写出直线方程 ,求出圆心到直线的距离 ,再由勾股定理得到: ,解得;( )连结 ,求出圆与 轴的两个交点 .并连结 ,得到 ,因此要使 ,那么点 必在经过点且与直线 平行的直线上 .结合点 所在象限,可以求出 为 . 试题:( )当所求直线 的斜率不存在时,弦长为 ,不符合要求; 因此设直线 的斜率为 ,那么直线 的方程为: . 所以圆心到直线的距离 ,又因为半径 弦长为 . 所以 ,解得: . 所以所求直线方程为: 或 ; ( )连结 ,点 满足 , 过 作直线 的平行线 直线 的方程分别为: 设点 ( 且 ) 解 ,得: 且 ,在 上 对应的 . 满足条件的点
10、 存在,共有 2个,它们的坐标分别为: . 考点:直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系,直线方程 . 如图,已知四棱锥 ,底面 是平行四边形,点 在平面上的射影 在 边上,且 , ( )设 是 的中点,求异面直线 与 所成角的余弦值; ( )设点 在棱 上,且 求 的值 答案:( ) ;( ) . 试题分析:( )在平面 内,过 作 交 与 ,连接 ,则 或其补角即为异面直线 与 所成角然后在 中求出 与所成角的余弦值为 ;( )此问关键是要抓住 这一条件,结合题目所给条件建立 后进行求解 . 试题: ( )在平面 内,过 作 交 与 ,连接 ,则 或其补角即为异面直线 与 所成角 在 中,
11、, 由余弦定理得 , 故异面直线 与 所成角的余弦值为 ( )在平面 内,过 作 交 与 ,连接 , , , 又 ,故 ,故在平面 中可知 , 故 ,又 , 故 考点:线与线所成角;线面垂直 . 如图,圆 : ( )若圆 与 轴相切,求圆 的方程; ( )已知 ,圆 C与 轴相交于两点 (点 在点 的左侧)过点任作一条直线与圆 : 相交于两点 问:是否存在实数 ,使得 ?若存在,求出实数 的值,若不存在,请说明理由 答案:( ) ;( )存在 ,使得. 试题分析:( )由圆 与 轴相切,可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等 .故先将圆 的方程化成标准方程为: ,由 求得 .即可得到所求圆 的方程为:;( )先解出 两点的坐标,要使得,则可以得到: ,若设,那么有: ,结合直线与圆的方程去探讨可得存在 ,使得 . 试题:( )圆 : 化成标准方程为: , 若圆 与 轴相切,那么有: ,解得 ,故所求圆 的方程为:. ( )令 ,得 , 即 所以 假设存在实数 , 当直线 AB与 轴不垂直时,设直线 AB的方程为 , 代入 得, , 设 从而 因为 而 因为 ,所以 ,即 ,得 当直线 AB与 轴垂直时,也成立 故存在 ,使得 考点:直线与圆的位置关系 .