1、2013届云南省昆明市高三复习适应性检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ 是虚数单位）的虚部是（ ） A B C 1 D 答案： C 试题分析：将复数化成 , 形式 , 为虚部 .所以复数的虚部为 . 考点：复数的概念及运算 . 设 是定义在 上的偶函数， ，都有 ，且当时， ，若函数 在区间内恰有三个不同零点，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 因为 所以 ,又 ,所以 ,令 , 则 ,所以函数是 为周期的函数 ; 设 , 利用 , 在同一坐标系中画出函数 及函数 图象如下 : : 时 : : 时 : 上述两种情况都能使 在区间 内恰有三个不同零
2、点 . 故. 考点：指数函数和对数函数的性质和图象 ,函数的奇偶性和周期性 . 过双曲线 左焦点 斜率为 的直线 分别与 的两渐近线交于点 与 ，若 ，则 的渐近线的斜率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：如图 :双曲线左焦点 ,直线 的方程为 : ,两条渐近线方程为 : 解方程组得 又 所以 是中点 ,所以. 考点：双曲线性质 ,双曲线的渐进线 ,求两直线交点坐标 ,平面向量的几何意义 . 若函数 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ,所以函数图象切线的斜率 满足 :即 ,所以切线的倾斜角 的最小值为 . 考点：函数
3、导数的几何意义及导数运算 ,正切函数的单调性应用 . 三棱柱 中， 与 、 所成角均为 ， ，且，则 与 所成角的余弦值为（ ） A 1 B C D 答案： C 试题分析：将三棱柱上 ,下底面补成平行四边形 ,连 ,则多面体 为 平行六面体 ,连接 , 则 ,所以相交线与 所成的锐角或直角即为异面直线 所成的角 . 在 中，角 ，所以 ，即 ; 在平行四边形 中，角 ，所以 ; 在平行四边形 中，因为 ， 所以平行四边形 为矩形，又 ,所以 ，所以三角形 为直角三角形，. 考点：三棱柱 ,平行六面体的性质 ,异面直线成角的概念及求法 . 命题 ：若函数 在 上为减函数，则 ；命题： 是 为增函
4、数的必要不充分条件；命题 ： “ 为常数， ， ”的否定是 “ 为变量，”. 以上三个命题中，真命题的个数是（ ） A B C 1 D 答案： D 试题分析：命题 :函数 在区间 上是减函数 ,在区间 上为减函数 , 若函数在区间 上为减函数 ,则 ,所以命题 为假命题 ; 命题 ： 为增函数 , 为增函数,所以命题 是假命题 ; 命题 : 为常数是命题的总前提不能否定 ,所以命题 是假命题 . 考点：命题与逻辑 . 已知函数 ，若 为偶函数，则 的一个值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：函数 又函数 为偶函数 ,所以函数关于 轴对称 ,由函数 性质得函数 在时取得最大值或最小值
5、，即 ,亦即. 考点：三角函数图象与性质 ,三角函数两角和及倍角公式 ,偶函数概念及性质 . 设抛物线 ，直线 过抛物线 的焦点 ，且与 的对称轴垂直， 与 交于 两点， 为 的准线上一点，若 的面积为 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为直线 过焦点 且 轴 ,所以 的方程为 ,与抛物线方程联立求出 , ,所以 又点 在准线 上 ,所以三角形 边 上的高的长为 ,所以 . 考点：抛物线定义与性质；直线与抛物线间关系的运算 . 下列程序框图中，某班 50名学生，在一次数学考试中， 表示学号为 的学生的成绩，则（ ） A P表示成绩不高于 60分的人数； B Q 表示成绩低于
6、 80分的人数； C R表示成绩高于 80分的人数； D Q 表示成绩不低于 60分，且低于 80分人数 . 答案： D 试题分析：第一个判断框是判断第 个学生的成绩与 的关系 ,小于 关系为“是 ”计数为 ，大于等于 为 “否 ”，进入第二个判断框，判断第 个学生的成绩与 的关系，小于 大于等于 ， 关系为 “是 ”计 数为 ，大于等于 ，关系为 “否 ”计数为 ，所以选项 正确 . 考点：程序框图 . 已知等差数列 满足 ， ，则数列 的前 10项的和等于（ ） A 23 B 95 C 135 D 138 答案： B 试题分析： ,由 ， 得 : , ,解 得 , 代入 得 : . 考点：
7、等差数列通项公式及前 项和公式 . 把边长为 1的正方形 ABCD沿对角线 BD折起，连结 ，得到三棱锥 C-ABD，其正视图与俯视图为全等的等腰直角三角形，如图所示，则侧视图的面积为（ ） A B C D 1 答案： A 试题分析：由正视图和俯视图知三棱锥 底面 垂直于直立投射面 ,侧面 垂直于水平投射面 ,所以平面 平面 , 侧立投射面 , 取中点 ,则 平面 ,所以平面 平行于侧立投射面 ,所以侧视图为直角 ,其面积为 . 考点：三视图 . 对某班级 名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查，得到如下表所示： 数学成绩较好 数学成绩一般 合计 物理成绩较好 18 7 25 物理成绩一般 6
8、 19 25 合计 24 26 50 由 ，解得 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） （ A）在犯错误的概率不超过 的前提下，认为 “数学成绩与物理成绩有关 ” （ B）在犯错误的概率不超过 的前提下，认为 “数学成绩与物理成绩无关 ” （ C）有 的把握认为 “数学成绩与物理成绩有关 ” （ D）有 以上的把握认为 “数学成绩与物理成绩无关 ” 答案： A 试题分析：由 说明有 以上的把握认为 “数学成绩与物理成绩有关 ”,所以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为 “数学成绩与物理成绩有关 ”. 考点：独立性检验 ,卡方
9、及临界值 . 填空题 数列 的首项为 1，数列 为等比数列且 ，若 ，则. 答案： 试题分析： 考点：等比数列及等比中项的性质 . 某一部件由四个电子元件按如图方式连结而成，已知每个元件正常工作的概率为 ，且每个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为 . 答案： . 试题分析：部件正常工作分两类情况 “元件 ”正常且 “元件 ”正常 ,概率为 (说明 :此种情况下 “元件 ”, “元件 ”所有状态都符合条件，而此时的概率为) “元件 ”正常且 “元件 ”不正常 , “元件 ”正常且 “元件 ”正常 ,概率为，所以正常工作的概率为 . 考点：概率，分类讨论数学思想 . 在 展开式中
10、，不含 的项的系数和是 . 答案： 试题分析： ,由 ,所以 的系数为 ,又展开式的系数和为 ,所以不含 的系数和为. 考点：二项式展开式 . 设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 ，则 . 答案： 试题分析：在坐标系中画出符合条件的平面区域，因为目标函数的最大值是 ， 若 ， 的最大值为 ，即当 时目标函数只有过点 时， 为最大 ，不符合已知条件； 若 ，目标函数只有过点 时， 为最大，如果最大值是 只有目标函数过 时满足条件此时 . 考点：线性规划 . 解答题 在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 . （ ）求圆 的极坐标方程； （ ）若 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线交圆
11、 于 两点，求弦长 的取值范围 . 答案： . . . . 试题分析：（ ） 先建立圆的直角坐标方程 ,再化成极坐标方程 ,或直接建立极坐标方程 . （ ）直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长 ,再运用三角函数求范围 . 试题：（ ）【法一】 的直角坐标为 ， 圆 的直角坐标方程为 . 化为极坐 标方程是 . 【法二】设圆 上任意一点 ，则 如图可得， . 化简得 4分 （ ）将 代入圆 的直角坐标方程 ， 得 即 有 . 故 ， ， ， 即弦长 的取值范围是 10分 考点： 1.极坐标与直角坐标之间的互化 ;2.极坐标系下建立曲线方程 ;3.直线参数方程的应用 ;4.三角函数求值域 .
12、 如图， 是圆 的直径， 、 在圆 上， 、 的延长线交直线于点 、 ， 求证： （ ）直线 是圆 的切线； （ ） 答案： .见 . . . 试题分析：（ ）利用直径上圆周角为直角 ,及三角形相似求出.（ ）利用三角形相似 ,证明 ,方法一 :再由即可证明 .方法二 ;利用四点共圆 . 试题：（ ）连 ， 是圆 的直径， ， ， ， 又 ， ， ， 是圆 的半径， 直线 是圆 的切线 5分 （ ）方法一： ， ， 又 ， ， ， 10分 方法二： ， ， 又 ， ， 四点 、 、 、 四点共圆， 10分 考点： 1.三角形相似 ;2.圆的性质 . 设函数 （ ， 为常数） （ ）讨论 的单调
13、性； （ ）若 ，证明：当 时， . 答案： 见题 试题分析：（ ）求函数的导数 ,分类讨论二次函数的零点情况 ,确定导函数的正负取值区间 ,进一步确定原函数的单调性 . （ ）先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域 ,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间 ,故利用均值不等式进行放缩 , 后 ,函数 可以通过求导研究值域 ,且 恒成立是恒成立的充分条件 ,注意需要二次求导 . 试题：（ ） 的定义域为 ， ， （ 1）当 时， 解得 或 ； 解得 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； （ 2）当 时， 对 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
14、（ 3）当 时， 解得 或 ； 解得 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 . （ 6分） （ ）证明 :不等式等价于 因为 ， 所以 ， 因此 令 ， 则 令 得：当 时 ， 所以 在 上单调递减，从而 . 即 ， 在 上单调递减，得 : ， 当 时， . （ 12分） 考点： 1.函数导数的求法 ;2.导数的应用 ;3.均值不等式 ;4.放缩法 . 已知 是椭圆 的右焦点，圆与 轴交于 两点， 是椭圆 与圆 的一个交点，且. （ ）求椭圆 的离心率； （ ）过点 与圆 相切的直线 与 的另一交点为 ，且 的面积等于，求椭圆 的方程 . 答案： . . . 试题分析：（ ）利用圆及椭
15、圆方程求出点 的坐标 , 利用圆的几何性质及条件 ，计算出 ,再利用勾股定理建立 之间的方程 ,求出离心率 . （ ）由（ ）问中的离心率值化简椭圆方程 ,利用圆的切线性质确定直线 的斜率 ,写出直线方程 ,再与椭圆方程联立 ,求出 的底边长 及高 ,建立面积等式求出 . 试题：（ ）由题意， ， ， ， ， 得 ， 由 ， 得 ， 即椭圆 的离心率 （ 4分） （ ） 的离心率 ，令 ， ，则 直线 ，设 由 得 ， 又点 到直线 的距离 ， 的面积 ， 解得 故椭圆 （ 12分） 考点： 1.椭圆的定义 ;2.离心率 ;3.圆的几何性质 ;4.直线与椭圆位置关系 . 如图，四边形 是正方形
16、， ， ， ， （ ）求证：平面 平面 ； （ ）若 与 所成的角为 ，求二面角 的余弦值 答案： 见 试题分析：（ I）要证面面垂直 ,只要证明线面垂直 ,只要证明线线垂直 :即找到直线 （ II）由于 选取 为坐标原点建立空间直角坐标系 ,由于底面直角梯形只有上下底边的关系 ,直角腰边长 需要用成 角这个等式确定的 ,进一步计算出多面体顶点坐标 ,利用空间向量计算出两个平面的法向量 ,再求二面角的余弦值 . 试题：（ I） 平面 ，且 平面 ， ， 又 是正方形， ，而梯形 中 与 相交， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 4分 （ II） 平面 ，则 ， ， 又 ， ， ， 以点 为原
17、点， 依次为 轴，建立空间直角坐标系， 不妨设 ， . 则 ， ， ， ， 6分 ， ， 由 与 所成的角为 ， 得 解得 8分 ， ， 求得平面 的一个法向量是 ； 9分 ， ， 求得平面 的一个法向量是 ； 10分 则 ， 11分 故二面角 的余弦值为 12分 （其他做法参照给分） 考点： 1.线面位置关系垂直的判定与性质 ;2.空间向量 ;3.异面直线成角 ;4 二面角 . 某种报纸，进货商当天以每份进价 元从报社购进，以每份售价 元售出。若当天卖不完，剩余报纸报社以每份 元的价格回收。根据市场统计，得到这个季节的日销售量 （单位：份）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率。 （
18、）求频率分布直方图中 的值； （ ）若进货量为 （单位：份），当 时，求利润 的表达式； （ ）若当天进货量 ，求利润 的分布列和数学期望 （统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表） 答案： . . . . . . 试题分析：（ ）利用直方图中矩形面积和为 1,列出方程即可 . （ ）利润 销售份数 (销售价 进价 ) 剩余份数 （进价 回收价） . （ ）注意直方图中区间中点作为统计销售量 ,故有当天销售量可能为 三种情况 ,进一步计算利润 ,写出分布列即可求期望 . 试题：（ ） 由图可得： ， 解得 2分 （ ） ， 7分 （ ）若当天进货量 ，依题意销售量 可能值为 ， ，
19、 ；对应的 分别为： 100， 250， 400. 利润 的分布列为： 100 250 400 0.20 0.35 0.45 所以， （元） 12分 考点： 1.频率分布直方图 ;2.统计方法 ;3.期望 . 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， （ ）求 的大小； （ ）若 ，求 的周长的取值范围 . 答案： . . . . 试题分析： 运用正弦定理把边转化成角再求角 , 方法一 :利用第一问的结论及 的条件 ,只要找到 的取值范围即可 ,利用余弦定理建立 的关系式 ,再求 的取值范围 ,方法二 ,利用正弦定理建立 与角 的三角函数关系式 ,再利用 减少变元 ,求范围 . 试题：（ ）由条
20、件结合正弦定理得， 从而 ， ， 5分 （ ）法一：由已知： ， 由余弦定理得： （当且仅当 时等号成立） （ ，又 ， ， 从而 的周长的取值范围是 12分 法二：由正弦定理得： . ， ， . ，即 （当且仅当 时，等号成立） 从而 的周长的取值范围是 12分 考点： 1.正弦定理 ;2.余弦定理 ;3.两角和的正弦公式 ;3.均值不等式 . 设函数 . （ ）解不等式 ； （ ）若函数 的解集为 ，求实数 的取值范围 . 答案： . 试题分析：（ ）把绝对值函数写出分段函数 ,然后分别解不等式 . （ ）画出函数 的图象 ,由图象知过定点 的直线 的斜率满足函数 的解集为 . 试题：（ ） ，即解集为 5分 （ ） 如图， ， 故依题知， 即实数 的取值范围为 5分 考点： 1.绝对值不等式 ;2.数形结合数学思想 .
