1、2013届四川成都龙泉驿区 5月高三押题试卷与答案理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ( 是虚数单位 )，若 ，则 ( ) A 1 B -1 C 1 D 0 答案： C 试题分析：因为 ，所以 中的元素为实数所以 即 . 考点： 1.集合的运算； 2.复数的运算 . 若矩阵 满足下列条件： 每行中的四个数所构成的集合均为； 四列中至少有两列的上下两数是相同的则这样的不同矩阵的个数为（ ） A 48 B 72 C 168 D 312 答案： C 试题分析：若恰有两列的上下两数相同，取这两列有 种，从 1， 2， 3， 4中取 2个数排这两列，有 种，排另外两列有 种，所以共有 种；若
2、恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同，有 种 (只要排其中一行即可 ). 故一共有 种 . 考点： 1.分析问题解决问题的能力； 2.排列组合问题 . 已知抛物线 的方程为 ，过点 和点 的直线与抛物线没有公共点，则实数 的取值范围是（ ） A BC D 答案： D 试题分析：据已知可得直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，得 ，消元整理，得 ，由于直线与抛物线无公共点，即方程 无解，故有 ，解得 或 . 考点： 1.直线与抛物线的位置关系； 2.方程组的解法 . 如图所示，已知点 是 的重心，过 作直线与 ， 两边分别交于 ， 两点，且 ， ，则 的值为 ( ) A 3 BC
3、2 D答案： B 试题分析：本题采用特殊点法，因为过点 的直线有无数条，其中包含平行于底边 的直线，所以 的值不随 的位置变化而变化 ,利用等边三角形，过重心作平行于底边 的直线，易得 . 考点： 1.三角形的重心； 2.特殊值法 . 二项式 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ( ) A 180 B 90 C 45 D 360 答案： A 试题分析：因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以， ，令 ，则 ，. 考点： 1.二项式定理； 2.组合数的计算 . 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则等于 ( ) A 80 B 30 C 26 D 16
4、 答案： B 试题分析：设 ， ，由等比数列的性质知： ，解得 或 (舍去 )，同理 ，所以 . 考点：等比数列的性质 . 若如下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：据算法框图可得当 时， ； 时， .所以应填入 . 考点：算法框图 . 设 是定义在 R上的周期为 3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案： A 试题分析：由于 是定义在 上的周期为 3的周期函数，所以，而由图像可知， ，所以 . 考点： 1.函数的周期性； 2.函数图像 . 对于空间中的三条不同的直线，
5、有下列三个条件： 三条直线两两平行； 三条直线共点； 有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 试题分析： 中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面 中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面 中条件一定能推出三条直线共面故只有 是空间中三条不同的直线共面的充分条件 考点：空间中三条不同的直线的位置关系 . 为了了解某地区 10000名
6、高三男生的身体发育情况，抽查了该地区 100名年龄为 17 18岁的高三男生体重 (kg)，得到频率分布直方图如图根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在 56.5， 64.5的学生人数是 ( ) A 40 B 400 C 4000 D 4400 答案： C 试题分析：依题意得，该地区高三男生中体重在 的学生人数是. 考点：频率分布直方图 . 填空题 在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的值是 _ 答案： 试题分析：方法一 取 ，则 ，由余弦定理得，所以 ，在如图所示的等腰三角形 中，可得 ，又 ， ，所以 . 方法二 由 ，得 ，即 ， 所以 . 考点： 1.余弦定理； 2.商数关系
7、. 直线 与圆 相交于两点 ，若 ，则(O 为坐标原点 )等于 _ 答案： -7 试题分析：记 、 的夹角为 .依题意得，圆心 到直线的距离等于 ， ， . 考点： 1.直线与圆的位置关系； 2.点到直线的距离； 3.二倍角的余弦公式 . 已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形 是边长为 的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 _ . 答案： 试题分析：由俯视图可得，该正四面体 可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，该正方体的棱长为 2，正四面体的主视图为三角形，则其面积为 考点： 1.三视图； 2.三角形面积公式 . 已知 是由不等式组 所确定的平面区域，则圆 在区域内的弧长为 _ 答案
8、： 试题分析：作出可行域 及圆 如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求易知图中两直线的斜率分别是 ， 得， ， 得 得弧长( 为圆半径 ) 考点： 1.线性规划； 2.两角和的正切公式； 3.弧长公式 . 已知平面向量 ， ，且 ，则 _ 答案： 试题分析：由 ， ，且 ，得 ，从而 ，那么 考点：向量的平行 . 解答题 已知 ， (其中 )，函数，若直线 是函数 图象的一条对称轴 ( )试求 的值； ( )若函数 的图象是由 的图象的各点的横坐标伸长到原来的 2倍，然后再向左平移 个单位长度得到，求 的单调递增区间 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )利用倍角公式和
9、两角和的正弦公式化简式，根据函数的对称轴求 ； ( )根据图像平移得到 的式，再利用 的增区间求解 . 试题： ( ) . 2分 因为直线 为对称轴，所以 ， 所以 所以 4分 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 6分 ( )由 ( )得，得 ， 所以 . 8分 由 ，得 ， 10分 所以 的单调递增区间为 12分 考点： 1.倍角公式； 2.正弦函数的对称轴； 3.余弦函数的单调区间； 4.图像平移 . (本小题满分 12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，
10、第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按 相同的次序排成一排组成 . 第一排 明文字符 A B C D 密码字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 表示密码中不同数字的个数 ( )求 ； ( )求随机变量 的分布列和它的数学期望 答案： ( ) ； ( )分布列详见， . 试题分析： ( )分别求出分子分母中符合条件的情况种数； ( )利用排列组合知识分别求出符合题意的种数，求出每一种情况的概率，列出分布列再求期望 . 试题： ( )密码中不同数字的个
11、数为 2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第 1， 2列分别总是 1， 2，即只能取表格第 1， 2列中的数字作为密码 所以 . 4分 由题意可知， 的取值为 2， 3， 4三种情形 若 ，注意表格的第一排总含有数字 1，第二排总含有数字 2则密码中只可能取数字 1， 2， 3或 1， 2， 4. 所以 . 6分 . 8分 所以 的分布列为： 2 3 4 P 8分 所以 . 12分 考点： 1.概率； 2.分布列； 3.期望 . (本小题满分 12 分）等差数列 的各项均为正数， ，前 项和为 ，等比数列 中， ， ， 是公比为 64的等比数列 ( )求 与 ； ( )证明： . 答案：
12、 ( ) ， ； ( )详见 . 试题分析： ( )先用等差数列等比数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组，得到 和 ，再写出通项公式； ( )先用等差数列的求和公式求出 ，然后用裂项相消法求 ，再用放缩法比较大小 . 试题： ( )设 的公差为 ， 为正数， 的公比为 ，则 ， . 2分 依题意有 ， 由 知 为正有理数， 4分 又由 知， 为 6的因数 1， 2， 3， 6之一，解之得 ， . 故 ， . 6分 ( )证明：由 ( )知 ， 7分 . 12分 考点： 1.等差、等比数列的通项公式； 2.裂项相消法求和 . 如图，四棱锥 中， 底面 ，四边形 中， ， ， . ( )求证：
13、平面 平面 ； ( )设 () 若直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长； () 在线段 上是否存在一个点 ，使得点 到点 的距离都相等？说明理由 答案： ( )详见； ( ) ，不存在 点 . 试题分析： ( )先证明线面垂直 平面 ,再证明面面垂直平面 平面 ； ( )先建立直角坐标系，设平面 的法向量为 ，利用两向量垂直 ， ，列表达式，求出法向量，再由直线 与平面所成的角为 ，得出法向量中的参量；先设存在 点，找出 的坐标，利用距离相等，列出表达式，看方程是否有根来判断是否存在 点 . 试题：解法一： ( )证明：因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， ， 所以 平面 ，又 平面
14、， 所以平面 平面 . 3分 ( )以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图 ) 在平面 内，作 交 于点 ，则 . 在 中， ， . 设 ，则 ， 由 得 ， 所以 ， ， ， ， 5分 ()设平面 的法向量为 由 ， ，得 取 ，得平面 的一个法向量 又 ，故由直线 与平面 所成的角为 得 ，即 . 解得 或 (舍去，因为 )，所以 . 7分 ()假设在线段 上存在一个点 ，使得点 给定椭圆 ： ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆 的 “准圆 ”若椭圆 的一个焦点为 ，且其短轴上的一个端点到 的距离为 . ( )求椭圆 的方程和其 “准圆 ”方程； ( )点 是椭圆 的 “准圆 ”上的
15、一个动点，过动点 作直线 ，使得 与椭圆 都只有一个交点，试判断 是否垂直，并说明理由 答案： ( ) ， ； ( )垂直 . 试题分析： ( )利用焦点坐标求出 ，利用短轴上的一个端点到 的距离为 ，求出 ，解出 ， ，写出椭圆方程，通过得到的， 求出准圆的半径，直接写出准圆方程； ( )分情况讨论： 当中有一条直线的斜率不存在时， 当 的斜率都存在时 . 试题： ( )由题意可知 ， ，则 ， ， 所以椭圆方程为 . 2分 易知准圆半径为 ， 则准圆方程为 . 4分 ( ) 当 中有一条直线的斜率不存在时， 不妨设 的斜率不存在，因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 ， 当 的方程为 时
16、，此时 与准圆交于点 ， ， 此时经过点 或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ， 即 为 或 ，显然直线 垂直； 6分 同理可证直线 的方程为 时，直线 也垂直 7分 当 的斜率都存在时，设点 ，其中 . 设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ， 由 消去 ，得 . 由 化简整理得， . 因为 ， 所以有 . 10分 设直线 的斜率分别为 ，因为 与椭圆只有一个公共点， 所以 满足方程 ， 所以 ，即 垂直 12分 综合 知， 垂直 13分 考点： 1.椭圆方程； 2.分类讨论思想解题 . 已知函数 ， 为自然对数的底数） . ( )当 时 ,求 的单调区间； ( )若函数 在 上无零点
17、 ,求 最小值； ( )若对任意给定的 ,在 上总存在两个不同的 ),使成立 ,求 的取值范围 . 答案： ( ) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )将 代入 ，对 求导，令 和 分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间； ( )通过分析已知先得到 “对 ，恒成立 ”，下面求 在 上的最大值，所以，解出 的最小值； ( )先对 求导，判断出 上的单调性，并求出 的值域，再对 求导，确定单调性，画出简图，因为 ，得到 ，通过验证（ 2）是恒成立的，所以只需满足（ 3）即可，所以解出 的取值范围 . 试题： ( )当 时 , ( )，则 . 1分 由 得 ；由 得 . 3分 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 4分 ( )因为 在区间 上恒成立是不可能的 , 5分 故要使函数 在 上无零点 ,只要对任意 , 恒成立 . 即对 ， 恒成立 . 6分 令 ， ，则 ， 再令 ， ，则 . 故 在 为减函数，于是 ， 从而 ，于是 在 上为增函数， 所以 ， 8分 故要使 恒成立，只要 . 综上可知，若函数 在 上无零点，则 的最小值为 . 9分 ( ) ，所以 在 上递增，在 上递减 . 又 ， ， 所以函数 在 上的值域为 . &
