1、2013届福建南安一中高三上期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 =( ) A B C D 答案： C 试题分析： ，故选 C。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，直接按公式计算。 对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，则称区间为函数 的一个 “稳定区间 ”现有四个函数： ； ， 其中存在 “稳定区间 ”的函数有（ ） A B C D 答案： B 试题分析：稳定区间可以取各函数定义域和值域的交集的任意子集（闭区间）。 对于 ， ，则有 ，不符合定义； 对于 ， ，则有 ， a=-1,b=1即符合定义； 对于 ，取 ，则有 ，符合定义； 对于 ， ，则有 ，不符合定义；
2、综上知，答案：为 B。 考点：本题主要考查函数的单调性及零点，函数的概念。 点评：新定义问题，对考查学生的阅读能力、学习能力有较好的作用。关键是理解题意。 将直线 绕着其与 轴的交点逆时针旋转 得到直线 m，则 m与圆 截得弦长为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： l上点 M的坐标为 (2， 0)， l的倾斜角 的正切 tan =2。 逆时针旋转 45后，新的直线倾斜角 = +45。 则 k=tan =tan( +45)=-3，所以直线 md 方程为 y=-3(x-2)，即 3x+y-6=0。 （ 0， 0）到直线 m距离为 = ，所以由圆的弦长公 式得 m与圆截得弦长为，故选 D
3、。 考点：本题主要考查在直线的旋转，直线和圆的位置关系。 点评：小综合题，本题较全面的考查了直线的旋转，直线的倾斜角和斜率之间的关系，以及直线和圆的位置关系。圆中的 “特征三角形 ”应予足够关注。 已知当椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等比时称椭圆为 “黄金椭圆 ”，请用类比的性质定义 “黄金双曲线 ”，并求 “黄金双曲线 ”的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：即 2a,2b,2c成等比数列。所以 ， ，所以且 e1, 解得 e=，关系 D。 考点：本题主要考查双曲线的几何性质。 点评：简单题，在圆锥曲线问题中， a,b,c,e的关系，是常考点，它们的内再联系要牢 记。 要得到
4、函数 的图象，只需将函数 的图象 ( ) A左移 个单位 B右移 个单位 C右移 个单位 D左移 个单位 答案： C 试题分析：因为 ，所以只需将函数的图象右移 个单位即得函数 的图象，关系 C。 考点：本题主要考查三角函数图象的变换，诱导公式的应用。 点评：简单题，函数图象左右平移变换中，遵循 “左加右减 ”。 已知直线 A平面 ，直线 平面 ，则 “ ”是 “ ”的 （ ） A充要条件 B必要条件 C充分条件 D既不充分又不必要条件 答案： C 试题分析：因为直线 A平面 ，且 ，所以 mA平面 ，又直线平面 ，所以 ；反之，若直线 A平面 ，直线 平面 ， ，那么直线 m,l的关系可能平
5、行、异面、相交。即 “ ”是 “ ”的充分条件，故选 C。 考点：本题主要考查充要条件的概念，线面平行与垂直。 点评：简单题，理解充要条件的概念，掌握线面平行及垂直的有关结论。 设抛物线 上一点 P到 y轴的距离是 4，则点 P到该抛物线的焦点的距离是 ( ) A 6 B 4 C 8 D 12 答案： A 试题分析：由抛物线 知，点 P到 y轴的距离是 4，那么 P到抛物线准线距离为 6，又由抛物线定义 “到准线距离与到焦点距离相等 ”，所以点 P到该抛物线的焦点的距离是 6，故选 A。 考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质。 点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛
6、物线定义 “到准线距离与到焦点距离相等 ”。 等比数列的各项均为正数，且 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：首先 = ，所以从已知 出发，得到 ， = ， =-5，故选 B。 考点：本题主要考查等比数列的通项公式及其性质，对数函数的性质。 点评：典型题，从已知 出发，得到 ，利用= 加以计算，体现整体观。 下列函数中 ,既是偶函数 ,又在区间 内是增函数的为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据函数奇偶性定义知，只有 A ， B 是偶函数；再结合函数图象知 在区间 内是增函数，故选 B。 考点：本题主要考查函数的单调性、奇偶性。 点评：简单题，注意结合图象观察分析
7、。 在 中，若 , ， ，则 的面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据出三角形面积公式， = , 故选 A. 考点：本题主要考查三角形面积计算，三角函数同角关系。 点评：简单题，牢记公式，由 求 sinA. 若直线 与直线 垂直，则 的值是（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 1 答案： B 试题分析：直线的斜率乘积等于 -1，或根据 求解。由已知得=0，即 ，解得 m为 或 ，故选 B。 考点：本题主要考查两直线垂直关系。 点评：简单题，构建 m的方程，求 m。 已知 A ， B ，则 A B（ ） A 0, 1 B (2, ) C 0, 2 D 答案： D 试题分析：因
8、为 A= ，B= ，所以 A B = ，故选 D。 考点：本题主要考查函数的概念，集合的运算。 点评：小综合题，首先明确集合中元素特征，然后利用集合的运算求解。 填空题 如图都是由边长为 1的正方体叠成的几何体 ,例如第 (1)个几何体的表面积为 6个平方单位，第 (2)个几何体的表面积为 18个平方单位，第 (3)个几何体的表面积是 36个平方单位 .依此规律 ,则第 个几何体的表面积是 _个平方单位 . 答案： 试题分析： 1. 从上向下看，每层顶面的面个数为：第一层是 1，第二层是 2，第三层是 3 第五层是 5，共 5个面； 2. 左边和右边还有底面 的面积相等， 5层时为， 1+2+
9、3+4+5=15个面 3. 剩下最后 2个面了，这 2个面的特征就是都有 一个角，一个角有 3个面，一共有第一层 1个角，第二层 2角，第三层 3个角 第五层 5个角，共有 1+2+3+4+5=15个角 ,45个面； 4. 计算： 1层时 =6 2层时 =（ 1+2） 3 + （ 1+2） 3 = 9+9=18 3层时 =（ 1+2+3） 3 + （ 1+2+3） 3=18+18=36 第 n层时为（ 1+2+3+ +n） 3 + （ 1+2+3+ +n） 3 也就是 6（ 1+2+3+ +n） 所以当 n=5是，表面积为 615=90 故第 个几何体的表面积是 个平方单位 考点：本题主要考查
10、归纳推理，等差数列的求和。 点评：常见题，逐个考查，发现规律，大胆做出猜想。 点 是不等式组 表示的平面区域内一动点，定点 是坐标原点，则 的取值范围是 。 答案： 试题分析：满足约束条件 的平面区域 如下图所示： =, ， = 由图可知，当 x取 1,3内的值时， Z= 取得最小值 0 当 x=1， y=3 时 Z= 取得最大值 8，故答案：为： 0， 8 考点：本题主要考查简单线性规划，向量数 量积的坐标运算。 点评：简单题，首先画出可行域，根据 = ，研究 Z= 的最值。 已知 m0,n0,向量 ，且 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：因为 m0,n0,向量 ，且 ，所以 m+n=1，
11、 =（ m+n）（ ） =3+ ，故答案：为。 考点：本题主要考查向量的坐标运算，均值定理的应用。 点评：小综合题，向量作为工具，确定得到 m,n的关系，进一步应用均值定理求最小值。 如图所示一个空间几何体的三视图 (单位 )则该几何体的体积 为 _ 答案： 试题分析：由三视图复原几何体，是一个底面是直角梯形的椎体，一条侧棱垂直底面，高为 2， 这个几何体的体积 =4，故答案：为 4,。 考点：本题主要考查三视图的识别及几何体体积计算。 点评：简单题，还原几何体并认识其几何特征是解题的关键。 解答题 （本小题满分 12分） 在数列 中， 为常数， ，且 成公比不等 于 1的等比数列 . （ ）
12、求 的值； （ ）设，求数列的前 项和 答案：（ ） . （ ） 。 试题分析：（ ） 为常数， . 2分 . 又 成等比数列， ，解得 或 . 4分 当 时， 不合题意，舍去 . . 5分 （ ）由（ ）知， . 6分 9分 12分 考点：本题主要考查等比数列基础知识，数列的求和。 点评：典型题， “错位相减法 ”及 “裂项相消法 ”是求数列的前 n项和的常用方法，属于常考题目，本题解答首先确定数列的通项公式 是关键。 （本小题满分 12分）在几何体 ABCDE中， BAC= ， DC 平面 ABC， EB 平面ABC， F是 BC的中点， AB=AC=BE=2， CD=1 （ ）求证： D
13、C 平面 ABE； （ ）求证： AF 平面 BCDE； （ ）求证：平面 AFD 平面 AFE 答案： ( ) 先证 DC/EB，再推出 DC 平面 ABE； ( )证 DC AF，进一步 AF 平面 BCDE。 ( )由 (2)推出 AF EF，在直角梯形 BCDE中，计算 DF= ,EF= ,DE= 证明 EF 平面 AFD，推出平面 AFD 平面 AFE 试题分析： ( ) DC 平面 ABC， EB 平面 ABC DC/EB， 又 DC 平面 ABE， EB 平面 ABE， DC 平面 ABE （ 4分） ( ) DC 平面 ABC， DC AF， 又 AF BC， DC交 BC于
14、C AF 平面 BCDE （ 8分） ( )由 (2)知 AF 平面 BCDE， AF EF，在直角梯形 BCDE中，计算 DF= ,EF= ,DE= 在三角形 DEF中 DF EF， AF EF， DF交 AF于 F EF 平面 AFD，又 EF 平面 AFE， 平面 AFD 平面 AFE （ 12分） 考点：本题主要考查立体几何中线面平行与垂直的证明。 点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，本题难度不大，注意牢记定理巧妙地实现线线关系、线面关系及面面关系的相互转化。 （本小题满分 12分）已知函数 ( ) 求 函数 的最小值和最小正周期； （ ）已知
15、内角 的对边分别为 ，且 ，若向量与 共线，求 的值 答案： ( ) 的最小值为 ，最小正周期为 . （ ） 试题分析： ( ) 3分 的最小值为 ，最小正周期为 . 5分 （ ） ， 即 ， ， ， 7分 共线， 由正弦定理 ， 得 9分 ，由余弦定理，得 ， 10分 解方程组 ，得 12分 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换，余弦定理的应用。 点评：典型题，综合考查了三角函数的图象和性质，三角恒等变换，余弦定理的应用，能较好地考查学生的计算能力。 （本小题满分 12分）椭圆：的左、右焦点分别为 ，焦距为 2，过 作垂直于椭圆长轴的弦长 为 3 ( ) 求椭圆的方程； （
16、）若过 的直线 l交椭圆于两点并判断是否存在直线 l使得 的夹角为钝角，若存在，求出 l的斜率 k的取值范围。 答 案： ( ) ；（ ） 。 试题分析： ( ) 依题意 2分 解得 ， 椭圆的方程为： 4分 （注：也可以由 ，椭圆定义 求得 ） （ ）（ i）当过 直线 的斜率不存在时，点 ，；则 ；5分 (ii)当过 直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ， 设 , 由 得： 7分 10分 当 的夹角为钝角时， 0， 11分 情形（ i）不满足 0， 12分 考点：本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的夹角。 点评：求圆锥曲线的标准方程是几何的基本问题，在
17、研究直线与椭圆的位置关系中，常常用到韦达定理，以实现整体代换，向 量知识常在条件中出现，以达到综合考查的目的。 （本小题满分 12分）某企业投入 81万元经销某产品，经销时间共 60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 个月的利润 （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第 个月的当月利润率 ，例如： ( ) 求 ； （ ）求第 个月的当月利润率 ； （ ）该企业经销此 产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率 答案： ( ) （ 2） ； （ ）该企业经销此产品期间，第 40个月的当月利润率最大，最大值为 。 试题分析： ( )
18、由题意得 2分 （ 2）当 时， -4分 当 时， 7分 当第 个月的当月利润率为 8分 （ ）当 时， 是减函数，此时 的最大值为 9分 当 时， 当且仅当 时，即 时，又， 当 时， 11分 答：该企业经销此产品期间，第 40个月的当月利润率最大，最大值为 12分 考点：本题主要考查函数模型，导数的应用。 点评：典型题，通过构建函数模型利用导数加以解决，这是近些年来高考考查的重要题型之一。 （本小题满分 14分）已知函数 处取得极值 2。 ( ) 求函数 的表达式； （ ）当 满足什么条件时，函数 在区间 上单调递增？ （ ）若 为 图象上任意一点，直线与 的图象切于点 P，求直线的斜率的
19、取值范围 答案： ( )。 （ ）当 时，函数 在区间 上单调递增。 （ ）直线的斜率的取值范围是 。 试题分析： ( ) 因为 2分 而函数 在 处取得极值 2， 所以 ， 即 解得 所以即为所求 4分 （ ）由（ 1）知 令 得： 则 的增减性如下表： （ -， -1） （ -1， 1） （ 1， +） 负 正 负 可知， 的单调增区间是 -1， 1， 6分 所以 所以当 时，函数 在区间 上单调递增。 9分 （ ）由条件知，过 的图象上一点 P的切线的斜率为： 11分 令 ，则 ， 此时， 的图象性质知： 当 时， ； 当 时， 所以，直线的斜率的取值范围是 14分 考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值及单调性。 点评：典型题，过 的 图象上一点 P的切线的斜率为函数在该点的导数值。利用导数研究函数的单调性，主要导函数值的正负。
