2013届黑龙江大庆第三十五中学高三上期末考试文科数学试卷与答案(带解析).doc

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资源描述

1、2013届黑龙江大庆第三十五中学高三上期末考试文科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知集合 , ,则 A B C D 答案: B 试题分析:因为 , ,所以。 考点:集合的运算;函数定义域的求法。 点评:研究一个集合,关键是研究这个集合中的元素是什么,和代表元素没关系,比如 。 对实数 a和 b,定义运算 “ ”: a b ,设函数 f(x) (x2-2) (x-x2), x R,若函数 y f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,则实数 c的取值范围是 A (-, -2 B C D (-, -2 答案: D 试题分析:因为 a b ,所以 f(x) (x2-2) (x-x2) ,画出函数

2、 f(x)的图像,由图像可知实数 c的取值范围是 (-, -2 。 考点:分段函数;分段函数的图像;不等式的解法。 点评:本题主要考查数形结合思想,考查了学生用图的能力。分段函数的图像要分段画。 设 x, y满足约束条件 若目标函数 的最大值 1,则 的最小值为 A 4 B 2 C D 1 答案: A 试题分析:画出线性约束条件 的可行域,由目标函数得, ,因为 ,由。所以目标函数过点( 1,1)时,取最大值 1,即 ,所以 。 考点:线性规划的有关知识。 点评:本题中给出 a, b为正数使人较容易联想到基本不等式,但关键是基本不等式的灵活应用,此题我们通过 1的代换把 转化为,从而达到了应用

3、基本不等式的条件。 1的代换是这个地方常用的一中做题技巧,我们应熟练掌握。 对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外,还有常见的两种: ,第一种的几何意义为:过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为:点 与点 (a,b)的距离。 下列各命题中正确的命题是 “若 都是奇数,则 是偶数 ”的逆否命题是 “若 不是偶数,则 都不是奇数 ”; 命题 “ ”的否定是 “ ” ; “函数 的最小正周期为 ” 是 “ ”的必要不充分条件; “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ ” A B C D 答案: A 试题分析: 错误, “若

4、都是奇数,则 是偶数 ”的逆否命题应是 “若不是偶数,则 不都是奇数 ”; 正确,因为特称命题的否定为全称命题,所以命题 “ ”的否定是 “ ” ; 正确,因为 ,所以 ,所以“函数 的最小正周期为 ” 是 “ ”的必要不充分条件; 错误, “ ”是 “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的必要不充分条件 考点:四种命题;命题的否定;二倍角公式;向量的夹角;向量的数量积的性质。 点评:在三角函数 的周期公式 中,不要忽略了绝对值符号。 已知圆 ,直线 ,圆 C上任意一点 A到直线 的距离小于 2的概率为 A B C D 答案: A 试题分析:设平行于 的直线 m:4x+3y+c=0,使 m与 距离为

5、 2,平行线间距离公式得: ,联立 C与 m方程,得出交点满足的方程:(c=-35时 ,m与 C无交点,舍 ),然后算出两个交点与圆心连线的两条半径的夹角为 60o,用夹角度数除以周角,即得概率 。 考点:点到直线的距离公式;两平行线间的距离公式;几何概型。 点评:在利用几何概型的概率公式来求其概率时,几何 “度量 ”可以是长度、面积、体积、角度等。其中对于几何度量为长度,面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任何都是等可能的,而对于角度而言,则是过角的顶点的一条射线落在 的区域(事实也是角)任一位置是等可能的。 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结 果是 ,则判断框内应填入的

6、条件是 A 4 C 5 答案: C 试题分析:第一次循环: ; 第二次循环: ; 第三次循环: ; 第四次循环: ,此时应输出,所以选 C。 考点:程序框图。 点评:程序框图是课改之后的新增内容,在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现,属于较容易题目。 函数 的图像与 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,要得到函数 的图像只需将 的图像 A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 答案: C 试题分析:因为函数 的图像与 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,所以函数 的周期为 ,所以 , 又 ,所以要得到函数 的图像只需将的图像向左平移 。 考点:函数 的

7、图像。 点评:函数左右平移变换时,一是要注意平移方向:按 “左加右减 ”,如由 f(x)的图象变为 f(x a)(a0)的图象,是由 “x”变为 “x a”,所以是向左平移 a个单位;二是要注意 x前面的系数是不是 1,如果不是 1,左右平移时,要先提系数 1,再来计算。 双曲线 ,过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 、 两点, O 是坐标原点,满足 ,则双曲线的离心率为 A B C D 答案: B 试题分析:由题意易知 ,所以 ,因为 ,所以 ,即 ,所以 e=. 考点:双曲线的简单性质。 点评:求圆锥曲线的离心率是常见题型,常用方法: 直接利用公式 ; 利用变形公式: (椭圆)和(

8、双曲线) 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式,两边同除以 a,利用方程的思想,解出 。 曲线 C: y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0互相垂直,则实数 a的值为 A B -3 CD - 答案: D 试题分析:因为曲线 C: y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0互相垂直,所以 ,即 ,所以实数 a的值为 - 。 考点:导数的几何意义;直线垂直的条件。 点评:熟记导数的几何意义:曲线在某点出的导数就是这点切线的斜率。 已知 是两条不同直线, 是三个不同平面,下列命题中正确的是 A B C D 答案: D 试题分析:选项

9、 A中 可能平行,可能相交可能异面; 选项 B中平面 可能平行,也可能相交,比如墙角; 选项 C中 可能平行,也可能相交; 选项 D中这是线面垂直的性质定理。 考点:空间中线、面的位置关系;线面垂直的性质定理。 点评:本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系,解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理,并借助空间想象寻找反例,判断命题的真假,这种类型的问题在高考选择题中非常普遍 为了得到函数 的图象,可以把函数 的图象 A向左平移 3个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 1个单位长度 D向右平移 1个单位长度 答案: D 试题分析:因为 ,所以为了得到函数 的图象,可

10、以把函数 的图象向右平移 1个单位长度。 考点:指数函数的图像;函数图 像的变换。 点评:函数左右平移变换时,一是要注意平移方向:按 “左加右减 ”,如由 f(x)的图象变为 f(x a)(a0)的图象,是由 “x”变为 “x a”,所以是向左平移 a个单位;二是要注意 x前面的系数是不是 1,如果不是 1,左右平移时,要先提系数 1,再来计算。 若复数 是实数,则 的值为 A B 3 C 0 D 答案: A 试题分析: ,因为复数是实数,所以 。 考点:复数的运算;复数的分类。 点评:复数 ,当 b=0时,为实数;当 b0时,为复数;当a=0,b0时为纯虚数。 填空题 过抛物线 的焦点,且被

11、圆 截得弦最长的直线的方程是 。 答案: x+y-1=0 试题分析:易知抛物线 的焦点为( 1,0),又圆 的圆心为( 2, -1),当过焦点的直线也过圆心时,截得的弦最长。所以所求直线方程为 x+y-1=0。 考点:抛物线的简单性质;圆的一般式方程;弦的有关性质;直线方程的求法。 点评:理解 “被圆 截得最长弦即为直径 ” 是做本题的关键,属于基础题型。 已知向量 且 则 的值是 _. 答案: 试题分析:因为 所以 。所以,所以 = 。 考点:向量的数量积定义;向量的数量积的性质。 点 评:向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质,考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况

12、下,题中若有向量的模都要先考虑这一条。 等差数列 中, ,若数列 的前 项和为 ,则的值为 。 答案: 试题分析:因为 ,所以公差 ,所以, 所以 ,所以数列 的前 项和为,所以 。 考点:等差数列的性质;数列的前 n项和。 点评:常见的裂项公式: , , , 。 如右图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位: cm),则该三棱锥的外接球的表面积为 cm2 答案: 试题分析:由三视图知:原几何体是三棱锥,有一侧棱垂直底面。把三棱锥补成长方体,长方体的长宽高分别为 4、 2、 3,外接球的直径就是长方体的体对角线。所以外接球的半径为 ,所以三棱锥的外接球的表面积为 cm2 考点:三视图

13、;球的表面积公式。 点评:本题是基础题,主要考查几何体的三视图。准确还原几何体的形状是解题的关键,同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力正方体、长方体的外接球的半径是体对角线的一半。 解答题 (本小题满分 12分)在 中,角 为锐角 ,记角 所对的边分别为设向量 且 与 的夹角为 ( 1)求 的值及角 的大小; ( 2)若 ,求 的面积 答案:( 1) , ;( 2) 。 试题分析:( 1) , ( 2) (法一 ) , 及 , , 即 (舍去 )或 故 (法二 ) , 及 , . , , 故 考点:向量的数量积;二倍角公式;诱导公式;三角形的面积公式;正弦定理。 点评:本题以向量的方

14、式来给出题设条件,来考查三角有关的知识,较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高,是一道中档题 (本小题满分 12分)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. ( 1)求数列 a-n的通项 an; ( 2)设 bn= +2n,求数列 bn的前 n项和 Tn. 答案:( 1) an=2n-1;( 2) Tn 。 试题分析:( )设等差数列 a-n首项为 a1,公差为 d,由题意,得 解得 an=2n-1 ( ) , = 考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式;数列的前 n项和。 点评:设数列 满足 ,其中 是等比数列, 等差数列,若求数列 的前 n项和

15、,常用分组求和法。此题属于基础题型。 (本小题满分 12分)如图,在四棱锥 中,侧面 是边长 为 2的正三角形,且与底面垂直;底面 是菱形, , 为 的中点 ( 1)求四棱锥 的体积; ( 2)求证: 平面 答案:( 1) 2;( 2)只需证 和 即可。 试题分析:( 1)作 于 ,由侧面 与底面 垂直, 则 平面 ,所以 则 PO= 又, 则 ( 2)连接 又由 , , 得 ,即 ,所以 面 , 所以 6 分 取 中点 ,连接 由 为 中点, 得四边形 为平行四边形,所以 又在三角形 中 , 为 中点,所以 , 所以 又 ,所以 面 考点:面面垂直的性质定理;线面垂直的判定定理;棱锥的体积公

16、式。 点评: 求四棱锥的体积关键是四棱锥的高; 本题主要考查了空间的线面垂直的证明,充分考查了学生的逻辑推理能力,空间想象力,以及识图能力。 (本小题满分 12分)已知函数 f( x) = , 为常数。 ( I)当 =1时,求 f( x)的单调区间; ( II)若函数 f( x)在区间 1, 2上为单调函数,求 的取值范围。 答案:( I) f( x)在( 0, 1)上是增函数,在( 1, 上是减函数。( II)。 试题分析:( 1)当 a=1时, f( x) = ,则 f( x)的定义域是。 由 ,得 0 x 1;由 ,得 x 1; f( x)在( 0, 1)上是增函数,在( 1, 上是减函

17、数。 ( 2) 。若函数 f( x)在区间 1, 2上为单调函数, 则 或 在区间 1, 2上恒成立。 ,或在区间 1, 2上恒成立。即 ,或 在区间 1,2上恒成立。 又 h( x) = 在区间 1, 2上是增函数。 h( x) max=h( 2) = , h( x)min=h( 1) =3,即 ,或 。 ,或 , 所以 a的取值范围是 考点:利用导数研究函数的单调性;不等式的解法;恒成立问题。 点评:解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路 1: 在 上恒成立 ;思路 2: 在 上恒成立 。 (本小题满分 12分)如图,已知椭圆 的长轴为 ,过点

18、的直线 与 轴垂直,直线 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率 ( 1)求椭圆的标准方程; ( 2)设 是椭圆上异于 、 的任意一点, 轴, 为垂足,延长到点 使得 ,连接 并延长交直线 于点 , 为 的中点试判断直线 与以 为直径的圆 的位置关系 答案:( 1) ;( 2)直线 与以 为直径的圆 相切。 试题分析:( 1)将 整理得,解方程组 得直线所经过的定点为。 由离心率 ,得 。 椭圆的标准方程为 ( 2)设 ,则 。 , , 点在以 为圆心, 2为半径的圆上,即 点在以 为直径的圆 上。 又 直线 l的方程为 。令 ,得 。 又 , 的中点, ,直线 与以 为直径的圆 相

19、切。 考点:椭圆的简单性质;直线系方程; 点评:直线系过定点的求法要当心,一般转化为这种形式,联立 求解即为定点。 (本题满分 10分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正 中,点 , 分别在边 上 ,且 ,相交于点 , 求证:( 1) 四点共圆;( 2) 答案:( 1)在 中,由 知: ,即 所以四点 共圆; ( 2)如图,连结 在 中, , ,由正弦定理知由四点 共圆知, ,所以 试题分析:( I)在 中,由 知: , 即 所以四点 共圆; -5分 ( II)如图,连结 在 中, , ,由正弦定理知由四点 共圆知, ,所以 考点:四点共圆的性质。 点评:熟练掌握四点共圆的证法是做本题的前提条件。属于基础题型。

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