1、2013届黑龙江大庆第三十五中学高三上期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以。 考点：集合的运算；函数定义域的求法。 点评：研究一个集合，关键是研究这个集合中的元素是什么，和代表元素没关系，比如 。 对实数 a和 b，定义运算 “ ”： a b ，设函数 f(x) (x2-2) (x-x2)， x R，若函数 y f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是 A (-， -2 B C D (-， -2 答案： D 试题分析：因为 a b ，所以 f(x) (x2-2) (x-x2) ，画出函数
2、 f(x)的图像，由图像可知实数 c的取值范围是 (-， -2 。 考点：分段函数；分段函数的图像；不等式的解法。 点评：本题主要考查数形结合思想，考查了学生用图的能力。分段函数的图像要分段画。 设 x， y满足约束条件 若目标函数 的最大值 1，则 的最小值为 A 4 B 2 C D 1 答案： A 试题分析：画出线性约束条件 的可行域，由目标函数得， ，因为 ，由。所以目标函数过点（ 1,1）时，取最大值 1，即 ，所以 。 考点：线性规划的有关知识。 点评：本题中给出 a， b为正数使人较容易联想到基本不等式，但关键是基本不等式的灵活应用，此题我们通过 1的代换把 转化为，从而达到了应用
3、基本不等式的条件。 1的代换是这个地方常用的一中做题技巧，我们应熟练掌握。 对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 下列各命题中正确的命题是 “若 都是奇数，则 是偶数 ”的逆否命题是 “若 不是偶数，则 都不是奇数 ”； 命题 “ ”的否定是 “ ” ； “函数 的最小正周期为 ” 是 “ ”的必要不充分条件； “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ ” A B C D 答案： A 试题分析： 错误， “若
4、都是奇数，则 是偶数 ”的逆否命题应是 “若不是偶数，则 不都是奇数 ”； 正确，因为特称命题的否定为全称命题，所以命题 “ ”的否定是 “ ” ； 正确，因为 ，所以 ，所以“函数 的最小正周期为 ” 是 “ ”的必要不充分条件； 错误， “ ”是 “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的必要不充分条件 考点：四种命题；命题的否定；二倍角公式；向量的夹角；向量的数量积的性质。 点评：在三角函数 的周期公式 中，不要忽略了绝对值符号。 已知圆 ，直线 ，圆 C上任意一点 A到直线 的距离小于 2的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：设平行于 的直线 m:4x+3y+c=0,使 m与 距离为
5、 2，平行线间距离公式得： ，联立 C与 m方程，得出交点满足的方程：(c=-35时 ,m与 C无交点，舍 )，然后算出两个交点与圆心连线的两条半径的夹角为 60o，用夹角度数除以周角，即得概率 。 考点：点到直线的距离公式；两平行线间的距离公式；几何概型。 点评：在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何 “度量 ”可以是长度、面积、体积、角度等。其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任何都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结 果是 ，则判断框内应填入的
6、条件是 A 4 C 5 答案： C 试题分析：第一次循环： ; 第二次循环： ; 第三次循环： ; 第四次循环： ，此时应输出，所以选 C。 考点：程序框图。 点评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。 函数 的图像与 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 的图像只需将 的图像 A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 答案： C 试题分析：因为函数 的图像与 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，所以函数 的周期为 ，所以 ， 又 ，所以要得到函数 的图像只需将的图像向左平移 。 考点：函数 的
7、图像。 点评：函数左右平移变换时，一是要注意平移方向：按 “左加右减 ”，如由 f(x)的图象变为 f(x a)(a0)的图象，是由 “x”变为 “x a”，所以是向左平移 a个单位；二是要注意 x前面的系数是不是 1，如果不是 1，左右平移时，要先提系数 1，再来计算。 双曲线 ，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 、 两点， O 是坐标原点，满足 ，则双曲线的离心率为 A B C D 答案： B 试题分析：由题意易知 ，所以 ,因为 ，所以 ，即 ，所以 e=. 考点：双曲线的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（
8、双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 曲线 C： y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0互相垂直，则实数 a的值为 A B -3 CD - 答案： D 试题分析：因为曲线 C： y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0互相垂直，所以 ，即 ，所以实数 a的值为 - 。 考点：导数的几何意义；直线垂直的条件。 点评：熟记导数的几何意义：曲线在某点出的导数就是这点切线的斜率。 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是 A B C D 答案： D 试题分析：选项
9、 A中 可能平行，可能相交可能异面； 选项 B中平面 可能平行，也可能相交，比如墙角； 选项 C中 可能平行，也可能相交； 选项 D中这是线面垂直的性质定理。 考点：空间中线、面的位置关系；线面垂直的性质定理。 点评：本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象 A向左平移 3个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 1个单位长度 D向右平移 1个单位长度 答案： D 试题分析：因为 ，所以为了得到函数 的图象，可
10、以把函数 的图象向右平移 1个单位长度。 考点：指数函数的图像；函数图 像的变换。 点评：函数左右平移变换时，一是要注意平移方向：按 “左加右减 ”，如由 f(x)的图象变为 f(x a)(a0)的图象，是由 “x”变为 “x a”，所以是向左平移 a个单位；二是要注意 x前面的系数是不是 1，如果不是 1，左右平移时，要先提系数 1，再来计算。 若复数 是实数，则 的值为 A B 3 C 0 D 答案： A 试题分析： ，因为复数是实数，所以 。 考点：复数的运算；复数的分类。 点评：复数 ，当 b=0时，为实数；当 b0时，为复数；当a=0,b0时为纯虚数。 填空题 过抛物线 的焦点，且被
11、圆 截得弦最长的直线的方程是 。 答案： x+y-1=0 试题分析：易知抛物线 的焦点为（ 1,0），又圆 的圆心为（ 2， -1），当过焦点的直线也过圆心时，截得的弦最长。所以所求直线方程为 x+y-1=0。 考点：抛物线的简单性质；圆的一般式方程；弦的有关性质；直线方程的求法。 点评：理解 “被圆 截得最长弦即为直径 ” 是做本题的关键，属于基础题型。 已知向量 且 则 的值是 _. 答案： 试题分析：因为 所以 。所以，所以 = 。 考点：向量的数量积定义；向量的数量积的性质。 点 评：向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况
12、下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。 等差数列 中， ，若数列 的前 项和为 ，则的值为 。 答案： 试题分析：因为 ，所以公差 ，所以， 所以 ，所以数列 的前 项和为，所以 。 考点：等差数列的性质；数列的前 n项和。 点评：常见的裂项公式： ， ， ， 。 如右图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 cm2 答案： 试题分析：由三视图知：原几何体是三棱锥，有一侧棱垂直底面。把三棱锥补成长方体，长方体的长宽高分别为 4、 2、 3，外接球的直径就是长方体的体对角线。所以外接球的半径为 ，所以三棱锥的外接球的表面积为 cm2 考点：三视图
13、；球的表面积公式。 点评：本题是基础题，主要考查几何体的三视图。准确还原几何体的形状是解题的关键，同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力正方体、长方体的外接球的半径是体对角线的一半。 解答题 （本小题满分 12分）在 中，角 为锐角 ,记角 所对的边分别为设向量 且 与 的夹角为 （ 1）求 的值及角 的大小； （ 2）若 ，求 的面积 答案：（ 1） ， ；（ 2） 。 试题分析：（ 1） ， （ 2） (法一 ) , 及 , , 即 (舍去 )或 故 (法二 ) , 及 , . , , 故 考点：向量的数量积；二倍角公式；诱导公式；三角形的面积公式；正弦定理。 点评：本题以向量的方
14、式来给出题设条件，来考查三角有关的知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道中档题 （本小题满分 12分）已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a3=5，S15=225. （ 1）求数列 a-n的通项 an； （ 2）设 bn= +2n，求数列 bn的前 n项和 Tn. 答案：（ 1） an=2n-1；（ 2） Tn 。 试题分析：（ ）设等差数列 a-n首项为 a1，公差为 d，由题意，得 解得 an=2n-1 （ ） ， = 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列的前 n项和。 点评：设数列 满足 ，其中 是等比数列， 等差数列，若求数列 的前 n项和
15、，常用分组求和法。此题属于基础题型。 （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中，侧面 是边长 为 2的正三角形，且与底面垂直；底面 是菱形， ， 为 的中点 （ 1）求四棱锥 的体积； （ 2）求证： 平面 答案：（ 1） 2；（ 2）只需证 和 即可。 试题分析：（ 1）作 于 ,由侧面 与底面 垂直， 则 平面 ，所以 则 PO= 又, 则 （ 2）连接 又由 , , 得 ,即 ，所以 面 , 所以 6 分 取 中点 ，连接 由 为 中点， 得四边形 为平行四边形，所以 又在三角形 中 , 为 中点，所以 , 所以 又 ，所以 面 考点：面面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；棱锥的体积公
16、式。 点评： 求四棱锥的体积关键是四棱锥的高； 本题主要考查了空间的线面垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。 （本小题满分 12分）已知函数 f（ x） = ， 为常数。 （ I）当 =1时，求 f（ x）的单调区间； （ II）若函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调函数，求 的取值范围。 答案：（ I） f（ x）在（ 0， 1）上是增函数，在（ 1， 上是减函数。（ II）。 试题分析：（ 1）当 a=1时， f（ x） = ，则 f（ x）的定义域是。 由 ，得 0 x 1；由 ，得 x 1； f（ x）在（ 0， 1）上是增函数，在（ 1， 上是减函
17、数。 （ 2） 。若函数 f（ x）在区间 1， 2上为单调函数， 则 或 在区间 1， 2上恒成立。 ，或在区间 1， 2上恒成立。即 ，或 在区间 1，2上恒成立。 又 h（ x） = 在区间 1， 2上是增函数。 h（ x） max=h（ 2） = ， h（ x）min=h（ 1） =3，即 ，或 。 ，或 , 所以 a的取值范围是 考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的解法；恒成立问题。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 （本小题满分 12分）如图，已知椭圆 的长轴为 ，过点
18、的直线 与 轴垂直，直线 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）设 是椭圆上异于 、 的任意一点， 轴， 为垂足，延长到点 使得 ，连接 并延长交直线 于点 ， 为 的中点试判断直线 与以 为直径的圆 的位置关系 答案：（ 1） ；（ 2）直线 与以 为直径的圆 相切。 试题分析：（ 1）将 整理得，解方程组 得直线所经过的定点为。 由离心率 ，得 。 椭圆的标准方程为 （ 2）设 ，则 。 ， ， 点在以 为圆心， 2为半径的圆上，即 点在以 为直径的圆 上。 又 直线 l的方程为 。令 ，得 。 又 ， 的中点， ，直线 与以 为直径的圆 相
19、切。 考点：椭圆的简单性质；直线系方程； 点评：直线系过定点的求法要当心，一般转化为这种形式，联立 求解即为定点。 （本题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在正 中，点 , 分别在边 上 ,且 ，相交于点 ， 求证：（ 1） 四点共圆；（ 2） 答案：（ 1）在 中，由 知： ，即 所以四点 共圆； （ 2）如图，连结 在 中， , ,由正弦定理知由四点 共圆知， ,所以 试题分析：（ I）在 中，由 知： ， 即 所以四点 共圆； -5分 （ II）如图，连结 在 中， , ,由正弦定理知由四点 共圆知， ,所以 考点：四点共圆的性质。 点评：熟练掌握四点共圆的证法是做本题的前提条件。属于基础题型。
