1、2014届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，则集合 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，故 ，选 B. 考点： 1、绝对值不等式的解法； 2、集合的运算 . 如图，正方体 的棱长为 ，动点 P在对角线 上，过点 P作垂直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 y，设 x，则当 时，函数 的值域为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：棱长为 ，故体对角线 = ，根据对称性，只需研究 ，函数 的值域，连接 ，则 面 ，此时 ，当时，截面周长为截面 周长的一半，即 ，当 时，即当截面过体对角线 中点时，此时截面为
2、正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为 .，所以函数 的值域为 . 考点： 1、直线和平面垂直的判定； 2、截面周长 . 定义域为 R 的函数 满足 ，且当 时， ，则当 时， 的最小值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设 ，则 ，则 ，又， ， 当 时，取到最小值为 . 考点： 1、函数的式； 2、二次函数的最值 . 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则实数 , 满足（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将方程变为标准方程为 ，由已知得， ，则，选 C. 考点： 1、椭圆的标准方程； 2、不等式的性质 . 已知圆 与 x轴切于 A点，与 y轴切于 B点，设劣弧的
3、中点为 M，则过点 M的圆 C的切线方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知得 ，又切线斜率为 1，故切线方程为，即 . 考点： 1、圆的标准方程； 2、圆的切线的性质； 3、直线的方程 . 执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：程序在执行过程中， 的值分别为 ； ； ； ，故输出的 值为 . 考点：程序框图 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.若 ， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，由余弦定理得，所以 . 考点： 1、诱导公式； 2、余弦定理 . 已知复数 z满足 ，那么
4、的虚部为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故其虚部为 1. 考点： 1、复数的运算； 2、复数的概念 . 填空题 在平面直角坐标系 中，记不等式组 所表示的平面区域为 .在映射 的作用下，区域 内的点 对应的象为点 . （ 1）在映射 的作用下，点 的原象是 ； （ 2）由点 所形成的平面区域的面积为 _ 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1） ，解得 ，故点 的原象是 ；（ 2）由得 ，代入得， ，表示以原点为圆心， 2为半径的圆面的 ，故其面积为 . 考点： 1、映射的概念； 2、不等式组表示的平面区域 . 如图， 为圆 上的两个点， 为 延长线上一点， 为圆
5、的切线，为切点 . 若 ， ，则 _； _ 答案： ， 试题分析：由切割线定理得， ，则 ，所以 ；因为 ，所以 ， . 考点： 1、圆的切割线定理； 2、弦切角定理； 3、三角形相似 . 甲、乙两名大学生从 4个公司中各选 2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有 1个相同的选法种数是 _.（用数字作答） 答案： 试题分析：先选相同实习单位有 ，再甲、乙从剩余的三个实习单位依次选一个有 ，根据分布计数原理，完成这件事的方法种数有 =24种 . 考点：排列组合 . 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正 （主）视图的面积为 _ 答案： 试题分析：由题意知，
6、正三棱柱的主视图为长为 2，宽为 的矩形，故其面积为 . 考点：三视图 . 若等差数列 满足 ， ，则公差 _；_ 答案： ， 试题分析：由题得， ，又 ，故 ，数列 构成首项是 ，公差是 1的等差数列，故. 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的性质； 3、等差数列的前 n项和 . 在平面直角坐标系 中，点 ， ，若向量 ，则实数_ 答案： 试题分析： ，因为 ，故 ，即，解得 . 考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量垂直 . 解答题 已知函数 ， ，且 的最小正周期为 . （ ）若 ， ，求 的值； （ ）求函数 的单调增区间 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由
7、已知可得 ，且由 ，得 ，解三角方程并注意 ，取相应范围的根；（ ）将 变形为，利用复合函数的单调性，只需 ，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间 . 试题：（ ）解：因为 的最小正周期为 ，所以，解得 由 ，得 ，即 ，所以 ， .因为 ， 所以 . （ ）解：函数 ，由 ，解得 所以函数 的单调增区间为 . 考点： 1、三角方程； 2、两角和与差的三角函数； 3、三角函数的单调性 . 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示 （ ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求 的值； （ ）求乙组
8、平均成绩超过甲组平均成绩的概率； （ ）当 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 答案：（ ） ；（ ） ；（ ）分布列详见，期望 . 试题分析：（ ）根据甲乙平均成绩相等列等式，得，可求 的值为 1；（ ）因为 的取值具有随机性，故 ，有 10种可能，而乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 8种可能，故所求事件的概率为 ；（ ）从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种，分别计算每组两名同学数学成绩之差的绝对值，以确定 的取值，并分别求 取相应值的概率，写出分布列并求期望 . 试题：（ ）解：依题意，
9、得 ，解得 . （ ）解：设 “乙组平均成绩超过甲组平均成绩 ”为事件 ，依题意 ，共有 10种可能 . 由（ ）可知，当 时甲 、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 8种可能所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 （ ）解：当 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有 种， 它们是： ， ， ， ， ， ， ， 则这两名同学成绩之差的绝对值 的所有取值为 . 因此 ， ， ， ， . 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以 的数学期望 考点： 1、平均数； 2、古典概型； 3、离散型随机变量的分布列和期望 . 如
10、图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2的菱形， ，四边形 BDEF是矩形，平面 BDEF 平面 ABCD， BF=3， H是 CF的中点 . （ ）求证： AC 平面 BDEF； （ ）求直线 DH与平面 所成角的正弦值； （ ）求二面角 的大小 . 答案：（ ）答案：详见；（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）要证明 平面 ，只需证明 垂直于面 内的两条相交相交直线，由 是菱形，故 ，再证明 ，从而可证明 平面 ；（ ）由已知，选三条两两垂直的直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，表示相关点的坐标，求直线 的方向向量坐标，以及面 法向量 的坐标，设直线
11、与平面 所成角为，则 ；（ ）先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，通过观察二面角是锐二面角还是钝二面角，决定二面角余弦值的正负，该题中面 的法向量就是 ，只需求面 的法向量即可 . 试题：（ ）证明：因为四边形 是菱形，所以 . 因为平面 平面 ，且四边形 是矩形，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 . 因为 ，所以 平面. （ ）解：设 ，取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是矩形， 分别为 的中点，所以 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，由 ，得 两两垂直 .所以以 为原点， 所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，如图建立空间直角坐标系 .因为底面 是边长为 2的菱形， ， ，
12、所以 ， ， ， ， ， ，. 因为 平面 ， 所以平面 的法向量 . 设直线与平面 所成角为 ，由 ， 得 ，所以直线与平面 所成角的正弦值为 相关试题 2014届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷（带） 已知函数 ，其中 是自然对数的底数， . （ ）求函数 的单调区间； （ ）当 时，试确定函数 的零点个数，并说明理由 . 答案：（ ） 的单调减区间为 ；单调增区间为；（ ）详见 . 试题分析：（ ）求导得， ，因为 ，所以 的解集为 ，即单调递增区间； 的解集为 ，即单调递减区间；（ ）函数 ，令 ，得 ，显然是一个零点，记 ，求导得 ，易知 时递减； 时 递增，故 的最小值
13、，又 ，故 ，即 ，所以函数 的零点个数 1个 . 试题：（ ）解：因为 ， ，所以 令 ，得 当 变化时， 和 的变化情况如下： 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 （ ）解：结论：函数 有且仅有一个零点 . 理由如下： 由 ，得方程 ， 显然 为此方程的一个实数解 . 所以 是函数 的一个零点 . 当 相关试题 2014届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷（带） 已知 是抛物线 上的两个点，点 的坐标为 ，直线 的斜率为 k， 为坐标原点 . （ ）若抛物线 的焦点在直线 的下方，求 k的取值范围； （ ）设 C为 W上一点，且 ，过 两点分别作 W的切线，记两切线的交点为 ，求
14、的最小值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）直线 过点 ，且斜率为 k，所以直线方程可设为，若焦点 在直线 的下方，则满足不等式 ，代入求 的范围；（ ）设直线 的方程为 ，分别与抛物线 联立，因为直线和抛物线的一个交点坐标 已知，故可利用韦达定理求出切点 的坐标，再求出切线 和 的方程，进而联立求交点 的坐标，再求 的最小值即可 . 试题：（ ）解：抛物线 的焦点为 . 由题意，得直线 的方程为， 令 ，得 ，即直线 与 y轴相交于点 . 因为抛物线 的焦点在直线 的下方， 所以 ，解得 . （ ）解：由题意，设 ， ， ， 联立方程 消去 ，得 ， 由韦达定理，得，所以 .
15、同理，得 的方程为 ， . 对函数 求导，得， 所以抛物线 在点 处的切线斜率为 ，所以切线 的方程为， 即 . 同理，抛物线 在点 处的切线的方程为 .联立两条切线的方程 解得， ，所以点 的坐标为. 因此点 在定直线 上 .因为点 到直线的距离 ，所以 ，当且仅当点时等号成立 由 ，得 ，验证知符合题意 .所以当 时， 有最小值 . 考点： 1、直线的方程； 2、直线和抛物线的位置关系； 3、导数的几何意义 . 设无穷等比数列 的公比为 q，且 ， 表示不超过实数的最大整数（如 ） ,记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 . （ ）若 ，求 ； （ ）若对于任意不超过 的正整数
16、n，都有 ，证明：. （ ）证明： （ ）的充分必要条件为 . 答案：（ ） ；（ ）答案：详见；（ ）答案：详见 . 试题分析：（ ）由已知得， ， ， ，且当 时， .且，故 ， ， ，且当 时， ，进而求 ；（ ）已知数列 的前 项和 （ ），可求得，由取整函数得 ， ，故，要证明 ，只需证明 ，故可联想到，则 ；（ ）先证明充分性，当时， ，由取整函数的性质得 ，故 ；必要性的证明，当 时， ，则有 . 试题：（ ）解：由等比数列 的 ， ，得 ， ， ，且当 时， . 所以 ， ， ，且当 时， . 即 （ ）证明：因为 ，所以 ，. 因为 ， 所以 ， . 由 ，得 . 因为 ， 所以 ， 所以 ，即 . （ ）证明：（充分性）因为 ， ， 所以 ， 所以 对一切正整数 n都成立 . 因为 ， ， 所以 . （必要性）因为对于任意的 ， ， 当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ， ，得 . 所以对一切正整数 n都有 . 由 ， ，得对一切正整数 n都有 ， 所以公比 相关试题 2014届北京市西城区高三上学期期末考试理科数学试卷（带）
