1、2014届安徽省 “江淮十校协作体 ”四月联考卷理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在复平面上，复数 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 在 中， , , ，则 边上的高等于（ ） A B C D 答案： B 如图，一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成角为 的平面所截，截面是一个椭圆，当 为 时，这个椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： A 一排 9个座位坐了 3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种是为（ ） A B C D 答案： 如图所示，正方体 的棱长为 1， ，
2、 是线段上的动点，过点 做平面 的垂线交平面 于点 ，则点 到点 距离的最小值为（ ） A B C D 1 答案： 已知 ，且 ，则 的最大值是（ ） A 3 BC 4 D答案： 给出 30个数： 1， 2,4,7， 其规律是：第 1个数是 1；第 2个数比第 1个数大 1；第 3个数比第 2个数大 2；第 4个数比第 3个数大 3； 以此类推，要计算这 30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框 处和执行框 处应分别填入（ ） A B C D 答案： 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线上，则 等于（ ） A B C D 答案： “ ”是 “
3、 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： 填空题 已知数列 满足 ，给出下列命题： 当 时，数列 为递减数列 当 时，数列 不一定有最大项 当 时，数列 为递减数列 当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项 请写出正确的命题的序号 _ 答案： 选项 ：当 时， ，有 ， ，则 ，即数列 不是递减数列，故 错误； 选项 ：当 时， ，因为 ，所以数列 可有最大项，故 错误； 选项 ：当 时， ，所以 ，即数列 是递减数列，故 正确； 选项 ： ，当 为正整数时， ；当时， ；当 时，令 ，解得 ，数列 必有两项相等的最大项，故 正确 .
4、所以正确的选项为 . 【考点】数列的函数特征 . 已知实数 满足 ，则 的最大值是 _ 答案： 在 中， ， , , ，点 满足，则 的值为 _ 答案： 直线 （ 为参数）被曲线 所截的弦长 _ 答案： 如图，已知点 ,点 在曲线 上，若阴影部分面积与 面积相等，则 =_ 答案： 解答题 已知函数 ，求函数 的最小正周期； 当 时，求函数 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) 试题分析： (1)把函数 使用公式展开得，化简得 ，然后利用降幂公式得 ，最后得 ，即得函数 的最小正周期 ； （ 2）由（ 1）得 ，因为 ，所以 ，由三角函数的有界性得 ，所以 ，故函数的取值范围为 . （ 1）
5、因为 ， 所以函数 的最小正周期 . （ 2）因为 所以 所以 , 所以 , 所以函数 的取值范围为 . 考点：三角恒等变换；三角函数的周期；三角函数的值域 . 如图， ABCD是边长为 2的正方形， ,ED=1， /BD，且. （ 1）求证： BF/平面 ACE； （ 2）求证：平面 EAC 平面 BDEF; （ 3）求二面角 B-AF-C的大小 . 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见；（ 3） . 试题分析：（ 1）记 与 的交点为 ，连接 ，则可证 ，又面 ， 面 ，故 平面 ； （ 2）因 平面 ，得 ,又 是正方形，所以 ，从而 平面 ，又 面 ,故平面 平面 ； （ 3）过点 作
6、 于点 ，连接 ，则可证 为二面角的平面角在 中，可求得 ，又 ，故， ，即二面角 的大小为 ； 证明：（ 1）记 与 的交点为 ，连接 ，则 所以 ，又 ，所以 所以四边形 是平行四边形 所以 ， 又 面 ， 面 ， 故 平面 ； （ 2）因 平面 ，所以 , 又 是正方形，所以 ， 因为 面 ， 面 ， 所以 平面 ， 又 面 , 故平面 平面 前不久，社科院发布了 2013年度 “全国城市居民幸福排行榜 ”，北京市成为本年度最 “幸福城 ”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用 “10分制 ”随机调查 “阳光 ”社区人们的幸福度 .现从调查人群中随机抽取 16名，如图所示的茎叶图记录了
7、他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）： 指出这组数据的众数和中位数； 若幸福度不低于 9.5分，则称该人的幸福度为 “极幸福 ”.求从这 16人中随机选取3人，至多有 1人是 “极幸福 ”的概率； 以这 16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选 3人，记 表示抽到 “极幸福 ”的人数，求 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1）众数： 8.6；中位数： 8.75；（ 2） ；（ 3）分布详见答案：；期望为 试题分析：（ 1）根据所给的茎叶图看出 16个数据，找出众数和中位数，众数即为出现次数最多的数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论；
8、 （ 2）由题意知本题是一个古典概型，至多有 1人是 “极幸福 ”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果，有一个是极幸福的概率为 ,有零个是极幸 福的概率为 ，所以至多有 1人是 “极幸福 ”的概率为； （ 3）由于从该社区任选 3人，记 表示抽到 “极幸福 ”学生的人数，得到变量的可能取值是 0、 1、 2、 3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望 （ 1）众数： 8.6；中位数： 8.75 ； （ 2）设 表示所取 3人中有 个人是 “极幸福 ”，至多有 1人是 “极幸福 ”记为事件 ，则 ； （ 3） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. ； ； ；
9、 . 的分布列为： 所以 . 考点：数据特征；茎叶图；离散型随机变量的期望 . 设函数 . （ 1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值； （ 2）若 在 上为增函数，求正数 的取值范围 . 答案：（ 1）最小值为 ，最大值为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）当 时， ,其导函数 ，易得当 时， ，即函数 在区间 上单调递增，又函数是偶函数，所以函数 在 上单调递减， 在 上的最小值为 ，最大值为 ； （ 2）由题得： 在 上恒成立，易证 ，若 时，则 ，所以 ；若 时，易证此时不成立 . (1)当 时， , ， 令 ，则 恒成立， 为增函数， 故当 时， 当 时， ， 在 上为增函数，
10、又 为偶函数， 在 上为减函数， 在 上的最小值为 ，最大值为 . （ 2）由题意， 在 上恒成立 . （ ）当 时，对 ，恒有 ，此时 ，函数 在上为增函数，满足题意； （ ）当 时，令 ， ，由 得 ， 一定 ，使得 ，且当 时， ， 在上单调递减，此时 ，即 ，所以 在 为减函数，这与 在 为增函数矛盾 . 综上所述： . 考点：函数的最值；函数的恒成立问题 . 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，它的一个焦点恰好与抛物线 的焦点重合 . 求椭圆 的方程； 设椭圆的上顶点为 ，过点 作椭圆 的两条动弦 ，若直线 斜率之积为 ，直线 是否一定经过一定点 若经过，求出该定点坐标
11、；若不经过，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）恒过一定点 . 试题分析：（ 1）可设椭圆方程为 ,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以 ，又 ，所以 ，又因 ，得 ，所以椭圆方程为 ； （ 2）由（ 1）知 ，当直线 的斜率不存在时，可设 ，设，则 ， 易得 ，不合题意；故直线 的斜率存在 .设直线 的方程为：， ( )，并代入椭圆方程，得： ，设 ，则 是方程 的两根，由韦达定理，由 ，利用韦达定理代入整理得 ，又因为 ，所以 ，此时直线 的方程为 ，即可得出直线 的定点坐标 . （ 1）由题意可设椭圆方程为 , 因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线 的焦点重合，所以 ， 又 ，
12、所以 ， 又因 ，得 ， 所以椭圆方程为 ； （ 2）由（ 1）知 ， 当直线 的斜率不存在时，设 ，设 ，则 ， ，不合题意 . 故直线 的斜率存在 .设直线 的方程为： ， ( )，并代入椭圆方程，得： 由 得 设 ，则 是方程 的两根，由韦达定理 ， 由 得： ， 即 ，整理得 ， 又因为 ，所以 ，此时直线 的方程为 . 所以直线 恒过一定点 考点：椭圆的标准方程；圆锥曲线的定点问题 . 设满足以下两个条件得有穷数列 为 阶 “期待数列 ”： ， . （ 1）若等比数列 为 阶 “期待数列 ”，求公比 ； （ 2）若一个等差数列 既为 阶 “期待数列 ”又是递增数列，求该数列的通项公式
13、； （ 3）记 阶 “期待数列 ” 的前 项和为 . （ ）求证： ； （ ）若存在 ，使 ，试问数列 是否为阶 “期待数列 ”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）（ ）证明见；（ ）不能，理由见 . 试题分析： （ 1）由 阶 “期待数列 ”定义，当 ，结合已知条件 求得等比数列的公比，若 ，由 得 , ，得 ，不可能，所以 ； （ 2）设出等差数列的公差，结合 求出公差，再由前 项和为 求出首项，则等差数列的通项公式可求； （ 3）（ ）由 阶 “期待数列 ” 前 项中所有的和为 0，所有项的绝对值之和为 1，求得所有非负项的和为 ，所
14、有负项的和为 ，从而得到答案：； （ ）借助于（ ）中结论知，数列 的前 项和为 ，且满足，再由 ，得到 ，从而说明 与 不能同时成立 . (1) 若 ，则由 由 ，所以 ，得 ， 由 得 或 ,满足题意 . 若 ，由 得 , ，得 ，不可能 . 综上所述 . (2)设等差数列 的公差为 . 因为 ，所以 . 所以 . 因为 ，所以由 ，得 . 由题中的 、 得 , ， 两式相减得 , 即 . 又 ,得 . 所以 . (3) 记 中非负项和为 ,负项和为 . 则 , 得 . （ ） 因为 ，所以 . （ ） 若存在 ，使 ，由前面的证明过程知： ， 且 . 记数列 的前 相关试题 2014届安徽省 “江淮十校协作体 ”四月联考卷理科数学试卷（带）
