1、第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三） 教学目标1使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；2通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力 教学重点和难点异面直线上两点间距离的推导过程 教学用具两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点 教学设计过程师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并且留下了两个思考题首先看第一题：（板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，EBB1，且BE=EB1,求证：截面A1EC侧面AC1,师；这道题的结论是面面垂直要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另
2、一平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题分析已知，由正三棱柱可知：ABC，A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1面ABC由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面ABC垂直于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面AC1呢？这一点是从已知到未知的关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁哪位同学解决了这个问题呢？,生甲：取AC中点F，连结BF，作FGAA1交A1C于G，连结GE 因为 FGAA1，F是AC中点， 又因为 正三棱柱ABC-A1B1C1， 所以 AA1 BB1 ， 所以 FG BE，所以 四边形FGEB是平行四边形 所以 BF
3、GE 又因为 正ABC， 所以 BFAC， 又因为 AA1面ABC 所以 AA1BF 因此 BF面AC1 所以 GE面AC1所以 面AEC面AC1,师：很好充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG面AC1，使问题得以解决生乙：还可以延展平面A1EC分别延长CE，C1B1交于点D，连结A1D,因为 正三棱柱ABC-A1B1C1 所以 AA1面A1B1C1， 所以 A1AA1D 所以 在DCC1中，有DB1=B1C1 又因为 正A1B1C1， 所以 A1B1=B1C1=DB1， 所以 A1C1B1=B1A1C1， B1DA1=B1A1D， 因此 C1A1D=90，即A1C1A1
4、D 故 A1D面A1C 又 A1D 面A1EC， 所以 面A1EC面A1C,师：生乙的证明给的很新颖通过延展平面在更广的范围内寻找线A1D面AC1充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1DA1C1的问题学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用 师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？” 生：有三种因素： 1异面直线的距离； 2两点在直线上的位置； 3两条异面直线所成的角 师：很好下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B演示上述三
5、个方面变化对两点距离的影响如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决） 师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素一是异面直线的距离用公垂线段的长控制二是两点在直线上的位置用点到公垂线垂足的距离控制三是两条异面直线的方向用两直线所成角控制,下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式 （板书）已知两条异面直线a，b所成角为，它们的公垂线段AA，长度为d在直线a，b上分别取点E，F，设AE=m，AF=n，求EF 师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下 生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选
6、择过直线b且与直线a平行的平面 师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？ 生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线aa，则a，b确定平面 师：这个平面选的好因为AAa，所以AAa，又AAb，所以AA下面我们作出这个图形，来求解EF,师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中 生：过E作EGa于G，连结GF 因为 aa， 所以 a，a确定平面 因为 AA， 所以 又 EG， 因此 EG，所以 EFG为直角三角形， 且 EGAA， 所以 四边形AAGE是平行四边形， 所以 AG=AE=m，EG=AA=d 又 AF=n，所以 在GAF中，所以 在RtEFG中,师：分析公式，与平
7、面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆要利用公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，要一一指实后再代入计算所以这个公式应用起来并不方便而图形构造好后，公式的推导过程倒是简单自然因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最终求出这两点的距离所以对这个公式，把握的重点是推导的方法师：通过公式的推导，我们还可以得到几点启示看直角EFG，EGEF，而EG=AA，所以异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的我们知道，求异面直线的距离很困难，原因是公垂线段难找看图形，对于异面直线a，b公垂线段AA不易作出，而EG=AA要作出EG则非常方便，只需过E作EG即可所以要求两条异面直线的距离，过其中一直线
8、作一平面与另一直线平行，将线线距离转化为线面距离，可直接在线上取一点作这个平面的垂线，为控制垂足的位置，作出这个平面的垂面，就是，找到交线，垂足一定落在交线上，也就是再将线面距离转化为两条平行线间的距离，这个问题在平面几何中已经解决由此我们得到一种求两条异面直线距离的方法，即将异面直线距离转化为线面距离，再转化为两条平行线间的距离，最终使问题得到解决同时，由于直线b必与平面相交于点A，（否则baa）所以总可以过A作AAa于A，则AA就是a，b的公垂线，说明两条异面直线的公垂线确实存在,师：下面我们来看一道练习题，请同学打开书，看p43练习3 （在60二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别
9、是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段已知：AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm利用异面直线上两点距离公式求CD） 师：依题意作出图形要利用公式需要找清4个数据请一位同学说一下生：两条异面直线是AC，BD 由于ABAC，ABBD， 所以AB是AC，BD的公垂线段，这三个数据都有了，只差AC，BD所成的角 师：应该怎样去求两条异面直线所成的角呢？ 生：首先作出这个角 师：好，回忆作异面直线所成角的方法是：选定一点，作平行线结合已知，将点选在哪儿最好？,生：已知二面角的平面角为60，所以选点A，过A在内作AEBD，则AEAB，又据ACAB，所以CAE为二面角的平面角，也是这两条异面直线所成
10、的角 师：很好，求出了这个角应该是60，四个数据都已指实，可以代入公式计算了师：通过这道练习题，我们应该可以体会到，这个公式确实用起来不太方便，如果这道题没有要求利用公式，你会求解吗？生：在内分别过D作AB的平行线，过A作BD平行线，两线交于G，连结CG,因为 BDAG，BDAB， 所以 AGAB 又因为 ACAB， 所以 GAC为二面角-AB-的平面角， 所以 GAC=60，且AB面AGC 又因为 BDGA中， 所以 DG=AB=4，AG=BD=8，且DG面AGC， 所以 DGCG 在AGC中，在RtCGD中，,师：思路清楚通过构造二面角的平面角将已知条件相对集中，最终通过解三角形求得结果，
11、这是解决这类问题常用的方法，请同学注意理解掌握师：这一节课我们重点解决了异面直线上两点间距离的问题，得到了距离公式同时通过例题的解决及公式的推导，再一次将线面垂直关系转化的思路和方法展示出来，目的是使同学能够熟练的进行线面位置关系的转化，以解决立体几何中的有关问题 课堂教学设计说明本节课是面面垂直的判定和性质的最后一节课将有关垂直问题的小结放在上一节课，目的是使学生对线面的垂直关系有一总体的把握本节由一个例题开始，正是为了使学生能够更深入的体会定理，熟悉线面关系是如何转化的，掌握解决这类问题的基本思路异面直线上两点的距离公式是定理，可以直接给出证明本节课从分析影响两点间距离的因素入手，既可以调动学生的积极性，又可以教会学生，如何寻找变量，然后加以控制，最终得到结论这种方法是定量研究某一问题时，经常采用的科学方法,
