1、第15章 积分变换的MATLAB求解,编者,Outline,15.1 傅里叶变换 15.2 拉普拉斯变换 15.3 Z 变换,15.1 傅里叶变换,1.傅里叶变换的概念 若函数 在 上满足下列条件： 在任一有限区间上满足Dirichlet条件； 在上绝对可积，即积分 收敛，则有成立，而左端的 在它的间断点处，应以 来代替。在上述积分公式中，我们称积分运算 为取函数 的傅里叶变换，记为 ，即 其中 称为 的像函数，此时有，称该积分运算为取函数 的傅里叶逆变换，记为即,2.傅里叶变换的MATLAB符号求解 MATLAB符号运算工具箱中提供了专门的求取函数的傅里叶变换及逆变换的函数：fourier和
2、ifourier。 3.傅里叶变换的性质线性性质：设 ， 是复常数，则 此即函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变 换的相应线性组合。同样道理，傅氏逆变换也具有类似的线性性质，即对称性质：若已知 ，则有 位移性质：设 ，则有坐标缩放性质：设 a 是不等于零的实常数，若 ，则 乘积定理：设 则有其中 分别表示 的复共轭函数。由上述乘积性质可以引出一个非常重要的结论巴塞瓦（Parseval）定理 若记 ，则有,4. 多维傅里叶变换 在n 维空间中，设n 元函数 ，在 中有定义，它的 傅氏变换及其逆变换定义如下：,5.离散傅里叶变换 一维离散傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用连续傅
3、里叶变换。但在大多数情况下，数字系统只须处理有限长的离散信号，因此必须将连续时间信号离散化，并建立对应的傅里叶变换。假设时间信号 的时限于 ，再通过时域采样将 离散化，就可以得到有限长离散信号，记为 。设采样周期为 ，则时域采样点数 ，则有对上式的两边取傅里叶变换有这就是 在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。,多维离散傅里叶变换假设 是一 矩阵则其二维离散傅里叶变换的定义如下：其对应的逆变换为式中， 和 分别为正变换核和逆变换核， 为空间域采样值， 为频率采样值。,6.傅里叶变换的应用 非周期函数的频谱：对于非周期函数 ，称 的傅氏变换 为 的频谱函数
4、，其模 称为 的频谱。它是频率 的连续函数。谱线（即 的图像）是连续变化的，所以称之为幅值频谱，它是一种连续谱。 傅氏变换在求解微分、积分方程中的应用：运用Fourier变换的先行性质、微分性质和积分性质，对欲求解的方程两端取Fourier变换，将其转化为像函数的代数方程，通过解代数方程与求Fourier逆变换就可以得到原方程的解。这种解法如下图图 微分、积分方程的Fourier变换解法 傅氏变换在求解偏微分方程中的应用：运用Fourier变换求解偏微分方程的定解问题类似于上图所示的三个步骤，即先将定解问题中的未知函数看做某一自变量的函数，对方程及定解条件关于该自变量取Fourier变换，把偏
5、微分方程和定解条件化为像函数的常微分方程的定解问题；再根据这个常微分方程和相应的定解条件，求出像函数；然后再取Fourier逆变换，得到原定解问题的解。这里，要求变换的自变量在 内变换；如要求变换的自变量在 内变化，则根据定解条件的情形可运用Fourier正弦变换或Fourier余弦变换来求解该偏微分方程的定解问题。,15.2 拉普拉斯变换,1.拉普拉斯变换的概念 设 在 上有定义，且积分 （s 是复参变量）对复平面上某一范围 s收敛，则由这个积分确的函数 称为函数 的拉普拉斯变换，简称为 的拉氏变换，并记为 ，即上式中， 称为 的像函数， 称为 的像原函数。 若 是 的拉氏变换， 则称 为
6、的拉氏逆变换（或称为像原函数），记为2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解 MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数：laplace和ilaplace。 3.拉普拉斯变换的性质 线性性质:设 ， 是复常数，则此即函数的线性组合的拉氏变换等于函数的拉氏变换的相应线性组合。同样道理，拉氏逆变换也具有类似的线性性质，即,微分性质：若 ，此处假设 存在且连续，则积分性质：设 ，则位移性质：若 ，则有延迟性质：若 ，又 时 ，则对于任一非负实数 ，有或 相似性质：设 ， ，则 该性质类似于傅里叶变换的坐标缩放性质。 初值和终值定理： 初值定理：若 ，且 存在，则有 终值定理：若 ，且 的所
7、有奇点都在s 平面的左半部，则,4.拉普拉斯的应用 微分、积分方程的拉氏变换解法 : 微分、积分方程的拉氏变换解法如下图所示偏微分方程的拉氏变换解法：运用拉氏变换求解偏微分方程的定解问题完全类似于偏微分方程的傅氏变换解法，只不过拉氏变换要求变换的自变量在 内变化。因此，这样的定解问题可以运用拉氏变换，也可以运用傅氏正弦或余弦变换求解。 线性定常系统的复域分析：设线性定常系统的一般形式为式中， 。等式左边是系统输出变量及其各阶导数，等式右边是系统输入变量及其各阶导数，且等式左右两边的系数均为实数。假设输入信号 和输出信号 及其各阶导数在 时的值均为0，则对方程两端均进行拉氏变换，并记 ， 则有
8、我们称在输入激励、输出响应的初始条件为零的前提下，输出的拉氏变换 与输入的拉氏变换 的比称为该系统的传递函数。,15.3 Z 变换,1.Z 变换的概念 若连续函数 是可拉氏变换的，则其拉氏变换定义为 由于 时，有 ，故上式亦可写成对于采样信号 ，设其表达式为 故采样信号 的拉氏变换为上式中， 为采样周期。为便于应用，令变量 ，则记作取 T=1 ，则可得到 的Z 变换式 若给定Z 变换式子 则其Z 逆变换的数学表示为,2. Z 变换的MATLAB符号求解MATLAB符号运算工具箱中提供了专门用于求解Z变换及其逆变换的函数：ztrans和iztrans3. Z 变换的性质 线性性质 :若 ， 是常
9、数，则实数位移性质：若 ，则有 以及其中 k 为正整数。 复数位移性质：若 ，则有 终值定理：若 ，且函数序列 为有限值（ ）， 且极限 存在，则函数序列的终值,4. Z变换的应用 复变函数积分的计算考虑如下定义的复变函数积分其中， 为二维平面内的走行方向为逆时针的封闭曲线，如果积分线为顺时针的，则应该讲被积函数乘以 。这时假设该封闭曲线内包围 个奇点 ，则可以分别求出这些奇点上的留数为 ，这时上述复变函数积分的值等于 乘以这些留数的和，即对比Z逆变换的数学表达式可以得到,离散线性定常系统的求解在线性离散系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 的个元素都是常数，则称该系统为离散线性定常系统，离散的线性定常系统状态空间表达式的一般形式为对差分方程 两边同时取Z变换，有因此有 令 ，则故,谢谢大家！,
